Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT ĐÔNG HÀ Câu 1: (1đ) x y z 2010 1 1 x y z 2010 Cho số x, y, z khác không thoả mãn Chứng minh số x, y, z luôn tồn số đối n 1 1 * n Câu 2: (1đ) Cho n N Chứng minh : Câu 3: (1đ) Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = xy yz zx A z x y Tìm giá trị nhỏ Câu 4: (1đ) Chứng minh : P 4n 6n 3n 17 không chia hết cho 125, n N n Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n cho 55 là số chính phương b) Cho a + và 2a + (a N) đồng thời là hai số chính phương Chứng minh a chia hết cho 24 Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên các phương trình: 2 x y a) x x y b) 1 Câu 7: (3đ) Cho tam giác ABC với tâm O Gọi M là điểm bất kì bên tam giác ABC Kẻ MH BC , MK AC , MI AB a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao tam giác ABC) b) Đường thẳng MO cắt các cạnh BC, CA, AB A’, B’, C’ MA ' MB ' MC ' 3 Chứng minh rằng: OA ' OB ' OC ' -Hết ĐÁP ÁN x y z 2010 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z 2010 x y z x y z x y z x y z 0 Câu 1: Từ x y x y 0 ( x y ) z ( x y z ) xy 0 xy z( x y z) ( x y ) zx zy z xy 0 ( x y ) z ( x z ) y ( x z ) 0 x y 0 ( x y )( y z )( z x) 0 y z 0 z x 0 Vậy số x, y, z luôn tồn số đối x y y z z x (2) Câu : 1 2 1 Với n = 1, ta có : (đúng) Với n 2, ta có : n 1 n( n 1) n(n 1)(n 3) n(n 1)(n 2) 2.1 2 n 1 n n n 2! n 3! n n! n 1 1 n! 2! 3! 1 1 1 1 n ! 1.2 2.3 ( n 1) n n Mặt khác: 2! 3! n 1 1 n Vậy (đpcm) Câu 3: xyz 0, Vì x > 0, y > 0, z > nên zxy Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : xy yz xy yz 2 2 y z x z x (1) yz zx yz zx 2 2 z x y x y (2) zx xy zx xy 2 2 x y z y z (3) xy yz zx 2( x y z ) 2 x y Từ (1), (2), (3) z (vì x + y + z = 1) 2A A xy yz zx x y z x y Vậy Min A = z Câu 4: Giả sử tồn n N cho P 4n 6n 3n 17 125 P 3 P 2(4n 6n 3n 17) (2n 1) 355 (2n 1) 5 2n 15 2n 5k , k N k lẻ Đặt k = 2m + 1, m N ta có : 2n = 5(2m + 1) – n = 5m + 3 Khi đó : P 4(5m 2) 6(5m 2) 3(5m 2) 17 125(4m 6m 3m) 45 không chia hết cho 125, trái với điều giả sử (3) Vậy P 4n 6n 3n 17 không chia hết cho 125, với n N Câu 5: n a) Đặt 55 a , với a N (1) n Từ (1) a chẵn a 0(mod 4) 1(mod 4) (2) n n Mặt khác: 1(mod 4) ( 1) (mod 4) (3) Từ (2) và (3) n chẵn n = 2m, (m N) m m m pt (1) a (3 ) 55 (a )(a ) 55 (*) a 3m 11 m a 5 m a 55 a 3m 1 3m 3 m 27 m 1 m 3 m m Vì a a nên từ (*) n 2 Với m = n = 55 3 55 64 8 n Với m = n = 55 3 55 784 28 n n 2;6 Vậy thì 55 là số chính phương b) Đặt a + = k2, 2a + = m2 , (k, m N) Vì 2a + lẻ nên m2 lẻ m lẻ m = 2t + 1, (t N) 2a + = (2t + 1)2 a = 2t(t + 1) là số chẵn a + lẻ k2 lẻ k lẻ k = 2n + 1, (n N) Do đó từ a + = k2 a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1) (1) Mặt khác: k2 + m2 = a + + 2a + = 3a + 2(mod 3) k m 1(mod 3) m k a 0(mod 3) hay a3 (2) Từ (1) và (2) a(3.8) , (vì (3; 8) = 1) Vậy a chia hết cho 24 2 Câu 6: a) x x y (1) 2 2 x 0 x ( x ) x x ( x 1) Ta có 2 2 Do đó từ (1) ( x ) y ( x 1) (*) 2 Vì x2 và x2 + là số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y ( x 1) ( x 1)2 x x x 0 x 0 y 1 y 1 Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên là : (0 ; 1), ( ; -1) x y x y b) 1 3 (1) Từ (1) 2x > x > y 0 (4) y y Xét y là số chẵn : Ta có : 1(mod 4) ( 1) (mod 4) y 1(mod 4) (vì y chẵn) x Do đó từ pt(1) 2(mod 4) x = y = y m 1 3.9m 3(mod 8) Xét y là số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m N) Ta có : 3 x Do đó từ pt(1) 4(mod 8) x = y = Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1) Câu 7: Chứng minh: A a) Ta có: S ABC S MBC SMCA SMAB 1 1 BC.h BC.MH AC.MK AB.MI 2 2 BC.h ( MH MK MI ).BC MH MK MI h (đpcm) b) Từ O kẻ OH ' BC , OK ' AC , OI ' AB Theo kết câu a ta có: OH’ + OK’ + OI’ = h Mà O là tâm tam giác ABC nên: OH ' OK ' OI ' h MA ' MH Ta có: MH // OH’ nên: OA ' OH ' MB ' MK OK’ // MK nên: OB ' OK ' MC ' MI IM // OI’ nên: OC ' OI ' K I' K' B' I C' A' B O M H H' (1) (2) (3) Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có: MA ' MB ' MC ' MH MK MI MH MK MI OA ' OB ' OC ' OH ' OK ' OI ' OH ' (vì OH’ = OK’ = OI’) h 3 h MA ' MB ' MC ' 3 Vậy OA ' OB ' OC ' (đpcm) Hết C (5)