PHÒNG GD - ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGUYỄN LƯƠNG BẰNG MÃ ĐỀ T-02-HSG9-NLB-PGDTM Câu 1: (2đ) 1/ Cho 16 x x x x 1 Hãy tính: 2/ Rút gọn biểu thức: A x2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm câu, trang) x x 36 16 x x (1 x)3 (1 x)3 x2 Câu 2: (2d) a/ Giải phương trình: x x x 11 xy x y 0 b/ Giải hệ phương trình: yz y z xz x z 0 Câu 3: (2đ): 1/ Chứng minh rằng: số vơ tỉ 2/ Tìm tất số tự nhiên n k để: (n4 + 42k + 1) số nguyên tố Câu 4: (3đ): 1/ Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O Qua A kẻ tiếp tuyến với (O) tiếp xúc với (O) M N Lấy điểm B thuộc cung nhỏ MN, tiếp tuyến B cắt AM E cắt AN F OE, OF cắt MN P Q Chứng minh rằng: PQ không đổi B thay đổi cung nhỏ BC EF 2/ Cho tam giác ABC cạnh a M điểm nằm tam giác Gọi D, E, F hình chiếu M AB, AC BC Tìm vị trí M để : 1 nhỏ tính giá trị MD ME MD MF MF ME Câu 5: (1đ): Cho x y hai số nguyên thoả mãn 2x2 + x = 3y2 + y Chứng minh rằng: x y số nguyên =========== Hết =========== PHÒNG GD – ĐT THANH MIỆN TRƯỜNG THCS NGUYỄN LƯƠNG BẰNG MÃ ĐỀ T-02-TS10-NQ-PGDTM Câu Đáp án a/ 0,75điểm a/(1đ) ( 16 = 2x x 2( 16 x x (2đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG9 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Điểm x x )( x x 36 16 x x ) x x )( x x 36 16 x x ) =14 0,25đ Mà: 16 x x x x 1 => x x 36 16 x x =14 b/ 1,25đ : ĐK: x 1 A x2 x2 (1 x) (1 x) x 0,25đ 0,5đ x2 (1 x) (1 x) 0,5đ A2 = 2x2 => A = x 2 (2đ) 0,5đ a/ 1đ x x x 11 11 x x x ( x 2) ( x 1) 0 0,25đ x 0 x 1 (thỏa mãn đk) x 0 0,25đ ĐK: x 0,5đ b/ 1đ xy x y 0 yz y z xz x z 0 ( x 2)( y 2) 4 ( y 2)( z 2) 1 ( z 2)( x 2) 9 0,25đ (x+2)2 (y+2)2 (z+2)2 = 36 => (x+2) (y+2)(z+2) = hoặc(x+2) (y+2)(z+2) = -6 0,25đ 4(2 z ) 6 1 4 (x+2) (y+2)(z+2) = => ( x 2) 6 z , x 4, y 9( y 2) 6 0,25đ 4(2 z ) 7 8 (x+2) (y+2)(z+2) = -6 => ( x 2) z , x 8, y 9( y 2) a/ 1đ Đặt = a => a3 = 6-6a => a3 + 6a - = => a nghiệm phương trình x3 + 6x - = Để chưng minh a số vô tỉ ta chưng minh phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ Thật vậy: G/s PT x3 + 6x - = có nghiệm hữu tỉ (2đ) m (m, n Z , n 0;(m, n) 1) => n m3 m 0 m3 6mn 6n3 0 n n Từ : m3 6mn 6n3 0 => m chia hết cho => m = 2k (k Z) => 8k 12kn 6n3 0 4k 6kn 3n3 0 => n chia hết cho mâu thuẫn với (m,n)=1 => đpcm b/ 1đ 2/ (1đ) A = n4 + 42k + = (n2 + 2.4k + 2n.2k)( n2 + 2.4k - 2n.2k) Vì n, k số tự nhiên => n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k - 2n.2k > A nguyên tố n2 + 2.4k - 2n.2k = n2 + 2.4k + 2n.2k nguyên tố n + 2.4k - 2n.2k = => n = 1; k = Với n = 1, k = n2 + 2.4k + 2n.2k = nguyên tố 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ M E A P B F O Q N 1/ 1.5đ (3đ) EOF EMQ sd MN => tứ giác MOQE nội tiếp 0.5đ Tứ giác OMEB nội tiếp => 5điểm O,M,E,B,Q thuộc đường tròn 0.5đ MQO MEO OEF => hai tam giác OPQ OFE đồng dạng=> OH PQ OB EF Kẻ OH vng góc với PQ (O) điểm A cho trước AN, AM cố định => OB, OH không đổi => PQ không đổi B thay đổi EF 0.5đ 2/ 1.5đ Tính MD + MF + ME = a b 0.5đ a 0.25đ c CM: (a+b+c) ( ) 9 => (MD + MF + ME) ( 1 ) 9 MD ME MD MF MF ME Dấu xảy M tâm tam giác => nhỏ biểu thức là: 0.5đ 0.25đ 1 = 3a MD ME MD MF MF ME 2x2 + x = 3y2 + y 2 0.25đ x y x y y (2 x y 1)( x y ) y (1đ) Nếu x = 0; y = 2x+2y+1=1 số phương 0.5đ x y Nếu x 0 y 0 Vì x, y số nguyên nên ta suy x-y số phương khác 2x+2y+1 số phương Ta chứng minh x - y số phương Giả sử (x,y) = d => x = dx1 y = dy1 (x1,y1) = Vì x y => x1 y1 tồn m khác cho y1=x1+m 0.25đ (Với (x 1,m) = 2 ( x m ) d 2( x1d ) x1d 3( x1d md ) x1d md y= x1 d x1dm 3m d m 0 (*) Từ (*) => m chia hết cho d d chia hết cho m d = m d = -m Nếu d = m => x12 x1m 3m 0 x12 3 (vô lý) => d = -m x-y = x1d-y1d = x1d-(x1 - d)d = d2 số phương 2x+2y+1 số phương