Chuyên đề 7 nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác

CHUYÊN Đề - NGUYÊN HÀM, HÀM HữU Tỉ, HÀM LƯợNG GIÁC KIếN THứC TRọNG TÂM Nguyên hàm Cho K khoảng  a; b  , nửa khoảng  a; b ,  a; b  hay đoạn  a; b  Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K nếu: F '  x   f  x  , x  K Neesu F  x  nguyên hàm f  x  họ nguyên hàm f  x  là:  f  x  dx  F  x   C , C số - Phương pháp đổi biến số: Nếu x  u  t  có đạo hàm liên tục K thì:  f  x  dx   f u t .u ' t dt Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục K thì: f  x  dx  g  t  dt thì:  f  x  dx   g t  dt - Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục K udv  uv  vdu  Tích phân: Giả sử f  x  liên tục khoảng K a, b  K F  x  nguyên hàm f  x  thì:  f  x  dx  F b   F  a   F  x  b b a a - Phương pháp tích phân đổi biến số:  f  x  dx   f u t .u ' t .dt  b a Nếu t  v  x  có đạo hàm liên tục f  x  dx  g  t  dt thì:  b a f  x  dx   v b  v a  g  t  dt - Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b   b a b udv  u.v a   v.du b a Tổng tích phân Trang  Cho f hàm số xác định  a; b  a  b  Phân hoạch T đoạn  a; b  thành n đoạn nhỏ điểm chia tùy ý a  x0  x1   xn  b , đoạn  xi 1 , x j  ta lấy điểm  i lập tổng tích phân  T   f  j  x j  xi 1  n i 1   Kí hiệu d T   max x j  xi 1 1i  n Nếu tồn giới hạn I  lim d T 0  f   x n j i 1 đoạn  a; b  kí hiệu là: I  Ta chọn phân hoạch xi  a  j  xi 1  giới hạn gọi tích phân xác định hàm f  f  x  dx b a i  b  a  , tổng tích phân n Sn   f  j  x j  xi 1  lim Sn   f  x  dx n b i 1 a Nguyên hàm đa thức phân thức:  dx  x  C  kdx  kx  C với k số u'  x dx  ln x  C   x dx  Với   1  u dx  ln u  C x 1 u 1  C;  u u '.dx  C  1  1 Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, cịn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé mẫu  Nếu bậc tử bé bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay x  px  q bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản:  A Bx  C ; ; Đồng hệ số tử x  a x  px  q thức tính số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: b  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  , a b  x  mx  n   dx : Đặt u  mx  n phân tích, a Trang b   mx  n   px  qx  r  dx : Đặt u  px  qx  r ,  a b     x  m   x  m  dx : Nếu    đặt u  x  n a b - Dạng  a dx : Lập   q  pr px  qx  r b dx  0  a  mx  n  b 0 a b  0 a dx : Đặt x  k tan t x  k2 1  1  dx : Biến đổi     2 x k 2k  x  k x  k  x k mx  n dx : Lập   q  pr  qx  r b - Dạng : Dùng công thức  px a    Phân tích dùng cơng thức A  px  qx  r  ' mx  n B 0   2 px  qx  r px  qx  r x    k2 b - Dạng  x 1 x a  b dx  n m  a x n1dx x n 1  x  n m : đặt t   x n Chú ý: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; a  a Nếu f lẻ  f  x  dx  Nếu f chẵn a a  a a f  x   2 f  x  dx Nguyên hàm lượng giác:  cos xdx  sin x  C  cos u.u '.dx  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin u.u '.dx   cos u  C dx  cos x u'  cos  tan x  C dx  sin x   cot x  C u dx  tan u  C u'  sin u dx   cot u  C Trang Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ t  tan x ,… sin  x  a    x  b  1   sin  x  a  sin  x  b  sin  a  b  sin  x  a  sin  x  b  1  a sin x  b cos x a  b sin  x    a sin x  b cos x  a  b  sin x   cos x   a sin x  b cos x  c  1 a  b  cos  x     A  a sin x  b cos x  c  ' B  a sin x  b cos x  c a sin x  b cos x  c 1  2 a sin x  b sin x cos x  cos x a tan x  b tan x  c cos x a sin x cos x sin x  b cos x  2   A  a sin x  b cos x  ' a sin x  b cos x   Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ đặt tương ứng t   x, t    x, t    x Tích phân liên kết, để tính I đặt thêm J mà việc tính tích phân I  J I  J I  kJ I  mJ dễ dàng lợi Tích phân truy hồi I n theo I n 1 hay I n sin n x,cos n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân phần tan n x,cot n x tách lũy thừa dùng phương pháp tích phân đổi biến số Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  thì:  /2  /2  0    f  sin x  dx   f  cos x  dx;  xf sin x  dx   f sin x  dx Các dạng tích phân lượng giác: b b a a  P  x  sin  xdx,  P  x .cos  xdx : đặt u  P  x  , v '  sin cos x  /2   R  x,sin x,cos x  dx : đặt x   t   R  x,sin x,cos x  dx : đặt x    t Trang 2  R  x,sin x,cos x dx : đặt x  2  t b x  R  sin x,cos x  dx : đặt t  tan , đặc biệt: a Nếu R   sin x,cos x    R  sin x,cos x  đặt t  cos x Nếu R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  đặt t  sin x Nếu R   sin x,  cos x    R  sin x,cos x  đặt t  tan x,cot x CÁC BÀI TỐN Bài tốn 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: a) un  i3  i 1 n n b) un  i2  3 i 1 i  n n Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   x3 Tổng tích phân hàm số f đoạn  0;1 là: Sn  n  i  n i3  f      un n i 1  n  i 1 n  Ta có: lim Sn  x3dx  1 Vậy lim un  4 1   n n x2 i n  b) Ta viết un   nên un tổng tích phân hàm số f  x     x 1 n i 1  3 i 1 i  n   1 n đoạn  0;1 1 x2 ln Do đó: lim un   dx  ln  x3  1  x  3 0 Bài tốn 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi: 1 1 un       2n  n Hướng dẫn giải Đặt S  n  i Ta có: i 1 Trang 2n n n n 1 n 1 n u n    2      S n  S n     n i 1 i  i 1 i i 1 2i i 1 i i 1 i i 1 i  n n Do un tổng tích phân hàm số f  x   đoạn  0;1 x 1 Suy lim un  1 dx  ln x   ln   0 x  Bài toán 7.3: Chứng minh:  a) lim x n sin  xdx  0 b) f  x   x  t 1 t4 dt hàm số chẵn Hướng dẫn giải a) Với x  0;1  x n sin  x  x n   Do đó:  x sin  xdx  x n dx  n Vì lim n 1   đpcm n 1 b) Đặt t  s tích phân f   x   x  ta f   x   x  t 1 t4 x dt   t 1 t4 s  s4 dt ds  f  x   đpcm Bài tốn 7.4: Tính đạo hàm hàm số: a) f  x   x  cos tdt t 1 b) g  x    dt t 1 2x 3x Hướng dẫn giải a) f '  x   cos x  x  '  cos2 xx t 1 Gọi F nguyên hàm f, theo định nghĩa tích phân, ta có: t2 1 g  x   F  3x   F  x  nên g '  x   3F '  3x   2F '  x   f  3x   f  x  b) Đặt f t   Trang   x  1 9x2    x  1 x2  Bài toán 7.5: x2  f  t  dt  x cos  x  Tính f  4 a) Cho b b) Tìm số b dương để tích phân   x  x  dx có giá trị lớn a Hướng dẫn giải   a) Lấy đạo hàm vế có xf x   x sin  x   cos  x  Cho x  : f    2 sin 2  cos 2  f    b) Xét hàm số f  x   x   t  t  dt Ta có F '  x   x  x , F '  x    x  Lập bảng biến thiên F  x   0;  F  x  đạt giá trị lớn x  , b  Bài toán 7.6: Chứng minh rằng: a)  f  x  dx   f 1  x  dx 1 1 b)  f  x  dx    f  x   f   x dx Hướng dẫn giải a) Đặt u   x du  dx, x   u  1, x   u  1 1 0  f  x  dx   f 1  u  du   f 1  u  du   f 1  x  dx b)  f  x  dx  1 Do  1 f  x  dx   f  x  dx 1 1 0  1 1 f  x  dx    f  u  du   f   x  dx  f  x  dx    f  x   f   x  dx Bài toán 7.7: Cho hàm số f  x  liên tục  a; a  Chứng minh: a a) Nếu f hàm số lẻ  f  x  dx  a Trang b) Nếu f hàm số chẵn a a a  f  x   2 f  x  dx Hướng dẫn giải a a a a  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx I Đổi biến x  t đổi với tích phân  f  x  dx ta được: a a) Nếu f lẻ  a a a a 0 f  x  dx    f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx I 0 b) Nếu f chẵn a a a a 0  f  x  dx   f t  dt   f  x  dx  I  2 f  x  dx Bài toán 7.8: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  Chứng minh: a)  /2  /2 0   f  sin x  dx   f  cos x  dx b)   xf  sin x  dx   f  sin x  dx 0 Hướng dẫn giải a) Đặt x    t dx  dt , x   t   /2  f  sin x  dx   /2     f  sin   t   dt     ,x    t   /2  /2 0  f  cos t  dt   f  cos x  dx b) Đặt x    t dx  dt , x   t   , x    t   0   xf  sin x  dx     t  f  sin t  dt     0 0    f  sin t  dt   tf  sin t  dt    f  sin x  dx   xf  sin x  dx   0 Do xf  sin x  dx   f  sin x  dx  đpcm  Bài tốn 7.9: Tính: a)  x 1   x  2 x  3 dx b) x4   x3  x dx Hướng dẫn giải Trang  x 1 A B nên x   A  x  3  B  x      x   x  3 x  x  a) Đặt Do x    A  B  x   A  2B  , đồng hệ số A  B  1,3 A  2B  nên A  Do đó: ,B  5   x 1 dx      x  2 x  3    x    x  3  dx    ln x   ln x   C 5 x4  x2  x2  b)  x  x x x x x x  x  1 x  1 x2  A B C nên x    A  B  C  x   B  C  x  A , đồng hệ số    x  x  1 x  1 x x  x  Đặt 2 A  2, B   , C   , đó:  1 1   f  x  dx    x  x  x   x   dx  x Bài tốn 7.10: Tính: a)  x 3  x   2ln x  ln x   C 57  x3  b)  x   1 dx  18  dx Hướng dẫn giải a) Đặt u   x  x   u  dx  du  x 3  5 dx   3  u .u du   u  3u  du 1  3 x  u7  u6  C  3  x    C 2  x3 x2   du  dx  x dx  6du b) Đặt u  18 57 58  x3  58  x3  57 x  dx  u du  u  C    1  C   18   29 29  18  dx Bài tốn 7.11: Tính a)  b) x 1  x8  x2   x4  x2  dx Hướng dẫn giải Trang d  x8  dx x dx 1 x8 a)     ln C x 1  x8   x8 1  x8   x8 1  x8   x 1  dx  x 1 x2  x  x  b)  dx   ln C   2 x  x2  x2  x   x   1 x  Bài toán 7.12: Tính: a) A    x    x  3 b) B  dx x  x  dx 1 Hướng dẫn giải a) Đặt u  x  x  u  3, dx  du Khi x  u  1, x   u  A   u  5 u du  1  u  10u  25 u 8du 1  u11 25  185    u  10u  25u  du    u10  u    1 99  11 1 10 b) B  1 2   x  x  3 dx     x  x  3dx    x  x  3 dx  x3   x3   x3  28 2    x  3x      x  3x     x  3x     1  1  3 Bài tốn 7.13: Tính l  m   x  x  m dx Hướng dẫn giải Tam thức f  x   x  x  m,  '   m Ta xét trường hợp sau: - Nếu  '    m   m  1  x3  Khi đó: l  m     x  x  m  dx    x  mx   m   0 - Nếu  '    m   m  Trang 10 1 x sin x   x sin xdx  x sin x   xd  cos x  2 I  1 x sin x  x cos x  sin x  C 2 b) Đặt t  x  x  t  dx  2dt  J   sin t.2t.dt  2 t.sin t.dt  t cos t   cos tdt      t cos t  sin t   C   x cos x  sin x  C Bài tốn 7.28: Tính:  /2   a) C  cos x.sin xdx b) D    sin x  cos7 x  dx Hướng dẫn giải    a) Xét I   sin x.sin xdx C  I   sin8 x   cos9 x  9 0   0 C  I    cos x  sin x  sin8 xdx   cos x sin8 xdx   1  cos10 x cos x     sin10 x  sin x  dx      0C  20 2 10 0 b) Đặt x   /2    t dx  dt , x   t    sin xdx    sin   t  dt  2   7  /2   cos  /2 xdx  D    sin  ,x    t   /2  cos tdt x  cos7 x  dx   /2 Bài tốn 7.29: Tính: a)   sin x dx b)  dx  sin x  cos x Hướng dẫn giải a) Đặt t  tan x 1 x 2dt  dt  1  tan  dx  dx  2 2 1 t2 Khi x  t  0; x   t  Trang 18  /2  dx 1 t2  dt   dt  1  cos x  t 2 1 b) Đặt x    t dx  dt , x  t   , x   t     sin x  sin x sin 4t sin x 0  sin x dx    sin t dt  0  sin t dt  0  sin x dx  Do  sin x sin x dx   0  sin x 0  sin x dx  Bài tốn 7.30: Tính  /2  a) A   /6 sin xdx sin x  2cos x cos b) B  x  tan x dx cos x Hướng dẫn giải x  sin x  cos x 1  cos x    cos x a) sin x  2cos x cos  /2 nên A    /6 b) B    /2 d 1  cos x   /2 sin xdx    ln 1  cos x   ln  cos x  cos x tan x dx  cos x  /6  Đặt t  tan x dt  1/ B  t4 dt  1 t2 tan x dx 1  tan x  cos2 x dx  Khi x  t  0, x  t  cos x t 1 1 dt  1 t2 1/  1/  t3 t 1      t  ln  t 1   1/   1    t   dt 1  t   t  1     10  ln   Bài toán 7.31: Tính:  /2 a) I    /2 cos xdx 13  7sin x  cos x b) J  Hướng dẫn giải a) Đặt t  sin x  dt  cos xdx, x   t  0, x    t  Trang 19 dx   2sin x  cos x   /2  I 1 cos xdx dt dt   sin x  7sin x  12 t  7t  12  t  3 t    t 4      dt  ln t 4 t 3 t 3 0 1  ln   sin x  cos x   sin  x      b) Ta có 2sin x  cos x   2     Vì   cos  ,  sin      nên có số  để 5  5  5  /2 J dx  5sin  x      cot  x     /2 1       2  5  Bài tốn 7.32: Tính:   /2 3sin x  cos x  a) K   dx sin x  2cos x  b) L   cos x  dx Hướng dẫn giải a) Xét 3sin x  cos x   A  sin x  2cos x  3  B  cos x  2sin x    A  2B  sin x   A  B  cos x  A Đồng A  2B  0,2 A  B  0,3 A  nên A  1, B  1 , đó:   cos x  2sin x   K   1  dx  x  ln sin x  2cos x     ln    sin x  2cos x   0 b) Đặt u  tan x 1 x 2du  du  1  tan  dx  dx  2 2  u2      1 d 3u 2du du  L    2 2   1 u 1 u u  3 3u  0 2 1 u2 Bài tốn 7.33: Tính:  /2  a) A    cos xdx b) B  0 Hướng dẫn giải 20 a) A    2 2sin xdx   sin x dx Trang 20 3sin x  2cos x dx 8sin x    2    2    sin xdx   sin xdx     cos x   cos x    0  b) Đặt t  8sin x   sin x   Khi x   t  1, x  t 3 2cos x  3sin x  1  /2 B  8sin x  t 1  cos x.dx  tdt 3 1 dx    3t  11 dt   t  11t   16 16 Bài tốn 7.34: Tính  sin x  E    dx sin x  cos x     /3    /2 a)  b) F  x sin x 0  cos2 xdx Hướng dẫn giải a) Đặt x    t  dx  dt; x   t   ,x   t 0  /2  cos t   cos x  E dt      dx  cos t  sin t sin x  cos x        /2     /2 Do E  E      dx   E  b) Đặt x    t  dx  dt , x   t   , x    t  F     t  sin t dt     cos t  sin t   cos  t dt  J sin t Do J    dt   du  cos t  u2 1 Đặt u  tan t tính F  2 Bài tốn 7.35: Tính:  /2 a) C    x  1 cos2 xdx  /2 b) D    x  sin x  cos xdx Hướng dẫn giải Trang 21  /2 a) C    cos x dx   x  1 2  /2  /2 0  /2  /2  1   x  1 dx    x   cos xdx 1 1   x  1   x    2 20  /2     sin xdx    1   /2 b) D    x  sin x  d  sin x    x  sin x  sin x   /2  /2   1  2sin x.cos x  sin xdx  /2  /2       1   cos x    sin x    3 2  0  /4 Bài tốn 7.36: Tính: I   x tan  /4  b) J  xdx x sin xdx Hướng dẫn giải  /4 a) I    /4     x  1dx   cos x  xd  tan x    /4  xdx  cos x  /4   /4  xdx  /4 xdx  x tan x x  b) Đặt t   /4  x2 tan xdx   /4  x   ln 2  32 x  x  t  dx  2dt Khi x   t  0, x  2 t    /2 nên J   t sin tdt Đặt u  t , dv  sin tdt Khi du  3t dt , v   cos t J   t cos t   /2  /2  /2   t cos tdt   t cos tdt 0 Áp dụng tích phân phần lần J     Bài toán 7.37: Tính:  /6 x cos5 x dx a) A    tan x 1 b) B   Hướng dẫn giải a) Đặt x  t dx  dt , x  1  t  1, x   t  1 Trang 22 sin x dx sin x  cos x 1 t cos5t x cos5 x A   dt    dx   A  A  2  tan t  tan x 1  /6 b) Xét C   BC  cos x , ta có sin x  cos x  /6  dx   sin  x   6      ln tan  x   6   /6  /6   ln  /6 B  3C    sin x      d  tan  x       tan  x     6   cos x dx   nên B  1 ln  16 Bài tốn 7.38:  /2 a) Tính  max sin x,cos x dx x t  b) Giải phương trình: sin cos t dt   Hướng dẫn giải a)  /2  /4 0  /2  max sin x;cos x dx   cos xdx   sin xdx /4     /4  /2 2   sin x    cos x   /4    0     2     x x x t t t b)  sin cos dt   sin dt   1  cos t  dt 4 40 80 x 1   t  sin t    x  sin x  8 Phương trình  x  sin x     x  sin x  8  x  8 Bài tốn 7.39: Tìm hàm số y  f  x  biết: Trang 23   a) dy  12 x 3x  dx f 1  3 b) y '  sin x.cos3 x f    79 Hướng dẫn giải a) Đặt u  3x  du  xdx nên 12 xdx  2du 3x  1  u4 f  x    dy   2u du   C  C 2 Vì f  t    C  nên C  5 Vậy  3x f  x   1 5 b) Đặt t  sin x dt  cos xdx f  x    y ' dx   sin x 1  sin x  cos xdx   t 1  t  dt t t10 sin8 x sin10 x    t  t  dt    C   C 10 10 Vì f    79 nên C  79 Vậy f  x   sin x sin 10 x   79 10 Bài tốn 7.40: Tính I n theo I n2 , n    a) I n  tan n xdx, n  * b) I n  sin n xdx, n  * Hướng dẫn giải     a) Với n  : I n  tan n2 x tan xdx  tan n2 x tan x   dx   tan n2 xdx  t   I n2  tan n1 x  I n2 n 1 b) I n  sin n1 x.sin xdx   sin n1 xd  cos x      sin n1 x.cos x   n  1  sin n2 x.cos2 xdx   sin n1 x.cos x   n  1  sin n2 x 1  sin x  dx   sin n1 cos x   n  1 I n2   n  1 I n n Do I n   sin n1 x.cos x  n 1 I n2 n Bài toán 7.41: Đặt I  m,n   x m 1  x  dx, m, n  *  n Trang 24 Chứng minh I  m,n   x m 1  x  dx, m  0, n   n Hướng dẫn giải Đặt u  1  x  , dv  x dx Khi du  n 1  x  n m I  m ,n  n 1 x m1 ,v  m 1 x m1 n n n n 1  x m1 1  x  dx  I  m1,n1 1  x    m 1 m  m  0 a Bài toán 7.42: Đặt I n   Chứng minh I n  dx  x2  a2  , với a  0, n  , n  n 1 2n   .I n1 n n 1 a 2n   n  1 a Hướng dẫn giải x2  a2  x2 1 In    I n1  n a  x2  a2  a a a Đặt u  x, dv  x xdx a a  x x dx  a2  Khi du  dx, v   n n 1  n  1  x  a n1 a a  x x dx a  n  x  n  1  x  a Bài toán 7.43: Đặt I n   1  x  n   n 1 I n1 ⇒ đpcm  n  1 dx, n   Tính I n suy hệ thức:  1 C n  2.4  2n  1 1 Cn  Cn  Cn  Cn   n 2n  3.5  2n  1 n Hướng dẫn giải  Với n  1, đặt u   x I n   1  x  n  n dx  x 1  x dv  dx thì:  n   2nx 1  x  dx n 1    2n   x   11  x  dx  2nI n  2nI n1 nên n 1 Trang 25 In  2n 2n 2n  2n 2n  2 I n1  I n2   I 2n  2n  2n  2n  2n  Mà I  nên có: I n  2.4  2n  3.5  2n  1 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I n    C   x n k n k 0  k n dx    1 C  x k dx k k n k 0 n  x k 1   1 C k    1 C     n k 0  2k   k  2k  1 n k k k n So sánh ta có điều phải chứng minh:  1 C n  2.4  2n  1 1 Cn  Cn  Cn  Cn   n 2n  3.5  2n  1 n  /2 Bài toán 7.44: Đặt I n   cos xdx, n  * Tính I n theo I n2 , n  suy n Hướng dẫn giải  /2 In   cos n 1  /2 x.cos xdx   x cos  cos n 1 x.d  sin x  n 1 x  /2   n  1  /2  cos n2 x.sin xdx    n  1  /2  cos n2 x 1  cos x  dx   n  1  I n2  I n  Do đó: I n  n 1 4 I n2 Suy ra: I  I  I1  n 5 15 n  2m  I m  2m  2m  2m   I m2   2m 2m 2m  2 n  2m   I m1  2m 2m 2m  2 I m1   2m  m  2m  1 Xét dãy f  n    n  1 I n I n1 f  n  1  f  n   f  n   f    Do  n  1 I n I n1   , nI n1.I n   Trang 26    n  1  In   2n Mà I n  I n1  Và I n1  I n      n  1 I n2  I n   nI n2  I n   2n   n  1  đpcm Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục  a; b  Chứng minh tồn điểm c   a; b cho b f  x  dx  f  c  b  a a Hướng dẫn giải Giả sử m M tương ứng giá trị bé lớn hàm số f m  f  x   M x   a; b nên: b b b b a a a a  mdx   f  x  dx   Mdx  m  b  a    f  x  dx  M b  a  Vì f hàm liên tục nên tồn c   a; b để f  c   b f  x  dx b  a a Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục  a; b  thì: b b  b 2   f  x  g  x  dx    f  x  dx. g  x  dx a a  a Hướng dẫn giải  Ta có yf  x   g  x    0, y  y f  x   y f  x  g  x   g  x   0, y nên b y b b  f  x  dx  y  f  x  g  x dx   g  x   0, y a a a b b  b Do  '    f  x  g  x dx    f  x  dx. g  x  dx   đpcm a a  a Bài toán 7.47: Chứng minh rằng:  11 a) 54  7  x   11  x dx  108 Trang 27  a; b Ta có b)   e x sin x  dx  x 1 12e Hướng dẫn giải x   11  x  7;11 a) Xét f  x   Với 7  x  11 f '  x   1 11  x  x    x  11  x  x  11  x  f '  x    x  Lập BBT  f  x   6, x   7;11 11 3 Do 2dx  7 11 11 7 7  f  x  dx   6dx  đpcm b) x  1;      e x sin x dx  x 1 e Do  e x sin x e1   2 x 1 x  e  x  1  x 1  dx  1 12e Bài toán 7.48: Chứng minh: x2 xn   , x  a) e   x  2! n! x m b)  n  n  1.2 n 1 n   ln 2, m  , m  Hướng dẫn giải a) Ta chứng minh quy nạp x x Khi n  BĐT: e   x, x  : Đúng e  1, y   0; x   e dy  dy  e x   x x y  Giả sử BĐT n  k Ta chứng minh BĐT n  k  x2 xk   , x  Vì e   x  2! k! x nên e y   y  y2 yk   , y   0; x  2! k!  y2 yk    e dy   1  y     dy 2! k!  0 x x y Trang 28 y  x x3 x k 1 : đpcm  e   x     2! 3!  k  1! x b) Với k  * , x   0;1 :  x  x   x k   x k 1  1 x 1 x Do với y   0;1 , ta có: y  1  x   x  dx    x  y  y k dx   k 1 y   ln 1  y  k 1 Tiếp tục với z   0;1 ta có: k 1   0  y  y   k  y dy  0   ln 1  y   dy z  z z  z   z k   z  1  z  ln 1  z  1.2 2.3 k  k  1 Chọn z  k  m  đpcm Bài tốn 7.49: Xác định đa thức f  x   n a k 1 k cos kx biết f  x   0, x  0;2  Hướng dẫn giải Với số nguyên p, q ta có: 2 I  cos px.cos qxdx  2  cos  p  q  x  cos  p  q  x dx p  q I  , p  q I   Vì f  x   n a k 1 k cos kx  0, x  0;2  2 0  f  x .cos pxdx  a  k với p  k , k  1,2, , n Do tất hệ số ak  Vậy f  x   BÀI LUYệN TậP Bài tập 7.1: Tìm: a) A  x  x  3 xdx  11 b) B  x  ax  b  dx , a   Hướng dẫn giải Trang 29  x  3 13 a) Đổi biến t  x  Kết 13  x  3  12 C b) Đổi biến t  ax  b Kết Khi   2 B  Khi   1 B  1   ln ax  b   C  a  ax  b   ax  b  ln ax  b   C a2  2  1 ax  b      ax  b  Khi   2, 1 B    C a       Bài tập 7.2: Tính a) I   x 2001dx  x  3 dx  xx b) I   x2  1 1002  3x   Hướng dẫn 1001  x2  a) Đổi biến t  x  Kết   2002  x   C       b) Kết  ln x  4ln x   ln x   C Bài tập 7.3: Tính: a)   x  1 dx b)  x3 1  x  dx Hướng dẫn giải a) Đổi biến t  x  Kết b) Kết 10  x  1  C 20 1  x4   C  16 Bài tập 7.4: Tính: a)  x 5x  4 dx b) B   x9 dx x10  x5  Hướng dẫn a) Đổi biến t  x  Kết b) Kết  34 31   ln    51    Bài tập 7.5: Tính: a) I  cos5 x cos7 xdx b) J  cos3 xdx Trang 30 Hướng dẫn a) Biến đổi tích thành tổng Kết b) Kết 11   sin12 x  sin x   C 46  sin 3x  sin x  C 12  Bài tập 7.6: Tính a) sin x dx cos x b)  sin x cos x a sin x  b cos x dx, a  b Hướng dẫn a) Đổi biến t  cos x dt   sin xdx Kết 3 cos x  C b) Kết a sin x  b cos x  C a b  sin Bài tập 7.7: Tính a) x dx b) x  sin x dx Hướng dẫn a) Nhân chia thêm sin x đổi biến t  cos x Kết x cos x ln tan  C 2 2sin x b) Kết  x cot x  ln sin x  C  /3  /3 Bài tập 7.8: Tính: a)  tan  xdx b) /4  sin x tan xdx Hướng dẫn ln 2 a) Tách tan x.tan x Kết  b) Kết ln   /2 Bài tập 7.9: a) A    /2 sin xdx 1  cos x  b) B  sin xdx   4sin x  cos x Hướng dẫn a) Đổi biến t  cos x Kết 15 64 Trang 31 b) Kết ln  Bài tập 7.10: Tính 5 /4   a) C   /2 sin x  cos x dx  sin x b) D  2sin x  cos x  4sin x 2 Hướng dẫn a) Để ý  sin x  sin x  cos x  đổi biến t  sin x  cos x Kết b) Kết ln 2 Bài tập 7.11: Chứng minh rằng: x 1 2x 1 dx   dx a)  x x  1 2 b)  14  /2   dx    3cos x Hướng dẫn a) Chứng minh x  1;2 : x 1 2x 1  x x 1 1   :       3cos x b) Chứng minh x  0; Bài tập 7.12: Tính J   x dx  x  3 lập công thức truy hồi: Jn   x dx  x  3 n Hướng dẫn J3   x2  x  x  3 Và tách J n1   x  3 x  2  x  x  3 dx  x  3 n 1  x  x 1 ln C 16 x   x  3 n dx x  4x  Trang 32 dx