UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) x2 2x 2x2 A 1 x 8 x x x x x a) Rút gọn biểu thức : với x 0; x 2 b) Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + y3 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x2 4x 21 x x 10 y2 y y y y 1 b) Giải bất phương trình : Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ y b) Giải phương trình nghiệm nguyên dương : x x Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Kẻ đường cao AH AB BH CH a) Chứng minh : AC b) Kẻ AD tia phân giác góc BAH ( D BH ) Chứng minh : DH DC BD.HC c) Gọi M trung điểm AB, E giao điểm hai đường thẳng MD AH Chứng minh CE // AD Câu 5: (1,0 điểm) 2 Cho b a 4 2ab 3a 4b Tìm giá trị lớn biểu thức P a b HẾT Giám thị khơng giải thích thêm -UBND THỊ XÃ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm 03 trang) Nội dung đáp án Phần a x2 x 2x2 A 1 2x 8 x 2x x x x2 a) Ta có x2 x x2 x x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) x2 2x ( x 1)( x 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) 2x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x3 x x x x 1 x( x 4)( x 1) 2( x 4) x x ( x 4) x 1 x 1 A x Vậy x với x 0; x 2 Câu b 0,25 0,25 0,25 0,25 3 + Khi M x y ( x y ) 3xy ( x y ) 0,25 + Tính M 2 3.( 3).2 26 Vậy M = 26 Chú ý : Nếu HS tính trực tiếp x y thay vào M tính cho điểm tối đa ( x x 6)( x x 10) 21 ( x x 2)( x x 2) 21 ( x x 8) 25 x2 x x2 x 0,25 0,25 0,25 x 5 x x 0 (1) x 13 0 (2) - Giải PT (1) nghiệm x1 1; x2 3 2 - Giải PT (2) vơ nghiệm x x 13 ( x 2) 0x Vậy tập nghiệm PT S {1;3} Câu 0,25 + Ta có x y ( x y ) xy + Do 10 4 xy xy 2 Ta có x x 10 ( x 2) 0x Phương trình trở thành : a Điểm 0,25 0,25 0,25 b) ĐK : y 1 b y2 4(1 y) 1 y y 2 y 0 1 y y2 1 y y3 (1 y y )(1 y ) y3 0,25 y2 y y ( y 1) y ( y 1) 0 0 0 3 1 y 1 y (1 y )(1 y y ) 3y 0 y 0 y 0 (do y y 0) 1 y y y 0 Vậy nghiệm bất phương trình cho y 1 0,25 0,25 0,25 + Gọi hai số phương liên tiếp a2 (a +1)2 ( a N ) 2 2 + Theo ta có: a + (a + 1) + a (a + 1) = a + 2a + 3a + 2a + a = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = (a2 + a + 1)2 = [a(a + 1) + 1]2 0,25 + Do a nguyên nên a(a + 1) số chẵn a2 + a + số lẻ 0,25 + Vậy [a(a + 1) + 1]2 số phương lẻ Suy đpcm Nếu y 2 vế trái chia hết cho 9, ta chứng minh vế phải không chia hết cho 2 + Thật giả sử x x 79 x x 3 x x x 63 Câu x x 13 ( x 1) 3 ( x 1)3 (vì số nguyên tố) Suy x có dạng x 3k 1(k N ) b 2 + Khi x x (3k 1) 5(3k 1) 9k 9k không chia hết cho mâu thuẫn giả sử + Do y < Suy y {0;1} - Với y = x {2;3} - Với y = x {1; 4} + Vậy (x ; y) = (2; 0), (3; 0), (1; 1), (4; 1) Câu N B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A M Hìn h vẽ 0,25 D H C 0,25 E Chứng minh HAB a b HCA( g g ) AH HB AB HC AH AC AB2 AH HB HB AC HC AH HC Chú ý : HS chứng minh AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC chia vế DAC A1 90o ADC A 90o DAC ADC A A + Chứng minh : => ADC cân C 0,25 0,25 0,25 c => CA = CD 0,25 DH AH + Chứng minh DB AB (tính chất đường phân giác) 0,25 AH CH CH + Chứng minh AB AC CD (tam giác đồng dạng CA = CD) 0,25 DH CH DH DC BD.HC + Suy DB CD 0,25 + Dựng N điểm đối xứng D qua M => AN = BD 0,25 DH HE AN AE DH DH CH HE CH HE CH (cmt ) AE CD AH DH + Ta có : AN DB CD 0,25 0,25 HDA(c.g.c) CEH DAH + Suy HCE + Mà hai góc vị trí SLT nên CE // AD 2 2 + Với b 3, b a 4 P a b 3 25 0,25 0,25 Đẳng thức xảy a = 4; b = 2 2 + Chứng minh bất đẳng thức (ax by ) (a b )( x y ) (1) Câu 0,25 + Với b a 4 a b 1 Do (a b) a b P a b (a b)2 2ab a b 2ab a b (3a 4b) 4a 3b (2) 0,25 2 2 2 Áp dụng (1) ta có (3a 4b) (3 )(a b ) 25(a b ) (3) 2 2 2 Từ (2) (3) suy ( a b ) 25(a b ) a b 25 + Vậy Max(P) = 25 a = 4; b = 0,25