UBND HUYỆN THUẬN CHÂU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN : TỐN HỌC Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a a a a A : a b b a a b a b ab với a b số dương khác a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A a 7 b 7 Câu (3,0 điểm) 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy y 0 1993 1991 b) Chứng minh A 1991 1993 chia hết cho 12 Câu (4,0 điểm) a b c 8 a , b , c a) Cho Chứng minh b c a b) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2 y , tìm giá trị nhỏ x2 y2 M xy biểu thức Câu (3,0 điểm) Giải phương trình : a) b) Cho đường thẳng x x 2 x 1 d1 : y m2 1 x m2 5 m 1 d : y x d3 : y x *) Chứng minh: m thay đổi d1 qua điểm cố định *) Chứng minh : Nếu d1 / / d3 d1 d Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, H trực tâm Vẽ đường trịn tâm O đường kính AH Đường trịn O cắt AB M , cắt AC N Chứng minh : a ) AM AN b) B, H , N thẳng hàng c ) DN tiếp tuyến đường tròn O Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB 5cm, IC 6cm Tính BC ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a a a a A : a b b a a b a b ab với a b số dương khác c) Rút gọn biểu thức A a a a a A : a b b a a b a b ab a a a b b a a b ab a b a b 2a ab b)a 7 a : a b a a b ab a a 2 a b b 2a ab 3; b 7 ab b 2a b ab b 2 37 16 10 A 33 14 Câu (3,0 điểm) 2 c) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy y 0 x y xy y 0 x y y y 0 x y y 1 y 0 x y 0 y 1 y 0 y 1; x y 4; x 1993 1991 d) Chứng minh A 1991 1993 chia hết cho 12 1993 1991 A 19911993 19931991 1992 1 1992 1 199212 A 1 Vì Vậy A12 (đpcm) 1993 11991 0 mod12 Câu (4,0 điểm) a b c 8 c) Cho a, b, c Chứng minh b c a a b c b a c b a c VT b c a b c a ba cb ac 8abc (Co si ) 8 bca abc Dấu xảy a b c d) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2 y , tìm giá trị nhỏ M x2 y2 xy biểu thức Ta có : x, y số dương thỏa mãn x 2 y x y x xy y xy x y M 2 xy xy xy GTNN M x y Câu (3,0 điểm) c) Giải phương trình : x x 2 x 1 ĐK: x 1 Đặt x y 1 x 1 x 0 y y 0 y 1 y y 0 y 1 x 1(tmdk ) d) Cho đường thẳng d1 : y m2 1 x m2 5 m 1 d : y x d3 : y x *) Chứng minh: m thay đổi d1 qua điểm cố định *) Chứng minh : Nếu d1 / / d d1 d Giải *) y m 1 x m m 1 y m x x m y x m x 1 * y x 0 x y Để (*) với m thay đổi x 0 d1 1; Vậy m thay đổi ln qua điểm cố định *) Vì d , d3 có a.a ' 1.( 1) d d3 mà d1 / / d3 gt d1 d Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, H trực tâm Vẽ đường trịn tâm O đường kính AH Đường tròn O cắt AB M , cắt AC N Chứng minh : A O M N H B D C a ) AM AN ABC cân A, AD đường cao AD phân giác BAC BAD CAD Hay HAM HAN M , N đường tròn đường kính AH AM MH , AN HN Xét AMH vuông M ANH vuông N có : MAH HAN ; AH chung AMH ANH AM AN b) B, H , N thẳng hàng Ta có : H trực tâm ABC BH AC mà HN AC (cmt ) qua H có đường thẳng vng góc với AC B, H , N thẳng hàng c ) DN tiếp tuyến đường tròn O Ta có : ON OA ONA cân O OAN ONA (1) BNC vng N có ND đường trung tuyến nên ND BD BDN cân D DBN DNB ACB) 3 DBN OAN Mà (cùng phụ Từ (1), (2), (3) ONA DNB DNB BNO BNO ONA BNA 90 OND 90 ON DN mà N (O) DN tiếp tuyến (O) Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB 5cm, IC 6cm Tính BC E A D I C B Gọi D hình chiếu vng góc C đường thẳng BI , E giao điểm AB CD BIC có DIC góc ngồi nên : ABC ACB 90 : 45 DC cm DIC vuông cân Mặt khác BD đường phân giác đường cao nên tam giác BEC cân B 12 EC 2.DC cm BC BE DIC IBC ICB Gọi x BC BE x Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ABC ACE ta có : AC BC AB x 52 x 25 EC AC AE x 25 x 2 x 10 12 : 2 x 10 x x x 36 0 x 9(tm) Vậy BC 9cm