PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIỚI THIỆU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu (3,0 im) Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) 12x3 + 16x2 - 5x - b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x = y = z b) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn: a2 b2 c a c b b2 c a c b a Chứng minh a = b = c Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: a) x x = (1) 2 x 3 x x 9 b) 0 6 x2 x 2 x2 Câu (4,0 điểm) 2 1 1 a) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: x y 8 x y 2021 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x , với x số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Mơn : Tốn Lớp Câu Nội dung a) 12x3 + 16x2 - 5x - = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) b) A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Đặt x2 - x + = y, ta cã A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) = (x - 1)2(x2 - 5x + 1) = (x - 1)2 x 21 21 x a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (1) 2 Ta có : (x – y) 0, (y – z) 0 , (z – x)2 0 x y 0 Do đó: (1) y z 0 z x 0 x y z Cách Ta có: 0,5 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 2,0 a b c a c b 2 b c a c b a 0,5 Đặt x = a c, y = b a, z = c b Ta được: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = x=y=z a2c = b2a = c2b ac = b2; bc = a2; ab = c2 a = b = c (đpcm) Cách 2: Đặt x = 0,25 0,5 1,5 0,25 a4c2 + b4a2 + c4b2 = abc(a2c + c2a + b2c) 0,25 0,5 0,25 b) Có thể chứng minh hai cách sau: Điểm 1,5 a b c , y = , z = Khi xyz = b c a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 a2 b2 c2 a c b + + = + + Từ suy ra: 2 b c a c b a 1 xy + yz + zx = xy + yz + zx x2 + y2 + z2 = x + y + z = xyz 0,25 0,25 Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = x=y=z a b c = = b c a 0,25 3 a b c abc = = = 1 b c a abc a b c = = =1 b c a a = b = c (đpcm) 0,5 0,25 0,25 a) 2,0 2x 2x = Có thể giải cách sau: Cách 1: Ta có: (1) x x x x 0,5 x 1 x 0 (áp dụng tính chất: a b a b ab 0 ) x 2 x 2 x x x x Cách 2: Ta có: (1) 2 x 0 (áp dụng tính chất a b a b a, b 0 ) 5 x 0 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 3: Ta có: (1) x x (2 x 1) (2 x 5) Vậy phương trình có nghiệm 2 x 0 (áp dụng tính chất a b a b a 0; b 0 ) 2 x 0 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 4: Lập bảng xét dấu: x 2x – 2x – - 1/2 5/2 + - + + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 0,25 - Trong khoảng x < , ta có: 0,25 (1) -2x + – 2x + = -4x = -2 x 0,25 (không thuộc khoảng xét) - Trong khoảng 0,25 x , ta có: 2 0,25 (1) 2x – – 2x + = x 0 , phương trình nghiệm với - Trong khoảng x > x 2 , ta có: 0,25 0,25 (1) 2x – + 2x – = x 10 x 0,25 (không thuộc khoảng xét) Vậy phương trình có nghiệm x 2 Cách 5: Ta có: x khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 1; x khoảng cách từ điểm 2x đến điểm x x tổng khoảng cách từ điểm 2x đến điểm điểm Tổng điểm 2x điểm trùng với điểm 1, trùng với điểm 5 Khi đó: 2 x 5 x 2 Vậy phương trình có nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 x 2 b) 2,0 x 3 x x 9 0 x2 x 2 x2 2 Có thể giải cách sau: Cách 1: ĐKXĐ: x 2 0,25 x 3 x x x x2 a ; b Đặt , suy : ab = , x x2 x x x2 ta có: a2 + 6b2 – 7ab = (a – b)(a – 6b) = 0,25 a = b a = 6b x 3 x - Với a = b, ta có: x x2 (x + 3)(x + 2) = (x – 2)(x – 3) x2 + 5x + = x2 – 5x + 10x = x = (thoả mãn ĐKXĐ) x 3 x 6 - Với a = 6b, ta có: x x2 (x + 3)(x + 2) = 6(x – 2)(x – 3) x2 + 5x + = 6x2 – 30x + 36 5x2 - 35x + 30 = x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = (thoả mãn ĐKXĐ) 0,25 x = (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S = ;1; 6 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 x 3 x x 9 Cách 2: 0 (1) 6 x2 x 2 x2 ĐKXĐ: x 2 (1) (x + 3)2(x + 2)2 + 6(x – 3)2(x – 2)2 – 7(x2 – 9)(x2 – 4) = (x2 + 6x + 9)(x2 + 4x + 4) + (6x2 – 36x + 54)(x2 – 4x + 4) – - (7x2 – 63)(x2 – 4) = x4 + 4x3 + 4x2 + 6x3 + 24x2 + 24x + 9x2 + 36x + 36 + 6x4 – - 24x3 + 24x2 – 36x3 + 144x2 – 144x + 54x2 – 216x + 216 - 7x4 + 28x2 + 63x2 - 252 = 50x3 - 350x2 + 300x = x3 – 7x2 + 6x = x(x2 – 7x + 6) = x(x – 1)(x – 6) = x = x = x = Các giá trị thoả mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S = ;1; 6 a) Bài toán phụ: Chứng minh a2 + b2 (a + b)2 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 (1) Chứng minh: (1) 2a2 + 2b2 a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 (a – b)2 Áp dụng tốn phụ (1), ta có: 1 1 1 1 x y x y x y 2 x y 0,25 0,25 0,25 (2) 0,25 1 x y 2 Mà x y (vì x + y = 2) x y xy xy 0,25 (x + y) (vì (x – y) (x + y)2 4xy) xy ( x y) xy ( x y)2 16 (vì x + y = 2) xy x y Với x, y > 0, ta có < xy 0,25 0,25 0,25 1 x y 16 x y (3) 0,25 2 0,25 1 1 Từ (2) (3) suy ra: x y 8 x y b) 2,0 2020 B = x với x số nguyên 0,5 Xét x x B > Xét x x Z nên x 0;1; 2 + Khi x 0 B = - 404 + Khi x 1 x 1 B = - 503,75 + Khi x 2 x 2 B = - 2021 Vậy B = -2021 x = 2 A 0,5 0,5 0,5 B F E 2,0 D K I C a) Tứ giác ABCK có: AB // CK (AB // CD, K CD) AK // BC (gt) ABCK hình bình hành CK = AB DK = CD – CK = CD – AB Chứng minh tương tự, ta có DI = AB IC = CD – DI = CD – AB Từ (1) (2) suy ra: DK = IC (1) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 (2) b) DEK có AB // DK, theo hệ định lý Ta-let ta có: AE AB = (3) EK DK 2,0 FIC có AB // IC, theo hệ định lý Ta-let ta có: AF AB = FC IC Mà: DK = IC (câu a) Từ (3), (4), (5) suy ra: AKC có 0,5 (4) (5) AE AF = EK FC 0,5 0,5 AE AF EF // KC (định lý Ta-lét đảo) = EK FC EF // CD 0,5 c) Ta có: AB CK = (vì AB = CK) CD CD BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có: CK BE = CD BD BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có: BE EF = BD DI (6) (7) 0,25 0,5 Mà DI = AB Suy ra: BE EF = BD AB Từ (6), (7), (8) suy ra: 2,0 0,25 (8) AB CK BE EF = = = CD CD BD AB 0,5 AB EF AB2 = CD EE = CD AB 0,5 Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa