De va dap an hsg lop 10 cap truong

SỞ GD & ĐT LẠNG SƠN Trường THPT Bắc Sơn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn : TỐN – Lớp 10 Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,00 điểm) : Giải phương trình: 3 4x - - - 2x + = Cho hai số x, y thoả mãn 4x2 + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M = x2 -3xy +2y2 Bài (4,00 điểm) :  x + y + x + y = 1.Giải hệ phương trình:  2 (x + x)(y + y) = 12 Giải phương trình : 2010x - 4x + = 2009x 4x - Bài (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Viết phương trình đường thẳng (d) qua 1 + M( 5; -2) cắt Ox, Oy A, B cho: đạt giá trị nhỏ OA 2OB2 Bài (4,00 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho hai điểm A( 1; 1), B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d) : x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB Bài (4,00 điểm) : Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2010 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x y + 2010 - x 2010 - y -HẾT - ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Câu 4đ Đáp án Biểu điểm 1.(2đ) 3 4x - - - 2x + =  3 4x - + = - 2x Dễ có x = nghiệm phương trình VT hàm số đồng biến (- ∞ ; 3], VP hàm nghịch biến (- ∞ ; 3], Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2.(2đ) Ta có M = 4(x - 3xy + 2y ) 4x -12xy + 8y = 4x + y 4x + y + y = M = 4t -12t + x , (t  ) (*) gọi M giá trị + y ≠ M = 4t +1 y (*)4(M-1)t2 + 12t + M - = có nghiệm t *, M = , t = 7/12 thoả mãn *, M ≠ 1để (*) có nghiệm ’ = - (M2 – M – 1) ≥ 9  M   85  85  ;  2  Vậy giá trị nhỏ M = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 9 85  85 Vậy giá trị lớn M = 0,25 0,25 (2đ) Câu2 (4đ) u  x  x Đặt  hệ cho trở thành v  y  y v  v 8  u, v nghiệm uv 12 phương trình t2 – 8t + 12 =  t = t = TH1: Nếu u = v= 2, ta có hệ:  x  x 2  có nghiệm: (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2)  y  y 6 1đ 0,5đ TH2: Nếu u = v= 6, ta có hệ:  x  x 6  có nghiệm: (-3; 1), (2; 1), (-3; -2), (2; -2)  y  y 2 0,5đ Vậy hệ cho có nghiệm (1; -3), (1; 2), (-2; -3), (-2; 2),(-3; 1), (2; 1), (-3; -2), (2; -2) (2đ) Đk x ≥ 3/4 Đặt phương trình cho trở thành :2010x2- 2009xt – t2 = 0,25 0,25 Giải : x = - t/2010 (loại) * ta có : 0,5 0,5 Vậy x = , x = nghiệm phương trình cho Câu 4đ x y  1 Vì M  (d) nên:  1 (1) a b a b 2 1 Theo BĐT Bunhiacopski = (  ) (25  8)(  ) a b a 2b 33  a  1 + Hay ≥ đẳng thức xảy   OA 2OB2 33  b  33  x  y  33 0 Khi đường thẳng (d) có phương trình: Từ giả thiết ta có (d): Câu 4đ Phương trình đường thẩng AB: 4x + 3y -7 = Giả sử C(x ;y) theo giả thiết ta có: x – y -1= d(C, (AB)) =  (1) 4x  3y   x  y  37 0 (2a) 6    x  y  23 0 (2b) Giải hệ (1), (2a) ta C1 (7; 3) Giải hệ (1), (2b) ta C2 (-43/11; -27/11) Câu 4đ Ta có P = 2010 - y 2010 - x 1 + = 2010( + ) - ( x + y) (1) y x x y 1 +  (2) x y x+ y Đẳng thức xảy x = y Theo BĐT Bunhiacopski ta có Theo BĐT Cơsi ta có  x y  2( x  y ) 4020  x  y  4020 (3) 0,5 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Đẳng thức xảy x = y Từ (1) , (2), (3) ta có P ≥  4.2010  4020 4020  4020 đẳng thức xảy x=y Vậy P đạt giá trị nhỏ 4020 x = y =1005 1đ