UBND HUYỆN PHỊNG GD&ĐT KỲ HỌC SINH GIỎI BA MƠN VĂN HÓA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) ĐỀ THI MƠN: Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a1 3x( x 2)(3x x 2) 1 a2 a (b c) b2 (c a) c (a b) a3 x 81 b) Cho a;b;c ba số đôi khác thỏa mãn: ab bc ca 0 Rút gọn biểu thức: A= a2 b2 c2 a 2bc b 2ac c 2ab Câu 2.(4 điểm) 1 3) x y z 2 b) Với x, y, Cho : f ( x, y) 5 x y xy x 2060 , chứng minh rằng: f (x, y) 2016 a) Cho 1 0 x y z Tính A xyz( Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh : A 13 23 33 43 20163 số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho Chứng minh rằng: A a13 a23 a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB a2 b2 c2 Câu (2 điểm) Chứng minh rằng: P= 1 a b c a c2 Với a,b,c HẾT Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - SBD: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Câu Ph ần Câu 5đ a.1 a.2 Nội dung Điể m 0.5 3x ( x 2)(3 x x 2) (3x x)(3 x x 2) (3x x) 2(3 x x) = (3x x 1) a (b c) b (c a) c (a b) = a (b c) b ( a c) c (a b) 2 = a (b c) b (a b) (b c) c (a b) = (a b2 )(b c) (c b )(a b) = ( a b)( a b(b c) (b c)(b c)(a b) = (a b)(b c) (a b b c) = (a b)(b c)(a c) a.3 a3 x 81 = (2 x ) 36 x 81 (6 x) = x (6 x) 2 = 2x 6x 9 2x 6x 9 Rút gọn biểu thức: A= 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 a b c a 2bc b 2ac c 2ab Ta có: ab ac bc 0 ab ac bc; ac bc ab; ab bc ac 0.5 a2 b2 c2 A= a ab ac bc b bc ab ac c2 ac bc ab b a2 b2 c2 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 (a b)(a c)(b c) Câu 0.5 A 1 1 1 Ta có: 2đ x y z x y z 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1 1 3 x y z x y xy x y z 1 1 1 3 z xy z z xyz Vậy: 1 0 x y z đó: A xyz( B 1đ 1 xyz x y z 2 f ( x, y) x y 3 x y 3 2017 f ( x, y ) 2016 với x,y Câu a 0.5 1 ) x y3 z3 1 1 xyz xyz 3 x y z xyz 2 f ( x, y) 5 x y xy x 2060 f ( x, y) 4 x y xy 12 x y x 10 x 25 y y 2017 0.5 a) Chứng minh : A 13 23 33 43 20163 số phương.Thật vậy: 0.5 0.5 0.5 2 2 2 1 2 3 4 5 2016 A 4.1 4.2 4 4.2016 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2016 2 A 22 02 32 12 42 22 52 32 2017 2015 2 2 2 2 2 2 2 1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016 A 2 2 2 2 0.5 0.5 0.5 2 2016.2017 A ; A 1008.2017 ; Vậy A số phương 0.5 b 2 2 Dễ thấy: a a a (a 1) a (a 1)(a 5) a(a 1)( a 4) 5a(a 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) 5a(a 1) (a 2)(a 1)a (a 1)(a 2) tích 0.5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; 5a(a 1) bội nên chia 0.5 hết cho Vậy; a a chia hết cho5 0.5 5 Xét hiệu A (a1 a2 a2016 ) (a a a 2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a15 a1 ) (a25 a2 ) (a2016 a2016 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng chia hết cho 0.5 Do A chia hết cho Câu C D I H O E F 0,5 A a b K M B Ta có: CAB = FMB= 450 AC // MF (Vị trí đồng vị) mà EB MC (T/c đường chéo hình vng) EB AC ∆ACB có: BE AC; CM AB E trực tâm ∆ACB AE BC; Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 1 HO AC DM 2 c ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB (KAB) IK đường trung bình hình thang ABFD AD BF AM BM AB IK (không đổi) 2 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu 0,5 0,5 0,5 Chứng minh rằng: P= a2 b2 c2 2 1 2 2 a b b c c a a b c2 Với a,b,c Thật vậy, với a,b,c ta có: a2 a2 b2 b2 ; 0,5 a b2 a b2 c2 b2 c2 a b2 c2 4 c2 c2 ; 2 2 a b c a b c2 c2 a a b c2 0,5 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: a2 b2 c2 P 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c2 a b c2 1 Điều phải chứng minh a b c2 0,5 0,5