Bình phước 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC x 1 x  có đồ thị  C  Bài 1.Cho hàm số  C  hàm số y  f  x  a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  cho AB ngắn b)Tìm hai điểm A , B thuộc hai nhánh đồ thị y  f  x  Bài a) Giải phương trình  sin x  cos x  cos x  cos x  sin x 0 2 xy  y  y   xy x  0   x  2 x y 2 x   b)Giải hệ phương trình   1  2 c)Có 27 thẻ đánh số tự nhiên từ đến 27 (mỗi thẻ đánh số) Rút ngẫu nhiên ba thẻ Tính xác suất để rút ba thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho Bài I   2;  1 a)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm o H   1;  3 K   1;  Góc AIB 90 , hình chiếu vng góc A lên BC thuộc đường thẳng AC Tìm toạ độ A, B, C biết A có hồnh độ dương  AB  AC  Đường phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp tam b)Cho tam giác ABC giácABCtạiD.Gọi E giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AC đường phân giác ngồi gócA H  DE  AC Đường thẳng qua H vng góc với DE cắt AE F Đường thẳng qua F vng góc với AE cắt AB K Chứng minh KH // BC Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết AB a , BC 2a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  a) Tính thể tích khối chóp S ACD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Bài  a  b   b  c   a  c   a max  b, c Cho a, b, c số thực không âm thoả Chứng minh rằng: a   b  c  15 a 11  b c       2 bc  a c a b  a Bài Cho dãy số  un  xác định u1 1; u2 2020; un 1  2019un  2019   1  un  , n 2 n n   1 1 1 lim       n   u un   u2 u3 Tính - Hết - LỜI GIẢI CHI TIẾT x 1 x  có đồ thị  C  Bài 1.Cho hàm số  C  hàm số y  f  x  a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  cho AB ngắn b)Tìm hai điểm A , B thuộc hai nhánh đồ thị Lời giải x 1 y  f  x  x a) y  f  x  D  \  1 +) Tập xác định: 2 y  0 x  1   ;1  1;    +) , x 1 Hàm số nghịch biến khoảng +) y không xác định x 1 lim y 1 nên y 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y   lim y  +) x  1 ; x nên x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số +) x   +) Đồ thị  x 1   x 1  A  x1 ;  B  x2 ;  x1   x2   x   x2 b) Giả sử  ;  , với x1 1  a x2 1  b ; với a, b  Đặt 2 AB  x2  4ab  x2  x1   a  b x1    a  b   2  x1  1  x2  1  ab  2 2     a  b         ab     16 ab  a b      a  1  b  Vậy A  Dấu " " xảy  ab  2;1   , B 1 2;1   Bài a)Giải phương trình  sin x  cos x  cos x  cos x  sin x 0 2 xy  y  y   xy x  0   x  2 x y 2 x   b)Giải hệ phương trình   1  2 c)Có 27 thẻ đánh số tự nhiên từ đến 27 (mỗi thẻ đánh số) Rút ngẫu nhiên ba thẻ Tính xác suất để rút ba thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho Lời giải a)  sin x  cos x  cos x  cos x  sin x 0  2sin x cos x  cos x  cos x    sin x 0  sin x  cos x  1  cos x  cos x   0  cos x  sin x  cos x   0  k  x    cos x 0    sin  x     2(PTVN)  sin x  cos x  0    4   k  S   | k   4  Vậy nghiệm phương trình b)ĐK: x 0; y 0 Nhận thấy x 0; y 0 khơng phải nghiệm hệ phương trình ta xét x  0, y  Ta có: xy  y    y   xy x 1 0  xy  x   y  y  1  2x  4x2 1    y y  Xét hàm số   f  t  t   t  t2  f t    t  0   ,t   t , Hàm f t số đồng biến  0;  dó ta có 1 1 1 x  x2 1     f  x   f    x   y  y y y 2x  y   Thay vào phương trình  2 ta có:  x  2 x    x  2 x     x    x  x      x 2    x2  2x   0  x   23 x    x 2  y  thoả mãn yêu cầu + Vói 3  x2  x   + Với  x6 Phương trình    x   1  x6  0  23 x       x  1     0  x   23 x      23 x   0   x  1    3 x  1  3 0  *  * vô nghiệm  x 2    y  Vậy hệ có nghiệm c) Gọi Ω không gian mẫu phép thử: “Rút thẻ 27 thẻ” Khi đó, n    C27 2925 Gọi biến cố A : “Rút thẻ 27 thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho 3” Xét tập hợp:  B  3;6;9;12;15;18; 21; 24; 27 Tập B : “Các thẻ có số chia hết cho 3”  C  1; 4; 7;10;13;16;19; 22; 25 Tập C : “Các thẻ có số chia cho dư 1”  D  2;5;8;11;14;17; 20; 23; 26 Tập D : “Các thẻ có số chia cho dư 2” n B n  C  n  D  9 (Nhận xét: Ba tập hợp B, C, D đôi rời với   ; 27 thẻ liệt kê tập trên, khơng có thẻ liệt kê lần) Theo tính chất đồng dư phép chia hết cho 3, biến cố A xảy khả sau xảy ra: n A C93 84 KN1 thẻ rút nằm tập B ,   n A C93 84 KN2 thẻ rút nằm tập C ,   n A C93 84 KN3 thẻ rút nằm tập D ,   KN4 thẻ rút có thẻ tập B , thẻ tập C , thẻ tập D , n4  A  C91C91C91 729 Do đó, n  A  n1  A   n2  A   n3  A   n4  A  981 Vậy xác suất biến cố A là: P  A  n  A 981 109   n    2925 325 Bài I   2;  1 a)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm o H   1;  3 K   1;  Góc AIB 90 , hình chiếu vng góc A lên BC thuộc đường thẳng AC Tìm toạ độ A, B, C biết A có hồnh độ dương  AB  AC  Đường phân giác góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam b)Cho tam giác ABC giác ABCtại D Gọi E giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AC đường phân giác ngồi góc A , H  DE  AC Đường thẳng qua H vng góc với DE cắt AE F Đường thẳng qua F vuông góc với AE cắt AB K Chứng minh KH //BC Lời giải a) 0   Ta có AIB 90 nên ACH 45 suy tam giác AHC vuông cân H Mặt khác IA  IC nên HI  AC K  1;2  Phương trình đường thẳng AC qua  vng góc với HI có phương trình  x  y  0 Gọi A  2a  5; a   AC AC  AH  AH  Ta có AC HK   HK  2d  H ; AC  2 10 2  a   A   5;  1  l  2 2a      a  2 10    a 3  A  1;3  4 Vậy A  1;3  H  1;  3 Phương trình đường thẳng BC qua  vng góc với AH có phương trình x  y  10 0   IB  3b  8; b  1 ; IA  3;4  B  3b  10; b   BC Gọi , ta có   20  20  IB.IA 0   3b     b  1 0  b   B  10;  3  Vì tam giác AIB vng I nên Vì C  AC  BC nên tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x  y  10 0     x  y  0  x   C   7;  1   y  b) Ta có H  DE  AC E A F I N M O K B H C P D Gọi M, N, P trung điểm AB, AC BC Khi đó, ta có:  BAC MN PC BAC EN NM NE     cos PCD cos ; cos NEC cos NEA cos   DC DC EC CD CE Lại có:          MNE 90  ANM 90  ACB; DCE  ACB  BCD  NCE  ACB  NEC  NCE  ACB  90 Suy         MNE  DCE  MNE  DCE  c.g c   MEN DEC  MEN  OEH  DEC  OEH BAC     MEH OEC   MAD  DMAE tứ giác nội tiếp suy DM  ME (2) Giả sử ME  AD  I , ta chứng minh F , I , H ; F , M , D BAC   IEH   IAH  IAEH Có: tứ giác nội tiếp suy IH  DE  I , F , H (do FH vng góc với DE) (1) Từ (1) kết hợp với DI  FE  I trực tâm tam giác FDE suy FD  IE (3) Từ (2) (3) suy F , M , D Dễ thấy FAM HAE  g g   FA AM   AB AH  AE AF HA AE FA AK   AC AK  AE AF NA AE AH AC AB AH  AK AC    AK AB Suy KH // BC FAK  NAE  g g   Bài 4.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết AB a , BC 2a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng a) Tính thể tích khối chóp S ACD b)Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Lời giải a) Tính thể tích khối chóp S ACD  ABCD  Vì ABCD hình chữ nhật nên AB CD a , BC  AD 2a Gọi H trung điểm AB Vì tam giác SAB nên SH  AB SH  a  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB  SH   SAB  , SH  AB  SH   ABCD  Khi  a a3 1  VS ACD  S ACD SH  AD.CD.SH  2a.a 6 3 Ta có b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB điểm E  BD //CE  Ta có  BE //CD  BECD hình bình hành  BE CD a BE  HE Suy d  BD, SC  d  BD,  SCE   d  B,  SCE    d  H ,  SCE   Khi (*) HI  CE  I  CE   CE   SHI    SCE    SHI  Kẻ , mà CE  SH  SCE    SHI    SCE    SHI  SI  HK  SI  K  SI   HK   SCE  Do  HK d  H ,  SCE   Suy BJ  CE  J  CE   BJ //HI  HI  BJ Kẻ Xét tam giác BCE vng B có  HI  BJ  BE.BC BE  BC  2a 5 3a 5 Xét tam giác SHI vuông H có SH HI HK  SH  HI  3a 17 17 3a 17 2a 17  d  BD, SC    17 17 Từ (*)  a  b   b  c   a  c   a max  b, c Bài 5.Cho a, b, c số thực không âm thoả Chứng minh rằng: a   b  c  15 a 11  b c        b c  a c a b  a Lời giải a   b  c a 11  b c  b c P       x ,y b  c a  c a  b a   a a Đặt Từ a max  b, c P suy x 1, y 1 11    x y  x y     1 7 x  y y 1 x 1  Khi Do  x, y 1 nên x   y  0  x  xy  x  y  y  xy   Tương tự, ta có Khi P Đặt y y y2     x 1 x  y x 1 x  y 1  x  y y  x  1 y y  x 1 xy x x  y 1 xy 11  x y  11     x  y  1 7 x  y   1 7 x  y  xy  x y xy  xy t  x  y ,   t 2  ta 11 P   t   7t  f  t  t 11 14t f  t     0  t  t (thoả)  7t   15 Pf     3 Suy Dấu “=” xảy 15 P Vậy Bài 6.Cho dãy số  un  xác định  x 0  t     y 1 b 0  b  c  a  a b c 0   c a (vô lý) u1 1; u2 2020; un 1  2019un  2019   1  un  , n 2 n n   1 1 1 lim       n   u un   u2 u3 Tính Lời giải 2019un  2019   un u n   un 1   1  un 2019     un  n n  n n      Ta có n u  u  u u u 2019  n  n    2019  n  n    un   2019 i  u1  n n  1  n n 3 i 1 i n 1 u  u  un 2 2019   i   u1 2019 n 1  un 1 n 1  i 1 i  Suy Vậy un 1  2019un  n  2019  un 1 n  2019  un un   , n    n n un n   un  Do Vậy 1  1  2019  1  2019    2019  n  1  n  1 ! n  k  1 ! 1 1     1   u1 u2 u3 un 2020 k 3  2019  1  2019    2019  k     k  1 !  2!  n  k!     1   2018  2020  2018 k 3   2019 1  2019    2019  k    2019  1  2019    2019  k  1  n!  2018 2018.2020.2021  2019  n  1 n! 0 x   2018.2020.2021  2019  n  1 lim Do 1 1 lim      n   u un  u2 u3 Nên  2019  2018  - Hết - 10