PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRIỆU PHONG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1: (2 điểm) a)Tìm cặp số nguyên m, n thoả mãn: m = n2 n 1 n 1 b)Cho A = n3 + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá trị nguyên dương n Câu 2: (1,5 điểm) Tính tổng: S = 1 1 3 5 7 9 999 1001 Câu 3: (1,5 điểm) Cho a – b = Chứng minh rằng: (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16) = a32 – b32 Câu 4: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: M = (a + b + c)3 – (a + b – c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC đường cao AH Gọi B’, C’ trung điểm cạnh AC AB Chứng minh: a)C’B’ phân giác góc AC’H b)Tính tổng góc AHC’ ABH Câu 6: (1,5 điểm) Cho tam giác cân ABC có góc ACB = 1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt CB D Chứng minh AD + DC = AB …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số bỏo danh: PHòNG GIáO DụC-ĐàO TạO TRIệU PHONG HƯớng dẫn chấm thi Câu Biểu điểm Sơ lợc lời giải n2 n 1 a, Thực chia m =n+ n 1 n 1 0.25 Để m nguyên với n nguyên n + ước Hay n + 1; -1 Khi : n+1 = n = Z ( t/m) n+ = -1 n = -2 Z (t/m) Với n = m = Với n = -2 m = - Vậy cặp số m, n phải tìm (1; 0) ( - 3; - 2) b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Ta có : 3(n+1) chia hết cho n( n +1) (n+ 2) tích số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho Vậy A chia hết cho S= (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16) =1.(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16) 16 = (a – b) (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a + b16) = (a2 – b2) (a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16) = (a4 – b4)(a4 + b4)(a8 + b8)(a16 + b16) = (a8 – b8)(a8 + b8)(a16 + b16) + = (a16 – b16)(a16 + b16) = a32 – b32 (đfcm) 0.25 0,25 0.25 0.5 0.5 1,5 1 1 1 1 500 (1 ) (1 ) 3 999 1001 1001 1001 0,5 1.0 Đặt x = a + b – c; y = b + c – a; z = c + a – b => x + y + z = a + b + c 0.5 => A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 3.2b.2c.2a = 24abc 0,5 0.5 1.5 'H a)Chứng minh C’B’ phân giác AC C’B’ đường trung bình ABC nờn //BC => C’B’ vuụng góc với AH I Ta thấy vng ABH có C’I qua trung điểm AB //BC => C’I qua trung điểm AH => AC’H B 'H cõn => C’B’ phân giác AC C A C’ I H B’ 0,5 1,5 b) Tính AHC = 900 ' + ABH Trên AB lấy điểm E cho AE = AD => ADE = 800 => EDB = 400 => BED cân E => DE = EB(1) Trên AB lấy AF = AC => ACD = AFD => CD = DF(2) => DEF = 800 => EFD cân D => DE = DF(3) A Từ (1), (2), (3) => CD = EB Vậy: AD + DC = AB C D B F E