SỞ GD & ĐT LẠNG SƠN Trường THPT Bắc Sơn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn : TỐN – Lớp 10 Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,00 điểm) : Giải phương trình: 3 4x - - - 2x + = Cho hai số x, y thoả mãn 4x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M = x2 -3xy +2y2 Bài (4,00 điểm) : x + y + x + y = 1.Giải hệ phương trình: 2 (x + x)(y + y) = 12 Giải phương trình : 2010x - 4x + = 2009x 4x - Bài (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình đường thẳng (d) qua 1 + M( 5; -2) cắt Ox, Oy A, B cho: đạt giá trị nhỏ OA 2OB2 Bài (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho hai điểm A( 1; 1), B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d) : x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Bài (4,00 điểm) : Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2010 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x y + 2010 - x 2010 - y -HẾT - ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Câu 4đ Đáp án Biểu điểm 1.(2đ) 3 4x - - - 2x + = 3 4x - + = - 2x Dễ có x = nghiệm phương trình VT hàm số đồng biến (- ∞ ; 3], VP hàm nghịch biến (- ∞ ; 3], Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2.(2đ) Ta có M = 4(x - 3xy + 2y ) 4x -12xy + 8y = 4x + y 4x + y + y = M = 4t -12t + x , (t ) (*) gọi M giá trị + y ≠ M = 4t +1 y (*)4(M-1)t2 + 12t + M - = có nghiệm t *, M = , t = 7/12 thoả mãn *, M ≠ 1để (*) có nghiệm ’ = - (M2 – M – 1) ≥ 9 M 85 85 ; 2 Vậy giá trị nhỏ M = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 9 85 85 Vậy giá trị lớn M = 0,25 0,25 (2đ) Câu2 (4đ) u x x Đặt hệ cho trở thành v y y v v 8 u, v nghiệm uv 12 phương trình t2 – 8t + 12 = t = t = TH1: Nếu u = v= 2, ta có hệ: x x 2 có nghiệm: (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2) y y 6 1đ 0,5đ TH2: Nếu u = v= 6, ta có hệ: x x 6 có nghiệm: (-3; 1), (2; 1), (-3; -2), (2; -2) y y 2 0,5đ Vậy hệ cho có nghiệm (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2),(-3; 1), (2; 1), (-3; -2), (2; -2) (2đ) Đk x ≥ 3/4 Đặt phương trình cho trở thành :2010x2- 2009xt – t2 = 0,25 0,25 Giải : x = - t/2010 (loại) * ta có : 0,5 0,5 Vậy x = , x = nghiệm phương trình cho Câu 4đ x y 1 Vì M (d) nên: 1 (1) a b a b 2 1 Theo BĐT Bunhiacopski = ( ) (25 8)( ) a b a 2b 33 a 1 + Hay ≥ đẳng thức xảy OA 2OB2 33 b 33 x y 33 0 Khi đường thẳng (d) có phương trình: Từ giả thiết ta có (d): Câu 4đ Phương trình đường thẩng AB: 4x + 3y -7 = Giả sử C(x ;y) theo giả thiết ta có: x – y -1= d(C, (AB)) = (1) 4x 3y x y 37 0 (2a) 6 x y 23 0 (2b) Giải hệ (1), (2a) ta C1 (7; 3) Giải hệ (1), (2b) ta C2 (-43/11; -27/11) Câu 4đ Ta có P = 2010 - y 2010 - x 1 + = 2010( + ) - ( x + y) (1) y x x y 1 + (2) x y x+ y Đẳng thức xảy x = y Theo BĐT Bunhiacopski ta có Theo BĐT Cơsi ta có x y 2( x y ) 4020 x y 4020 (3) 0,5 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Đẳng thức xảy x = y Từ (1) , (2), (3) ta có P ≥ 4.2010 4020 4020 4020 đẳng thức xảy x=y Vậy P đạt giá trị nhỏ 4020 x = y =1005 1đ