PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIÊN PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức a)A = 3+2 √ 2− 57+40 √2 Bài 2: (2,0 điểm) √ √ b) B = √ √5−√ 3−√ 29−6 √20 x5 x3 x − + a) CMR biểu thức M = 30 15 nhận giá trị nguyên với x ¿ Z b) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết số phương ; chia hết cho d số nguyên tố Bài 3: (1,5 điểm) Với a , b ¿ R Chứng minh:a) Bài4: (2,0 điểm) a+b a2 +b ≤ 2 ( ) b) a2 + b2 + ≥ ab + a + b a) Tìm giá trị lớn biểu thức N = x+ √ 2−x b) Giải phương trình nghiệm nguyên : 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) Bài 5: (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD , cạnh AB CD lấy điểm M , K cho AM = CK Lấy điểm P nằm cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ) Nối PB , PC cắt MK E , F Chứng minh Bài 6: (1,5 điểm) S PEF =SBME + S CKF Cho hình thoi ABCD có B A^ D=120 Tia Ax tạo với tia AB góc B A^ x=15 cắt cạnh BC M , cắt đường thẳng CD N Chứng minh 3 = + 2 AB AM AN ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP – KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Bài ( 1,5điểm) Rút gọn biểu thức A = 3+2 √ 2− 57+40 √2 √ √ ( 0,25đ) = ( 1+ √2 ) −( 5+4 √2 ) ( 0,25đ) = B= 2 = (1+ √2 ) − (5+4 √2 ) √ √ +4 √2−5−4 √ 2=−1 √ √5−√ 3−√(2 √ 5−3) √ √5−√ 3−√ 29−6 √20 = √ √ √ √ = √5− 3−(2 √ 5−3) = √ 5− 6−2 √ = Bài (2,0điểm) Câu a : 1,0 điểm ( 0,25đ) (0,25đ) √ √5−√ 5+1 =1 x ( x −4 x 2−x + ) x5 x3 x x −5 x +4 x − + M = 30 15 = 30 = 30 x ( x −4 )( x 2−1) x ( x−1 )( x+1 )( x−2)( x +2) = 30 = 30 (0,25đ) (0,25đ) Hiểu lập luận x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 với x ¿ Z , M nhận giá trị nguyên với x (0,5đ) Câu b : 1.0 điểm */ Lập luận d = (0,25đ) ,thấy 1002 > abcd suy abcd = x5 2(0,25đ) Vì abcd chia hết cho => x5 chia hết cho => x5 chia hết cho (0,25đ) Suy x+5 = ; ; 12 => x = ; ; Kiểm tra 152, 452, 752 => kquả (0,25đ) a+b a2 +b ≤ 2 ⇔ ( a+ b )2 ≤2 a2 +2 b (0,25đ) Bài (1,5điểm) Câu a (0.75đ) : ( ) ⇔ ( a−b ) ≥0 Câu b : (0,75điểm) 2 a + b + ≥ ab + a + b ⇔2 a2 + 2b +2−2ab−2 a−2 b≥0 ( hiển nhiên – đpcm) 2 (0,5đ) ⇔a +b +1−ab−a−b≥0 2 (0,25đ) ⇔ ( a−b ) + ( a−1 ) + ( b−1 ) ≥0 (0,5đ) Bài (2,0điểm) Câu a (1,0đ) Điều kiện x ≤ Đặt √ 2−x= y ≥0 ta có y2 = – x (0,25đ) 9 −( y − )2 + ≤ 4 (0,25đ) Max N = 9/4 y = 1/2 x = 7/4 N = – y2 + y = (0,5đ) Câu b (1,0đ) Giải phương trình nghiệm nguyên 5x2 + 9y2 – 12xy + = 24( 2y – x – ) ⇔ 5x2 + 9y2 – 12xy + +24x – 48y +72 = (0,25đ) 4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = ( 2x – 3y + )2 + ( x – )2 = (0,5đ) suy x – = 2x – 3y + = =>x =4 y = 16/ Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun (0,25đ) Bài (1,5điểm) lập luận diện tích tam giác PBC nửa diện tích hbh ABCD (0,25đ) Lập luận diện tích tứ giác AMKD diện tích tứ giác CKMB nửa diện tích hbh ABCD (0,5đ) D Suy diện tích tam giác PBC diện tích CKMB (0,25đ) Loại trừ diện tích phần chung , suy kết (0,5đ) Bài ( 1,5điểm) Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ax , cắt cạnh DC K => D A^ K =15 (0,25đ) Chứng minh hai tam giác DAK , BAM => AK = AM (0,5đ) Thấy AH đường cao A P M E B F A K C B M D K H Δ AKN vuông A , suy C 1 = + 2 AH AK AN (0,25đ) √3 mà AH= AD.Sin600 = AB , vào, suy kquả (0,5đ) Lưu ý : Nếu giải theo cách khác mà điểm tối đa (dựa vào đáp án t/ phần) N