PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 ph Đề gồm: 01 trang Câu1 (2,0đ) 1- Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y z y2 z x z x y 2 b) (x 8) 36 (x y)3 (y z)3 (z x)3 2 2- Rút gọn phân thức A = x (y z) y (z x) z (x y) Câu2 (2,0đ) a) Xác định a, b để đa thức 2x ax b chia cho x + dư -6, chia cho x - dư 21 3 b) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn a + b + c a b c 3abc a b c B b c a Tính giá trị biểu thức Câu3 (2,0đ) Giải phương trình sau: x 17 x 21 x 4 29 25 a) 33 2 7(x 9) x 3 x 3 x 2 x2 b) x Câu4 (3,0đ) 1- Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD M, tia DE cắt đường thẳng AB N Chứng minh rằng: BCM; a) NBC b) BM CN 2- Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao BH, CK Gọi D E hình chiếu B C đường thẳng HK Chứng minh DK = EH Câu 5(1,0đ) Cho hai số a, b không đồng thời Chứng minh a2 b2 1 2 a 1 b 1 a b2 Hết - PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 ph Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang Câ u Phầ n 1-a Nội dung Điểm x2 y z y2 z x z x y = x y x z y z xy z x y = (x y xy ) (x z y z) z (x y) xy(x-y) - z(x+y)(x-y) + z (x y) 0,25 (x-y)(xy-xz yz z ) (x y) y(x z) z(x z) (x y)(x z)(y z) 1-b 0,25 (x 8) 36 x 16x2 64 36 x 16x2 100 0,25 x 20x 100 36x (x 10)2 (6x)2 (x 10 6x)(x 10 6x) x y z y z x z x y Lại có: (x y)(x z)(y z) (Theo câu 1a) x y y z z – x x y y z a) z – x 3 3(x y)(y z)(z x) 0,25 0,25 (x y) (y z) (z x) x (y z) y (z x) z (x y) 3(x y)(y z)(z x) (x y)(x z)(y z) 3 - Gọi thương chia 2x ax b chia cho x + P(x) A 0,25 Ta có: 2 0,5 Vì dư phép chia 2x ax b cho x + -6 nên ta có: 2x ax b (x 1).P(x) (*) Thay x = - vào (*) được: 2( 1)3 a( 1) b ( 1).P( 1) a b a b (1) - Tương tự, gọi thương chia 2x ax b chia cho x - 0,25 0,25 Q(x) Vì dư phép chia 2x ax b cho x - 21 nên ta có: 2x ax b (x 2).Q(x) 21 (**) Thay x = vào (**) được: 2.23 a.2 b (2 2).Q(2) 21 16 2a b 21 2a b 5 (2) Từ (1) (2) ta được: b) b b 5 2b b 5 3b b a = -1 + = 0,25 Vậy giá trị a b cần tìm a = 3, b = -1 Vì a, b, c khác thỏa mãn a + b + c a b c3 3abc nên ta có: 0,25 a b c3 3abc a b3 c3 3abc 0 (a b)3 c3 3ab(a b) 3abc 0 0,25 (a b c) (a b)2 (a b).c c2 3ab(a b c) 0 (a b c) a 2ab b ac bc c 3ab 0 (a b c) a b c2 ab ac bc 0 2 0,25 a b c ab ac bc 0 2a 2b 2c2 2ab 2ac 2bc 0 (a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a ) 0 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b 0 b c 0 c a 0 a b c 0,25 Do đó: a) a b c B (1 1)(2 1)(3 1) 2.3.4 24 b c a x 17 x 21 x 4 33 29 25 x 17 x 21 x 1 0 33 29 25 x 50 x 50 x 50 0 33 29 25 1 ) 0 33 29 25 x 50 0 (x 50)( x 50 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2 7(x 9) x 3 x 3 x x x2 Điều kiện: x 2 x 3 x u, v x 2 Đặt x , phương trình cho trở thành 2 u 6v 7uv u uv 6v 6uv 0 u(u v) 6v(u v) 0 (u v)(u 6v) 0 u = v u = 6v x 3 x - Xét u = v ta có: x x x 3x 2x x 3x 2x 10x = x 0 (TMĐK) 0,25 0,25 0,25 x 3 x 6 x 2 - Xét u = 6v ta có: x 2 x 3x 2x 6x 18x 12x 36 5x 35x 30 0 x 7x 0 x x 6x 0 x(x 1) 6(x 1) 0 (x 1)(x 6) 0 x = (TMĐK) x = (TMĐK) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 0;1;6 A B 0,25 N I E D a) C M 0,25 Ta có: BN//DC (Vì AB//DC) BN BE CD CE (Hệ định lí Ta- let) Tương tự: AB//CM AB BE MC CE BN AB CD MC 0,25 0,25 Mà CD = BC, AB = BC (Vì ABCD hình vng) BN BC BC MC 0,25 Xét NBC BCM có: BN BC BC MC (Chứng minh trên) NBC BCM 90 b) NBC BCM (c-g-c) Gọi I giao điểm BM CN CBM BCM) Ta có: BNC (vì NBC BNI CBM Mà NBI CBM CBN 90 0,25 NBI BNI 90 0,25 - Xét BNI có: BNI BIN NBI 180 (Theo định lí) NBI BNI 90 Mà (Chứng minh trên) BIN 90 BM CN 0,25 A E H N K D B C M Gọi M trung điểm BC Nối M với H K 0,25 0,25 - Xét tam giác BHC có: BHC 90 (GT) MB = MC (cách vẽ) MH BC (Tính chất tam giác vng) MK BC - Tương tự, MH MK MHK cân M Kẻ MN HK (N HK) NH NK (1) - Xét tứ giác BCED có: BD // CE (cùng vng góc với KH) BCED hình thang (theo định nghĩa) Lại có MB = MC (cách vẽ) 0,25 0,25 0,25 MN //BD //CE (cùng vng góc với KH) NE = ND (2) Từ (1) (2): NE – NH = ND – NK HE = KD 0,25 Vì a, b khơng đồng thời nên ta có: a2 a2 a a b2 0,25 b b b a b2 0,25 1 2 a b a b2 0,25 Do đó, a2 b2 a2 b2 1 2 2 2 2 a 1 b 1 a b a b 1 a b 1 a b2 1 - Hết - 0,25