L12 đề và đáp án hsg hải phòng 2019 2020

Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2019 - 2020 Mơn: Tốn Ngày thi 19-09-2019- BẢNG KHƠNG CHUN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2 điểm): y  x3  x   m   x  m2  2019 a Cho hàm số Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho 0;   đồng biến khoảng  2mx   2m C x 2 b Cho hàm số có đồ thị   Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y x  cắt  C  hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA, OB 450 y Câu (2 điểm): a Giải phương trình   2sin x  cos x   2sin x    sin x    1  x  y  x y  y  0  1    x  x  y   x  1   b Giải hệ phương trình  Câu (2 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có AB a , AC 2a , AA 2a góc  BAC 120o Gọi M trung điểm CC  a Chứng minh MB vng góc với AM ABM  b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  theo a Câu (1 điểm): Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có đáy ABCD hình vng cạnh a SA SB SC SD Gọi M , N trung điểm SA, SC Biết góc MB ND 60 Tính độ dài chiều cao hình chóp Câu (1 điểm):Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Các điểm H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng BD, CD Biết A  4;6  , đường thẳng HK có phương trình 3x  y  0 , C thuộc đường thẳng d1 : x  y  0 , B thuộc đường thẳng d : x  y  0 , K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ B, C u1   1,    un un 1  , n  , n 1  u Câu (1 điểm): Cho dãy số  n  xác định  Hai dãy số   ,  wn  xác định 4n   un  ; wn u1 u2u3 un , n  , n 1 lim ;lim wn Trang Tìm giới hạn Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 Câu (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ P 4a  3b3  2c  3b 2c  a  b  c HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHỊNG Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: y  x3  x   m   x  m2  2019 a Cho hàm số Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho 0;   đồng biến khoảng  2mx   2m C x 2 b Cho hàm số có đồ thị   Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y x  cắt  C  hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA, OB 450 y Lời giải a Ta có: y '  x  x  m  Để hàm số đồng biến khoảng  0;  y ' 0, x   0;   y ' 0, x   0;    x  x  m  0, x   0;    x  x   m, x   0;   Xét hàm số g  x  x  x  2, x   0;   , g '  x  2 x  2, g '( x ) 0  x 1 g  x   Lập bảng biến thiên, suy b Xét phương trình:  0;  x 2    m  m 3 2mx   2m  x  2mx  2m  0(1) x 2 Ycbt tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 m 1  ' (m  1)     ( 2)  2m(  2)  2m  0  m  1/ Theo viet ta có S x1  x 2m; P x1x 2m  Giao điểm d (C) là: A(x1 ; x1  2); B(x ; x  2)    (OA.OB) cos(OA;OB)  cos(OA;OB)    OA OB2 2   (OA.OB)  x1.x  (x1  2)(x  2)  (2x1.x   x1  x   4) (2(2m  1)  2(2m)  4) 4 Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 OA OB2 (x12  (x1  2) ).(x 22  (x  2) ) x12 x 22  x12 (x  2)  x 22 (x1  2)  (x1  2) (x  2) 2 (2m  1)   2x1x  2(x1  x )   2x1x  x   (x  2)  (3  2m) (2m  1)  8m  32m  10  (3  2m) 16m  32m  20   16m  32m  12 0  Ta có 16m  32m  20 2  m 3 / 2(N)  m 1/ 2(N)  Vậy có giá trị m thoả mãn Câu 2: a Giải phương trình   2sin x  cos x   2sin x    sin x    1  x  y  x y  y  0  1    x  x  y   x  1   b Giải hệ phương trình Lời giải a Giải phương trình   2sin x  cos x   2sin x    sin x    1   x   k 2   7   x   m2 k , m, n  Z     x   n + ĐK:  Ta có:  1    2sin x  cos x    2sin x    sin x   cos x  sin x  cos x  sin x 3     cos x  sin x  cos x  sin x  cos   x  cos  x   2 2 6 3     k 2     x 2 x   k 2  x  18     , k , m  Z    x  x    m2  x   m2    Kết hợp điều kiện ta có nghiệm phương trình x   k 2  18  x  y  x y  y  0  1    x  x  y   x  1   b Giải hệ phương trình  + ĐK:  x  x  y  0   y 0 Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 Ta có:  3y 1  3y y x 2 2   1  x  y  x y  y  0   2 1   x 2 x 2 3y 1    x 2  3y 1  y  x  x 2 x   x  1 Thay vào phương trình số (2) ta phương trình: u  x   v  2x  Đặt  ta có hệ phương trình u  v 1   u  2v 1 u 1   v 0   x    y 9  1 9  ,  Vậy nghiệm hệ phương trình   o  Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có AB a , AC 2a , AA 2a góc BAC 120 Gọi M trung điểm CC  a Chứng minh MB vng góc với AM ABM  b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  theo a Lời giải A' C' B' I M 2a A 2a a C B          MB AM  MC  CB AC   C M MC C M  CB.AC  a Ta có       o     CB A C  AB  AC AC  AB AC cos120  AC  5a 2  MC C M  MC  a Mà        2 Do MB AM 5a  5a 0 Vậy MB  AM 2 o b Ta có BC  AB  AC  AB AC cos120 7a VABC ABC  SABC AA  a.2a.sin120 o.2a a 15 Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 a 15 VM ABA VC ABA  VABC ABC   3 Mặt khác 1 S ABM  AM BM  AC 2  C M MC  BC 3a 2 Mà Vậy d  A;  ABM    3VM AAB a  S AMB Câu 4: Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Lời giải n  9 Số phần tử không gian mẫu   Có C9 cách chọn chữ số a , b , c phân biệt từ chữ số 1; 2; ;9 Xét số có chữ số tạo thành từ chữ số a , b , c TH1: Có chữ số lặp lại lần, hai chữ số lại xuất lần  Có cách chọn chữ số lặp lại, giả sử a Có C5 cách xếp vị trí chữ số a , 2! cách xếp vị trí chữ số b , c , suy có 3.C5 2! 60 số TH2: Số có hai chữ số lặp lại lần, chữ số lại xuất lần  Có C3 cách chọn hai chữ số lặp lại, giả sử a b 2 Có C5 cách xếp vị trí chữ số a , C3 cách xếp vị trí chữ số b , xếp chữ số c có cách 2 Suy có C3 C5 C3 90 số Vậy có 60  90 150 số thỏa mãn tạo thành từ chữ số a , b , c Như có C9 150 số có chữ số mà có ba chữ số khác chữ số khác Xác suất cần tìm P C93 150 1400  95 6561 Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Các A 4;6  điểm H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng BD, CD Biết  , đường thẳng HK có phương trình 3x  y  0 , C thuộc đường thẳng d1 : x  y  0 , B thuộc đường thẳng d : x  y  0 , K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ B, C Lời giải Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 Gọi E giao điểm AC HK   Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADKH , thấy HAD HKC (1)   Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , thấy ACD  ABD (2)   Xét tam giác ABD , thấy HAD  ABD (3) Từ (1), (2), (3) thấy tam giác EKC cân E Lúc này, tam giác AKC vng K EK EC nên E trung điểm đoạn AC  c4 8 c  C  d1  C  c;  c   E  ;    E  HK  c 4  C  4;     K  HK  K  4t ;3t  1  AK  4t  4;3t   , CK  4t  4;3t  1  t    AK  CK  AK CK 0  25t  50t  0    t 9  Ta có t   16  CK   ;   5 , tức Vì K có hồnh độ nhỏ nên  n  2;  1 C 4;    BC qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên BC có phương trình x  y  10 0 B giao điểm d : x  y  0 BC : x  y  10 0 nên B  6;  Tóm lại: B  6;  C  4;   Câu 5.1 (Tương tự) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Các điểm H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng BD, CD Biết đường thẳng AC , BD, HK có phương trình 3x  y  11 0, y 0, x  y  0 , AC 3 10 , A có tung độ dương, K thuộc đoạn CD Tìm tọa độ D Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12 Lời giải  1 E   ;  Gọi E giao điểm AC HK , ta  2  Lại có E trung điểm AC , tức EA  10 2 7  21  90  A  AC : 3x  y  11 0  A  a;  3a  11   a     3a    2  2  Ta có Tìm A   5;  C   2;     KA  3k ;  k  , KC  3k  3;   k  K   3k  5; k  K  HK : x  y   Do nên Tức    k 1 KA  KC  KA.KC 0    k  , tức Do  K   8;1   K  1;   K 1;   Do C có tung độ âm, D có tung độ K thuộc đoạn CD nên ta chọn  Lúc đường thẳng KC có phương trình x  y  0 D 3;  Do D giao điểm KC : x  y  0 BD : y 0 nên  Câu 6: u1   1,    un un 1  , n  , n 1  u Cho dãy số  n  xác định  v , w Hai dãy số  n   n  xác định 4n   un  ; wn u1 u2u3 un , n  , n 1 lim ;lim wn Lời giải    0;   u   Vì nên tồn số thực thuộc khoảng   cho u1 cos  Trang Tìm giới hạn Nhóm Tốn VD - VDC Đề HSG 12    un cos  n   , n  , n 1 2  Dùng quy nạp, ta kiểm tra  sin   / 2n   n n 2     2.4 sin  n  2  n w  cos  n  k  /     2 k 0 Do đó, với n  , n 1, sin  x    x   0;  , cos  x   , 2 sin( x )   Hơn nữa, với ta có n wn  k 0 sin   / 2k 1  2sin   / 2k     sin   / n   sin   / n   sin  2  sin     n sin    sin   /  sin   / n   sin   / n    sin  2  n sin   / 2n    sin  2   / 2n 2 sin   / 2n   sin   / sin x  1 lim n 0 lim n Mặt khác, x  x n   nên n    / lim n  1 Từ đó, ta nhận sin  2  wn  lim 2 lim n  2 n   Một số toán tương tự Bài tốn 6.1 (Nguyễn Đình Thức, Đề đề nghị Olympic Đồng Bằng sông Cửu Long, 2005) Cho u  e , u  e ,  u u u un (n 2) dãy  n  :  n 1 n  a un e, n 1 Chứng minh e b Tìm lim n u1u2  un n  u0 2, v0 1,  u  2un ,  n 1 u  v n n  vn 1  un 1vn , n 0  u v Bài toán 6.2 Cho dãy  n   n  : Hãy xác định công thức tổng quát hai dãy Câu 7: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ 4a  3b3  2c  3b 2c P  a  b  c Lời giải Do tính nên khơng tính tổng quát, ta giả sử a  b  c 1 Khi ta cần tìm giá trị 3 nhỏ P 4a  3b  2c  3b c 3 3 3 3 Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: b  b  c 3b c suy P 4a  3b  2c  3b c 4a  b  c Trang Nhóm Tốn VD - VDC Ta có bất đẳng thức b c b c Đề HSG 12  b  c   b  c  , b, c  3  4b3  4c  b  c   b3  c b 2c  bc  b  c b  c 0     Thật với b, c  Dấu xảy b c Sử dụng bất đẳng thức ta f  a  12a  Ta có 1 a P 4a  b  c  4a 1 a   f  a ,0  a 1 1  a  l 0    a 1  Từ ta có bảng biến thiên sau: 51 a f  a   0 f  a 25 Vậy P  a  ; b c  25 đạt 5 Bài tập tương tự (VMO-2004) a  b  c  32abc Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị lớn nhỏ P a  b4  c  a  b  c Lời giải : Do tính nên khơng tính tổng qt, ta giả sử a  b  c 4 , từ giả thiết suy abc 2 ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P a4  b4  c 256 Ta có a  b  c  a  b  c    a 2b  b 2c  c a  2   a  b  c    ab  bc  ca      ab  bc  ca   2abc  a  b  c       2  16   ab  bc  ca      ab  bc  ca   16    Trang Nhóm Tốn VD - VDC Đặt t ab  bc  ca Nhận xét: Đề HSG 12 P t  32t  144 128  b  c abc a tương tự suy  2  a   a    b 2 ,  a 2 c 2 x3  x  tx  0, x    a , b , c Theo định lý đảo Vi-et ba nghiệm phương trình Suy t  x3  x  , x    x 5;  Xét f  x   x3  x  , x    x 5;   1  x3  x  x f  x      x2  x 1 Có  f   5, f  Thay lại biểu thức Vậy Min P     1   1 5  1 5  1 5 , f    t  2   P 383  165 t  32t  144 P  128 256 128 ta 383  165 a 3  256 đạt 1 5; b c  Max P  128 đạt a 2; b c 1 HẾT Trang 10 5; 