b Bài 1: Tìmcácsốnguyêntố a, b, c saocho a 1999 c : Hướngdẫngiải a , b a , b 2 Vì làcácsốnguyêntốnên suyra c 2003 b Vì c 2003nên c làsốlẻ.Suyra: a làsốchẵn a b làsốchẵnnên a 2 Nếu b làsốlẻthì 2b 1999 2b 1 1998 chia hếtcho 3.suy c chia hếtcho ( mâuthuẫn c nguyêntố).Vậy b 2 Với a b 2ta có c 2003 cho: 2012 2012 2011 2012z 2010 Bài 2: Chứng minh rằngkhôngtồntạicácsốnguyên x, y , z saocho x 2009y Hướngdẫngiải Ta cónhậnxét Bìnhphươngmộtsốngunvàđemchia cho thìsốdưlà hoặclà Ta có x 2012 Suyra: x chia cho dư 1; 2009y 2012 2012 chia dư 2009y 2012 chia cho dư hoặcdư hoặcdư (1) Ta có: 2011 2012z 2010 chia cho dư (2) Từ (1) (2) suyrakhơngtồntạicácsốngun x, y , z thỏaphươngtrìnhtrên 2 Bài 3: Chứng minh rằngphươngtrình x y 2011.z khơngcónghiệmngundương Hướngdẫngiải 2 x ; y ; z Giả sử 0 nghiệm nguyên dương x0 nhỏ phương trình x y 2011.z chia hết cho 2011 TH1 Nếu x0 chia hết cho 2011thì y0 chia hết cho 2011 Tồn số nguyên dương x1, y1 cho x0 2011.x1 y0 2011 y1 x02 y02 20112( x12 y12) 2011z02 2011( x12 y12 ) z02 z0 chia hết cho 2011 => tồn số nguyên dương z cho z0 2011.z1 x12 y12 2011z12 Suy x1; y1; z1 ngiệm phương trình (vơ lý x0 nhỏ TH2 Nếu x0 không chia hết cho 2011 y0 khơng chia hết cho 2011 2010 2010 Theo định lý Ele ta có x0 y0 chia cho 2011dư 2010 1005 2 Mà x0 ( x0 ) suy x0 y0 chia cho 2011dư 1 x02 y02 chia cho 2011dư (vơ lý) 2 Vậy phương trình x y 2011z khơng có nghiệm ngun dương 4 4 2014 Bài 4: Giảsử a, b, c, d , e làcácsốtựnhiênsaocho a b c d e 2009 Chứng minh abcde chia hếtcho 10 Hướngdẫngiải 2014 Với n N ,tacó n chia cho dư hoặcdư 1; 2009 chia dư 4 4 4 Từgiảthuyếtđềbàisuyratrong số a , b , c , d , e có số chia hếtcho 8; sốcịnlại chia dư Suyratrong số a, b, c, d , e có số chia hếtcho Do abcde chia hếtcho 4 Tươngtự ta cũngchứng minh abcde chia hếtcho 4 Vì , lànguyêntốcùngnhaunên ta cóđiềuphảichứng minh ab2n Bài 5: Tìmcácsốnguyêndương a, b, n saocho a b làmộtsốnguyêntố Hướngdẫngiải 2n Đặt p ab a b Ta có a b a b 2n b Mặtkhác a a b p b Lạicó ab2n p a b p a p 2n d p b Đặt a d p d b Suyra b d dp b Do p làsốnguyêntốnên b d b dp Tuynhiên b p nên ta loạitrườnghợp b dp 2n p 1 p b2n 1b 1 p b 2n 1 Với b d b n 1; b p 1; a p 1 p với p số nguyên tố tùy ý Bài 6: Cho hàmsố y x px q (1) Chứng minh rằng, p, q Z vàphươngtrình y 0 Vậy cónghiệmhữutỷthìnghiệmđólànghiệmngun Hướngdẫngiải p p 4q Q 2 Nghiệmhữutỷnên Do p, q Z p 4q Z p p 4q p p2 4q cũngchẵn, lẻnên x; y , x 1, y 0 2x2 13xy 17y x 1975y 2006 0 Bài 7: Tìmcáccặpsốnguyên P x x2017 ax2 bx c Bài 8: Cho đathức ,vớicáchệsốnguyên a, b, c vàcóbanghiệmnguyênlà x1, x2, x3 Chứng minh rằng: a b c 1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 chia hếtcho 2017 Hướngdẫngiải Đathứcđãchođượcviếtlại: Đặt P x x2017 x ax2 b 1 x c f x ax2 b 1 x c 2017 Theo địnhlí Fermat nhỏ: xi xi 2017, i 1, 2, 3, mà f xi P xi xi2017 xi xi2017 xi 2017, i 1, 2, Nếu x1 x2 x2 x3 x3 x1 2017thìbàitốnđượcchứng minh Nếu x1 x2 x2 x3 x3 x1 không chia hếtcho 2017 thìtheotrên ta được: f x1 f x2 2017 f x f x 2017 x1 x2 a x1 x2 b 1 2017 x2 x3 a x2 x3 b 1 2017 a x1 x2 b 12017 a x1 x3 2017 a 2017 b 12017 a x2 x3 b 12017 Mà f xi axi2 b 1 xi c 2017 Vậy a b c 1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 2017 nên c 2017 a b c 12017 x y z Bài 9: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: 12 13 Hướngdẫngiải x y z Giả sử x, y, z số nguyên dương cho: 12 13 x y z Đặt d 12 , g 13 Nếu y d º mod 7 , g º 1 z mod 7 Đó điều vô lý 12y 122 8 d 1 Nếu y 2 12y ⋮12122 ⋮128 d (-1)x (mod 8) x mod 8 52k 1 mod 8 , 52k 1 5 mod 8 z Với k ta có x chẵn z g 1 1 mod 7 5y 1 mod 7 56 1 mod 7 Ta có 5t 1 mod 7 với t 1, 2, 3, 4, 5 y 6 x, y, z chẵn 7a Giả sử x 2a, y 2b, z 2c (a, b, c N *) , 12 Vì a a b 2 1 b số nguyên dương c 2 2 12b 13c m, n m n , m, n m n , 12 2mn , 13 m n Ta có 22b 3b 12b 2mn )saocho 2b b Trường hợp 1: n 1, m m 1 m Trường hợp 1 7a m 17, m 17 27 m, n 2b 2 | m2 n2 || 24b 32b || 24 ; 3 b Đó điều vơ lý b Ta có 22 2b || 2b 22 2b |2b mod 7 m2 n2 khơng chia 2 a hết cho Đó điều vơ lý m n (a N *) x y z Vậy phương trình 12 13 khơng có nghiệm ngun dương 2 Bài 10: Tìmmộthằngsốnguyêndương c saochophươngtrình xy y x y c cóđúngbanghiệmnguyêndương ( x, y ) Hướngdẫngiải 2 Ta viếtlạiphươngtrình x( y 1) y y c - Nếu y 1 c 0, loại y 1 x - Nếu y2 y c y ( y 1) c y 1 ( y 1)( y 1) , c y 1và y ( y 1) c y Ta có y 1(mod y 1), y 2(mod y 1) nên y ( y 1) 2(mod y 1) c 2(mod y 1) c 0(mod y 1), c 2(mod y 1) , mà y 0(mod y 1), y 2(mod y 1) nên c y 1(mod lcm( y 1, y 1)) Với y 2, ta có c 1(mod 3), c 2(mod 4) Do ta thửlấy c 10 x 4, 2, , , theothứtự Ta phảicó y 1| 10 y 2, 3, 6, 11 Khiđó , ) Vậyphươngtrìnhcóđúngbanghiệmngundương ( x, y ) (4, 2), (2, 3), (111 x y Bài 11: Tìm tất ba số ( x; y; z ) nguyên dương thỏa mãn 1 z Hướngdẫngiải Không tổng quát, giả sử x y Ta thấy 1 4x 4y (1 2y )2 22x 2y1 Do đó: y x y y 2x y 1 y Nếu 2x y (2 ) 1 (1 ) (2 1) Suy không tồn z thỏa mãn x y y y ; 22x 1) nghiệm Nếu 2x y 1 (1 ) z 1 Suy ( x; 2x 11 * phương trình với x x y x Nếu 2x y pt (1 ) ( z 1)( z 1) (*) Vì gcd( z 1; z 1) 2 x nên z 122x z 122x 2x Nếu z 12 từ (*) suy z 12(1 4y x ) 2(1 4x 2) 2(1 22x ) 22x 2, x 2x 2x Điều vơ lí z 12 z 12 2x Tương tự, Nếu z 12 từ (*) suy z 12(1 4y x ) 2(1 4x 2) 2(1 22x ) 22x 2, x 2x 2x Điều vơ lí z 12 z 12