R hsg t7 cđ2 lũy thừa tính tìm x đpbx

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐS7.CHUN ĐỀ 2-LŨY THỪA, TÌM X II Bài tốn Bài Tính: 100 a) S 1      2 2020 b) A 3     3 n  n ( n  ¥ , n 1) c) B 7     2019  42020 d) D 4      Lời giải: S 1   22  23   2100 a) S 2  22  23   2100  2101 100 101 100 Ta có: S  S (2      )  (1     ) S 2101  2020 b) A 3     3 A 32  33  34   32020  32021 2020  32021)  (3  32  33   32020 ) Ta có: A  A (3     A 32021  hay A 32021  2 n  n ( n  ¥ , n 1) c) B 7     7 B 7  73    n  n 1 B  B (7  73    n  n 1)  (7   73   n ) B 7 n 1  B n 1  2019  42020 d) D 4      4 D 42  43  44  45   42020  42021  D  D (4  42  43  44   42019  2020 )  (42  43  44  45   42020  42021)  5D 4  42021  D  42021 Bài Rút gọn biểu thức: 1 1 A      2000 4 4 a) C c) 1 1     ( 5) ( 5) ( 5) ( 5)99 B 1  b) 1 1     (n  ¥ * ) n 13 13 13 13 1 1 D 1      1024 d) CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Lời giải: 1 1 A     2000 4 4 a) 1 1 A     2001 4 4 1 1   1 1  A            2000 2001 4 4  4 4  A 1 A  4 42001 A 42000  3.42000 1 1     (n  ¥ * ) n 13 13 13 13 b) 1 1 B     13 13 132 133 13n 1 B 1   1 1  B       13 13n   13 132 B  1      n 1  13  13 13  12 13n 1  B 1  B 13 13n 1 hay 12.13n C c) 1 1     ( 5) (  5)2 ( 5)3 ( 5)99 ( 5)C 1  1 1     ( 5) ( 5)2 ( 5)3 ( 5)98  1 1  C  5C       99   ( 5) ( 5) ( 5)3 (  5)   6C  (  5)99 1  1 1         98  (  5) (  5) (  5) (  5)    599   C     6.599    hay 1 1 D 1      1024 d) 1 1 D 1      22 23 210 1 D 2      22 29  1  D  D         22  29   1 1        10   2  CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG D 2  210 1 1 1 B        2020 2021 3 3 Bài 3: Chứng minh : Lời giải: 1 1 1 B        32 33 32020 32021 1 1 3.B 1      32 32019 32020 Xét  3B  B 1   2.B 1   B 32021 2021 1 2 2019 2020 T      2018 2 2 22019 Hãy so sánh T với Bài 4: Cho Lời giải: 2019 2020 T      2 22018 22019 2020 2T 2     2 22018 Xét : 2019 2020 T      2 22018 22019 mà 1 1 2020 2T  T 2       2018 2 2 22019 Suy : 1 1 2020  T 2       2018 2 2 22019 1 2020  2T 4       2017 2 22018  2T  T 3  2021 22018  2020 22019 3  T 3 Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau: A 1   32   32008 B 7   73   n   n  n  ¥ , n 2  CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG M      30 31 32 33 1 1 P 1      27 81 243 n  ¥* 2n  N 1    n  ¥* n ( 2) ( 2) ( 2)   2020 C       3 3 32020 Đáp số: 32009  A N ( 2) n  ( 2) n ( 3) n 1  B 32 n 1  M  2n 36  P 32020  1010 C  2019  2020 Bài 5: Thu gọn biểu thức sau: A 32020  32019  32018  32017   32   B 52020  52019  52018  52017   52   C 7 2021  2019  2017  72015   75  73  Đáp số: A 32021  B S Bài 6: 6: Chứng minh tổng: 22  24 52021   26 C   24 n   24n   22018 2023  50  2020  0, Hướng dẫn: dẫn: Tính được 1 S   2018  S  5 Bài 6: 7: Chứng minh rằng:  74   74n   74n   798  7100  50 Hướng dẫn: dẫn: A 1 1 1 1    n   n   98  100   100  A 50 7 7 7 50 50 Dạng Tìm x I.Phương pháp giải Khi tìm x có chứa lũy thừa: +) Biến x phần số, ta đưa hai vế số mũ lưu ý: a n b n (với n lẻ) a b a n b n (với n chẵn) a b a  b +) Biến x phần số mũ, ta đưa hai vế số sử dụng : CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG a m a n (với a 0, 1 ) m n II.Bài tốn Bài Tìm x : a)  x   64 x c) 16 x    125  b) 4 x 27 d) Lời giải:  x  8  x 6   64 x     x  10  x  2 x   6;  10 Vậy a) c) x x b) 16  2  x 4 Vậy x 4  x  5  125  ( x  5)3 ( 5)3  x   Vậy x  10 Bài Tìm số nguyên n , biết rằng: 4 x 27 d)  x 1 Vậy x 1  34  x 33   x 3 81 n n a) 27 : 9 25 5 n c )  243 n (  3) b) n  4.2n 9.25 d) Lời giải: n n 3n n 2n a) 27 : 9  : 3  3  2n 2  n 1 (Thỏa mãn n  ¢ ) Vậy n 1 81  243   n  1   n  ( 3) n   3  n  (  3)  b) ( thỏa mãn n  ¢ ) Vậy n  25 5 n  5n 51  n 1 (Thỏa mãn n  ¢ ) Vậy n 1 c) n  4.2n 9.25  2n 9.25  2n 26  n 6 (Thỏa mãn n  ¢ ) Vậy n 6 d) Bài Tìm số tự nhiên x , biết rằng: x x 650 a)  Lời giải: x x 650 a)   x  25.5 x 650  26.5 x 650  x 25  x 52  x 2 ( Thỏa mãn x  ¥ ) Vậy x 2 x  5.3x  162 b) x  5.3x  162 b)  6.3 x 162  3x 27  x 33  x  3  x 4 ( Thỏa mãn x  ¥ ) Vậy x 4 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Bài tập tự luyện: Bài Tìm x : x x 320 a)  x 2  3x 810 b) x  x 1 x c) 10800 Đáp số : a) x 6 Bài Tìm n số tự nhiên, biết n a) 3 3 22 :  2n 4  d) b) x 4 c) x 2 2 n b) 3 3 e) n 3 n 128 c) f)  n  1 243 2n   5.2n   32 2n   2n 96 g) Đáp số: a) n 3 b) n 5 c) n 4 e) n 2 f) n  ( không thỏa mãn n   ), khơng có số tự nhiên n thỏa mãn đề g) n 5 d) n 2 Dạng So sánh hai lũy thừa * Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa so sánh hai lũy thừa số số mũ + Nếu hai lũy thừa số lũy thừa có số mũ lớn lớn m n Nếu m  n a  a (a  1) + Nếu lũy thừa có số mũ ( lớn 0) số mũ có số lớn lớn n n Nếu a  b a  b (n  0) Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân ( a  b v a.c  b.c ới c>0) Dạng 3.1 So sánh hai lũy thừa có số, số mũ I Phương pháp giải: m n Nếu m  n a  a (a  1) n n Nếu a  b a  b (n  0) II Bài toán Bài So sánh a)33317 33323 10 10 b) 2007 2008 2009 1999 c) (2008  2007) (1998  1997) Lời giải Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG 33317  33323 a) Vì < 17 < 23 nên 10 10 b) Vì 2007 < 2008 nên 2007  2008 2009 12009 1 (1998  1997)1999 11999 1 c) Ta có: (2008  2007) 2009 (1998  1997)1999 Vậy (2008  2007) Bài So sánh 300 và3200 20 10 e) 99 và9999 500 7300 f) 11 a) b) 1979 và371320 c) và3.4 10 g) 10 48.50 303 202 d) 202 và303 Lời giải h) 1990 10  19909 và199110 Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ 300 (23 )100 8100 ; a) Ta có: 3200 (32 )100 9100 100 100 300  3200 Vì  nên2 500 (35 )100 243100 ; 7300 (73 )100 343100 b) Tương tự câu a, ta có: 100 100 500  7300 Vì 243  343 nên3 5 15 14 14 7 c) Ta có: (2 ) 2 2.2  3.2 3.4   3.4 303 (2.101)3.101 (23.1013 )101 (8.101.1012 )101 (808.1012 )101 d) Ta có: 202 302202 (3.101)2.101 (32.1012 )101 (9.1012 )101 2 303  303202 Vì 808.101  9.101 nên202 2 10 10 20 10 e) Ta thấy: 99  99.101 9999  (99 )  9999 hay99  9999 1979 f) Ta có: 11  111980 (11)3.660 (113 )660 1331660 (1) 371320 37 2.660 (37 )660 1369660 (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979  371320 10 g) Ta có: 10 210.510 2.29.510 (*) 48.505 (3.24 ).(2.52 )5 (3.24 ).(25.510 ) 3.29.510 (**) 10 Từ (*) (**)  10  48.50 10 h) Có: 1990  19909 19909.(1990  1) 1991.19909 199110 1991.19919 9 9 10 10 Vì 1990  1991 nên1991.1990  1991.1991 hay1990  1990  1991 27 63 28 Bài Chứng tỏ rằng:   CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Lời giải Với này, học sinh lớp không định hướng cách làm, giáo viên gợi ý: chứng tỏ 63  527 263  528 63 9 27 9 63 27 Ta có: (2 ) 128 và5 (5 ) 125   (1) 63 7 28 7 63 28 Lại có: (2 ) 512 và5 (5 ) 625   (2) 27 63 28 Từ (1) (2) =>   Bài So sánh 13 a) (  32) ( 16) 30 50 b) (  5) và(  3) 1 ( )100 và(  )500 d) 16 13 c) (  32) ( 18) Lời giải Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên 9 45 3 13 52 a) ( 32)  32  (2 )  ;( 16)  16  (2 )  45 52 24 52 13 Vì  nên    hay (  32)  (  16) 30 30 10 10 50 50 10 10 b) ( 5) 5 (5 ) 125 ;( 3) 3 (3 ) 243 10 Vì 125  243nên125  24310 hay(  5)30  ( 3)50 9 45 c) ( 32)  32  (2 )  45 52 13 13 45 13 13 13 Mà  16  18     18 ( 18) Vậy (  32)  (  18) 1  1100 ( 1)500 1 1 100 400 500 100 500 d) Ta có: ( 16 )100 = 16 = 16 =2 ( )500 = = Vì 400 500 2 nên 400  500 Vậy ( 100 )  (  )500 16 Dạng 3.2 So sánh hai số lũy thừa khác số số mũ II Bài toán Bài So sánh a) 107 50 7375 91 35 b) Lời giải 1979 c) 11 11 d) 31 371320 1714 Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG a) Ta thấy: 107 50  10850 (4.27)50 (22.33 )50 2100.3150 (1) 7375  7275 (8.9)75 (23.32 )75 2 225.3150 (2) 50 100 150 225 150 75 50 75 Từ (1) (2)  107    73 107  73 90 91 90 18 18 b) Ta thấy 90  91nên  mà (2 ) 32 35  36nên535  536 mà536 (52 )18 2518  535  2518 18 18 35 18 18 91 35 91 Do 25  32nên 25  32 mà5  25  32  hay5  1979 c)Ta thấy : 1979  1980nên11  111980 mà111980 (113 )660 1331660 371320 (37 )660 1369660 1979 Do 1331  1369nên11  1331660  1369660  111979  371320 11 11 11 11 55 d) Ta thấy 31  32nên31  32 mà32 (2 ) 2 (1) 16  17 nên1614  1714 mà1614 (2 )14 256 (2) 11 55 56 14 11 14 Từ (1) (2)  31    17 suyra31  17 Bài So sánh 20 15 a) 199 2003 39 21 b) và11 217 c) 11972 Lời giải 20 15 a) 199 2003 199 20  20020 (2.100) 20 220.10020 32.215.10 40 200315  200015 (2.1000)15 215.1045 215.1040.100000 Vì 199 20  32.215.1040  10000.215.1040 20 15 Vậy 199  2003 39 21 b) và11 339  340 (34 )10 8110 21 20 10 10 Ta có 11  11 (11 ) 121 10 10 21 39 Vì 121  81 nên11  217 c) 11972 217 216 216 72 72 72 Ta có:  mà5 (5 ) 125  119 217 216 72 72 217 72 Vì  hay125  119 nên5  119 Dạng 3.3: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa I Phương pháp giải CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG n n Với A, B biểu thức ta có: A  B  A  B  Am  B n  m  n  m  n  A  II Bài toán A Bài So sánh A B biết: 20082008  20082009  ;B  20082007  20082008  Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh : a a a c  1thì  b bc +) Nếu b a a a c  1thì  b b c +) Nếu b Áp dụng tính chất vào , ta có : A Vì A 20082008  20082009  20082008  20082009   1 nên 20082008 1  2007 20082009 1  2007  20082008  2008 20082009  2008  2008.(20082007 1) 2008.(20082008 1)  20082007 1 20082008 1 B Vậy A < B Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta có : 2008 A  (20082008  1).2008 2008.B  20082009  (200820071).2008 2008 2008 1   20082009  20082008 1  2007 20082009   20082008 1nên Vì 20082009 1  2007 2008 2008 1 2007 2009 2008 1  1  1  2007 20082009 1 2007 20082008 1 2007 20082008 1  2008 A  208.B  AB Cách 2: 20082009 1 20082009  2008  2007 2008.(20082008 1)  2007 2007    2008  2008 2008 2008 A 2008 1 2008 1 2008 1 20082008 1 20082008 1 20082008  2008  2007 2008.(20082007 1)  2007 2007    2008  2007 2008 1 B 20082007  20082007 1 20082007  10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG  3 x 5  x  3x  0     y 1   y 1   y  0  x z    x  z 0 z    5 5 x  ; y 1; z  x  ; y  1; z  3 3 Vậy x 1  d,  y     z  3 0  x  0    y   0 x, y, z   z  3 0 x 1    Vì : nên để :  x  0    y   0   y     z  3 0  z  3 0  x  0  x 1     y  0   y 2  z  0  z  x 1; y 2; z  Vậy Bài Tìm x, y biết: a,  3x  5100   y  1 200 0 2016  ( y  1) 0 c, ( x  1) b, ( x  2) 20  y  x 0 2016 0 d, ( x  y )  ( y  2001) ( x  2)10  y  x  3 e, Lời giải a, Vì  3x  5100   y  1 200 0 100  0 x  x   100 200  x   y  0 x, y      200 y    y     3x  5100   y  1 200 0  nên để :  x x  0   y  0  y   x ;y Vậy  b, ( x  2) 20  y  x 0  x   20 0 x 20 x  0  x 2   x    y  x 0 x, y   20 y  x 0 x, y y  x 0  y 2 ( x  2)  y  x 0   Vì , nên để Vậy x 2; y 2  2016  ( y  1) 0 c, ( x  1) 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG  x  1 2016 0 x 2016   x  1   y  1 0 x, y  2016  y  1 0 y  ( y  1) 0 Vì :  , nên để : ( x  1) x  0  x   y  0  y 1 : Vậy x  1; y 1  2016 0 d, ( x  y )  ( y  2001)   x  y  0 2016 x, y   x  y    y  2001 0 x, y  2016 y  2001    Vì :  , nên để :  x 4002 x  y 0   2016 ( x  y )  ( y  2001) 0 : y  2001 0  y 2001  Vậy x 4002; y 2001 e, ( x  2)10  y  x  3  ( x  2)10  y  x 0  x   10 0 10 x, y   x    y  x 0 x, y  y  x 0 Vì  ( x  2)10  y  x 0 nên để : Vậy x 2; y 2 :  x  0 x 2  y  x 0 y 2  2  x     y  3  Bài Tìm số nguyên x; y biết: Lời giải Ta có: x; y  ¢   x   ;  y  3 Mặt khác, vì: số phương  x   0 2 x, y   x     y  3 0 x, y   y  3 0  x     y  3  nên để 2 x   ;  y  3  số phương nhỏ Ta có số phương nhỏ 1, nên ta có TH sau :  x   0  x  0  x        y  3 0  y  0  y 3 TH1 : TH2 :  x  0  x   0     y  1    y  3 1   y     x     y 4    y 2    x     y 4   x     y 2 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG  x   1   x  1    x      y  3 0  y  0  TH3 : TH4 : Vậy   x     x    y 3    x     y 3   x     y 3   x     y 4   x  1   x    x      x   1  x    x    y 2         y  3 1   y  1   y 4   x      y     y 2   y 4      x    y 2   x; y      2;3 ,   2;  ,   2;  ,   1;3 ,   3;3 ,   1;  ,   1;  ,   3;  ,   3;   Bài Tìm a, b, c biết: a,  2a  1   b  3   5c   0 b, 4 7b  3   21a     18c   0  c,  a     3b     4c  5 0 2a     8b  1   c  19  0  d, Lời giải a,  2a  1   b  3   5c   0 2a  1 0;  b  3 0;  5c   0  Vì a, b, c   2a  1   b  3   5c   0 a, b, c 1  a  2a  0   b    b    5c  0  c  2a  1   b  3   5c   0   nên để thì: 1 a  ; b  3; c  Vậy b,  a     3b     4c  5 0 2 a   0;  3b   0;  4c   0  Vì : 2 a, b, c   a     3b     4c   0 a, b, c  a 7  a  0  2  a     3b     4c  5 0  3b  0  b   4c  0  c   nên để : 2 a 7; b  ; c  Vậy 4 7b  3   21a     18c   0  c, 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG  7b  3 0   4  21a   0 a, b, c   7b  3   21a     18c   0 a, b, c   18c   0 Vì : nên để :  b  7b  0  4  7b  3   21a     18c   0  21a  0  a  21 18c  0   c   18 5 a  ;b  ;c  21 18 Vậy 2a     8b  1   c  19  0  d,  2a   0   4  8b  1 0 a, b, c   2a     8b  1   c  19  0 a, b, c   c  19  0 Vì , 9  a  2a  0  1   8b  0  b  c  19 0  c  19  2a     8b  1   c  19  0   nên để : 9 1 a  ; b  ; c 19 Vậy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm x, y biết: a)  x  y  2006   y   2008 0  x  12  x  a,  b,   y  ;  y 1 Bài Tìm x, y biết: c,  x  y    y  1 2020 0 d) ( x−1 )2 + ( y +3 )2=0  x  y     y  3 0 c) Đáp án: a, b)  x 5 c,   y   x 1 d,   y  ( x+ y )2006 +2007|y−1|=0 b, |x− y−5|+2007 ( y−3 ) ( x−5 )4 +5|2 y−7|5=0 |x +3 y−1|+ y − d, ( x−2 y )2004 +4|y + |=0 f, e, Đáp án: ( 2008 =0 2000 ) =0  x 1 2022  y  0 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA- TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG  x  a,   y 1 ;  x 8 b,   y 3   x  d,   y 1   x 5  c,   y  1   x  f ,  y 4   x   e,  1  y  Bài Tìm x, y biết: a,  3x  y    y  1 0 x b) y     y  1 0 d,  x  y     xy  10  0 c,  12 x     11y   0 Đáp án: 1   x  a,   y 1  ;  x 2  x 5 b,  hc   y 5  y 2 5   x  c,   y   2   x  d,  y   11 Bài Tìm x, y biết: a, c,  x  2y 2  x  y  10  y   0 3  b,  y  0 x− ( 2006 ) + 2007 | y + |≤0 2008 25 d, 2007  x  y  2008  2008 y  2007 0 Đáp án: 3   x  a,   y 3  ; 2   x  b,  y     x  c,  y   10  x 2 d,   y 4 Dạng TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Dạng 5.1 TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG I.Phương pháp giải - Tính chất: Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận a – Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5, m 4n  r a 4n a r am với r 0;1; 2;3 nên từ tính chất 1c  chữ – Nếu chữ số tận a 3, 7, 9, a a số tận x chữ số tận ar – Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp trên, từ tính chất 1d  chữ số tận x chữ số tận 6.ar Tính chất sau  từ tính chất Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận 20