016 đề hsg toán 9 thái nguyên 21 22

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2021-2022 MƠN THI : TỐN Thời gian làm : 150 phút UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC P x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1 Bài (7 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P 3 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Q x P Tìm giá trị x để Q nhận giá trị nguyên d) Đặt Bài (4 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B tọa độ giao điểm đường thẳng  d  : y x  với trục hồnh trục tung Tính diện tích tam giác OAB khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d  b) Giải phương trình x  3x  x  A  a; a  , B  b; b  , C  c; c  P  : y x2  c) Trên parabol lấy ba điểm phân biệt 2 cho a  b b  c c  a Tính giá trị biểu thức sau : T  a  b  1  b  c  1  c  a  1 Bài (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho n  số nguyên tố 2n  lập phương số tự nhiên 2022 2021 b) Tìm a, b biết đa thức f  x  ax  bx  chia hết cho  x  1 Bài (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AB a Lấy điểm M , N di động đoạn thẳng AB, AD  M  AB, N  AD  cho MCN 45 CN , CM cắt BD E , F Chứng minh : a) CM  NF , CN  ME b) MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định c) Chu vi tam giác AMN không đổi Bài (1 điểm) Cho tập hợp X  0;1; 2; ; 20 Gọi Y tập hợp gồm có phần tử tập hợp X Chứng minh tồn hai tập hợp A B tập hợp Y  A B, A  , B   cho tổng phần tử tập hợp A tổng phần tử tập hợp B ĐÁP ÁN P Bài (7 điểm) Cho biểu thức e) Rút gọn biểu thức P P x2  x x  x  x  1  x       x  x 1 x x   x 1  x  x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1     2 x  x  x 1 x  x 1  x 1 x  x x  x   x  x  x 1 f) Tìm giá trị x để P 3 P 3  x  x  3  x    x 1  x1 x1 x     x  0  x 4(tm) g) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P P x  1 3  x   x      x  Min P   x  4   4 Vậy x P Tìm giá trị x để Q nhận giá trị nguyên h) Đặt x x Q   P x  x 1 x  1 x Q    x  1  U (2)  1; 2 x 1 x  1 2 x  1 x x Mà Q   x  1     x  1  1  x 1(ktm) x   x  x  2 x  k co nghiem nguyen 2 x Bài (4 điểm) d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B tọa độ giao điểm đường thẳng  d  : y x  với trục hoành trục tung Tính diện tích tam giác OAB khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d  Ta có tọa độ A(2; 0), B (0; 2)  OA OB 2, AB 2 2.2  2 Nên khoảng cách (áp dụng hệ thức lượng ) e) Giải phương trình x  3x  x  ĐKXĐ: x 1 h   x  3x  x   x  x   x   x   0   x  2   x  0 x   0    x 2(tm)  x   0   f) Trên parabol  P  : y x lấy ba điểm phân biệt  2 cho a  b b  c c  a Tính giá trị biểu thức sau : A a; a  , B  b; b  , C  c; c  T  a  b  1  b  c  1  c  a  1 b c b c a c  a  b 1  1  a b a b a b Vì b a c b b  c 1  , c  a 1  b c c a Chứng minh tương tự ta có a c b a c b T  a b b c c a Vậy a  b b  c  a  b  Bài (3 điểm) c) Tìm số tự nhiên n cho n  số nguyên tố 2n  lập phương số tự nhiên Giả sử 2n  a  a    2n a   n  Để n số tự nhiên  2k  1 n 3 a  2   a   a3  a le  a 2 Giả sử a 2k  1 k   * Ta có : 7 8k  12k  6k    4k  6k  3k  2  n  4k  6k  3k k  4k  6k    k 1  n  13  n 10  4k  6k  1( ktm)  n  Mà số nguyên tố nên n  10 Vậy 2022 2021 d) Tìm a, b biết đa thức f  x  ax  bx  chia hết cho  x  1 Vì f  x   x  1 nên x 1 nghiệm f  x   f  1 0  a  b  0  b  a   f  x  ax 2022   a  1 x 2021   x  1  ax 2021  x 2016  x 2015   1 Vì  x  1 0  x 1 nghiệm kép 2021 2016 x 1 nghiệm G  x  ax  x   a 2016  G  1 0  a  2016 0   b 2017  a 2016  Vậy b 2017 Bài (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AB a Lấy điểm M , N di động đoạn thẳng AB, AD  M  AB, N  AD  cho MCN 45 CN , CM cắt BD E , F Chứng minh : M A B L N O F E D C d) CM  NF , CN  ME Vì MCN ADB 45  NCF NDF  NDCF tứ giác nội tiếp  NFC NLC 90  NF  MC , NC  ME (tính chất tiếp tuyến ) e) MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định NF cắt ME O, O trực tâm CMN , CO cắt MN L nên CL  MN Có MEN MFN 90  MNEF tứ giác nội tiếp  MNE  MFE 180  MNE CFE Mà CFE CND (do CFND tứ giác nội tiếp )  CNL CND  LCN DCN  LNC DNC  g c.g   L; a   CL CD a  MN tiếp xúc với cố định AMN f) Chu vi tam giác không đổi Lấy T  tia đối tia BA có BT DN  CDN CBT (c.g c )  CN CT , PCN BCT Mà DCN  MCN  BCM 90  DCN  BCM 45  BCM  BCT 45  MCT 45  MCN MCT  c.g c   MT MN  MN BM  BN BM  DN  PAMN  AM  AN  MN  AM  AN  BM  ND  AB  AD 2a Bài (1 điểm) Cho tập hợp X  0;1; 2; ;20 Gọi Y tập hợp gồm có phần tử tập hợp X Chứng minh tồn hai tập hợp A B tập hợp Y  A B, A  , B   cho tổng phần tử tập hợp A tổng phần tử tập hợp B Số tập khác rỗng Y khác Y  126 Gọi M tập hợp S  M  tổng phần tử M  S ( M ) 119 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tập hợp có tổng phần tử có giá trị