Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
775,42 KB
Nội dung
B Chủ đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC Hình vng Bài 03 (Trích Đề thi thử THPT Hiền Đa -2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm C 2; 2 Gọi I , K trung điểm DA DC ; M 1; 1 giao BI AK Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD biết điểm B có hồnh độ dương Phân tích định hướng giải: Đây tốn hình vng quen thuộc: Dựa vào hình vẽ phát tính chất quen thuộc AK BM , giải thiết cho tọa độ điểm M, C nên ta định lượng độ dài cạnh hình vng từ tính BM, BC để tìm tọa độ điểm B Lời giải: Gọi J trung điểm AB Khi AJCK hình bình hành AK / / CJ Gọi N CJ BM N trung điểm BM Chứng minh AK BI từ suy tam giác BMC tam giác cân C Ta có MC 3; 1 AB BC MC 10 Trong tam giác vng ABM có AB2 BM.BI BM AB Tọa độ điểm B thỏa mãn: BM 2 2 ( x 2) ( y 2) 10 B(1;1) (Vì B có hồnh độ dương) 2 ( x 1) ( y 1) Đường thẳng AB có phương trình x y , đường thẳng AM có phương trình x y x y x 2 Tọa độ điểm A nghiệm hệ , suy A( 2;0) x y y Ta có BA CD D 1; 3 Bài 04 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có phương trình đường chéo AC x y 13 Gọi M,N điểm tia đối tia CB DC cho BM DN Biết 15 11 điểm K ; trung điểm MN , đỉnh B nằm Oy , đỉnh A có hồnh độ lớn 2 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng Phân tích định hướng giải: Bài toán xoay quanh ba điểm A, K , C Dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt AK KC Với tốn hình vng, điểm thuộc đường chưa có tỉ lệ định việc chứng minh quan hệ vng góc nhờ phương pháp vec tơ giải pháp tối ưu Lời giải: Giả sử BM DN k.BC Ta có 2BK BM BN BM BC CD DN ( k 1)BC ( k 1)CD ( k 1) BC BA ; Do BK AC ( k 1) BC BA BC BA ( k 1) BC BA Đường thẳng BK qua K vng góc với AC nên có phương trình x y x y x B(0;3) Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y x y x I (3;4) Tọa độ tâm I hình vng nghiệm hệ 3 x y 13 y Vì I trung điểm BD nên D(6;5) ( x 3)2 ( y 4)2 10 ( x; y) (2;7) ( x; y) (4;1) 3 x y 13 Tọa độ điểm A, C nghiệm hệ Vậy A(2;7), B(0;3), C(4;1), D(6;5) A(4;1), B(0;3), C(2;7), D(6;5) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi F điểm cạnh AB thoả mãn BF 5FA , đường thẳng qua trung điểm E cạnh AD trọng tâm G tam giác ABC 13 có phương trình 11x y Biết F ; đỉnh B có tung độ âm Tìm toạ độ đỉnh 2 hình vng ABCD Phân tích định hướng giải: Bài tốn xoay quanh ba điểm G, E, F nên từ hình giả thuyết đặt cho mối quan hệ ba điểm GE GF Việc chứng minh cho ta nhiều hướng giải: Phương pháp vec tơ, phương pháp đại số hóa hay phương pháp gắn hệ trục tọa độ khả thi Sau lời giải trình bày phương pháp vec tơ Nút thắt toán tháo gỡ, vấn đề cịn lại khơng khó khăn Lời giải: Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD Ta có BA BD GE BE BG BA BD BD BA BD GF BF BG BA BD 12 12 Suy GE.GF BA BD BA BD 72 2 1 15 BA BA.BD BD 15a2 7a2 a2 72 72 Vì GF vng góc với GE Toạ độ điểm G hình chiếu F GE thoả mãn hệ 11x y x G 1;1 13 3 x 11 y y Tam giác BFG có GF BF BG2 BF.BG.cos45 Từ suy FB2 112 72 25 2 a a a a a 10 36 144 12 25 125 80 a , BG2 a2 144 18 9 2 13 3 125 a b a 3, b 1 2 18 Gọi B a; b ta có hệ 2 a 13 , b 169 1 1 80 51 51 a b Đối chiếu với điều kiện suy B 3; 1 từ BF BA A 1;5 12 Gọi I tâm hình vng có BI BG I 1;1 Do I trung điểm AC nên C 3; 3 Lại có AD BC D 5;3 Vậy toạ độ bốn điểm cần tìm A 1;5 , B 3; 1 , C 3; 3 D 5;3 Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I Gọi M, N, J trung điểm đoạn thẳng AI, CD,BN Giả sử phương trình đường thẳng MJ y N 5;6 Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh C có hồnh độ lớn Phân tích định hướng giải: Đây tốn hình vng với giả thiết trung điểm ta hồn tồn định lượng độ dài đoạn thẳng Bài toán xoay quanh ba điểm M, N, J , từ hình vẽ giả thuyết đặt MJ JN Việc chứng minh điều hồn tồn phương pháp đại số tính chất quan hệ song song vng góc Lời giải : Gọi độ dài cạnh hình vng a Dùng định lý hàm số cơsin cho tam giác ABM, CMN, BCN tính được: MB MN a 10, BN 2a Nên tam giác BMN vuông cân M J trung điểm BN suy MJ NJ Đường thẳng NJ qua N vng góc với MJ có phương trình x Toạ độ điểm J nghiệm x x hệ Vì J trung điểm BN nên B 5;1 y y Gọi C x; y , x ta có BC NC BN 2 2 x 2 y 12 20 x 7, y x y 1 20 x Ta có hệ phương trình: 2 x 3, y 10 y 35 15 y x y Đối chiếu điều kiện ta có C 7;5 , N trung điểm CD nên D 3;7 DC AB A 1;3 Vậy toạ độ bốn đỉnh cần tìm A 1;3 , B 5;1 , C 7;5 , D 3;7 Bình luận: Có thể chứng minh NJ MJ theo cách sau Gọi K trung điểm đoạn thẳng DN Ta có JK / / BD MK / / AD JK MI IJ MK BD AC IJ AD Từ suy I trực tâm tam giác MJK Do IK MJ mà IK / / NJ , NJ MJ Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vng ABCD có đỉnh C 4; 3 M điểm nằm cạnh AB M A, M B Gọi E, F hình chiếu vng góc A, C lên DM I giao điểm CE BF Tìm toạ độ đỉnh A, B, D biết I 2;3 đỉnh B nằm đường thẳng x y 10 Phân tích định hướng giải: Giả thiết cho tọa độ điểm C, I đỉnh B thuộc đường thẳng x y 10 hướng ta tìm mối quan hệ ba điểm Dựa vào hình vẽ giả thuyết đặt BI IC Mặt khác gọi K tâm hình vng ta có 90 nên suy nghĩ tự nhiên cần chứng minh tứ giác BKC BIKC nội tiếp Lời giải: Gọi K tâm hình vng (góc có cạnh tương ứng vng góc) EDA FCD Xét tam giác EAD FCD vng có AD DC Suy ra: EAD FDC ED FC (1) FCB (cùng phụ góc DCF ) hay ECB FCB +) Ta có: DCF Lại có: DC BC nên DEC CFB CE BF (2) AC BD (3) ICK ECA hay IBK Từ (1),(2) (3) ta có: DFB AEC FBD BKC 90 Vậy tứ giác IBCK nội tiếp nên BIC Đường thẳng BI vng góc với CI nên có phương trình x y x y 10 x B 0;5 Toạ độ điểm B thoả mãn hệ x y y Phương trình đường thẳng BC 2x y Đường thẳng AB qua B vng góc BC nên có phương trình x y 10 Gọi A 10 2a; a thuộc đường thẳng AB , ta có: AB2 BC2 80 10 2a a 80 2 a a 16 a Suy A 8;1 A 8;9 +) Phương trình đường thẳng CI x y , A, B khác phía với CI nên A 8;1 Vì DC AB 8;4 D 4; 7 Vậy A 8;1, B 0;5 , D 4; 7 Bài 20.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vng ABCD tâm I có đỉnh B 8;3 Gọi M 45 trung điểm cạnh AB Gọi E, F hai điểm hai cạnh BC, CD thoả mãn EIF Tìm toạ độ đỉnh A, C, D biết phương trình đường thẳng ME x y 27 đỉnh A thuộc đường thẳng x y v F 6; 7 Phân tích định hướng giải: 45 Giả thiết cho ta nhiều ý EIF Do lẽ tự nhiên ta đặc biệt hóa vị trí điểm E, F Nếu E trung điểm BC F trùng C, E C F trung điểm CD hai trường hợp có ME / / AF Việc chứng minh quan hệ song song ta thường chứng minh cặp góc (ở vị trí đồng vị so le trong) , điều dẫn tốn đến chứng minh tam giác đồng dạng.Có thể suy ngược sau: EB MB FAB ME / / AF EMB AFD EMB AFD AD FD EB.FD AD.MB AD2 IB.ID FID IEB I 135 , IEB I 135 Lời giải: Ta có: FID 1 IEB IDF IBE 45 Suy FID Do tam giác FID đồng dạng tam giác IEB suy FD DI IB BE Đặt BM a AD 2a, IB ID a FD AD BM BE FAB EMB nên AFD EMB AFD EMB Ta có: FD.BE IB.ID 2a2 AD.BM Suy ME / / AF Đường thẳng AF qua F 6; 7 song song ME nên có phương trình AF : x y Toạ độ điểm A nghiệm hệ x y x A 2;3 5 x y y Đường thẳng AB qua A, B nên có phương trình y Đường thẳng BC qua B vng góc AB nên có phương trình BC : x Đường thẳng CD qua F song song AB có phương trình y x x 8 Suy toạ độ điểm C nghiệm hệ C 8; 7 y y 7 Do AB DC D 2; 7 Vậy A 2;3 , C 8; 7 , D 2; 7 Bài 30.[Trích Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015-Lương Ngọc Quyến] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho 11 hình vng ABCD có điểm F ;3 trung điểm cạnh AD đường thẳng EK có phương trình 19 x y 18 với E trung điểm AB , điểm K thuộc cạnh CD cho KD KC Tìm tọa độ điểm C biết điểm E có hồnh độ nhỏ Phân tích định hướng giải: Đây tốn hình vng quen thuộc với giả thiết điểm thuộc cạnh hình vng theo tỉ lệ đoạn thẳng nên hướng ta cách nghĩ đại số hóa, đặt cạnh hình vng a , tìm a dựa vào việc tính diện tích tam giác theo hai cách khác thiết lập phương trình Lời giải: Đặt AB a a S EFK SABCD S AEF S FDK SKCBE Mặt khác S EFK Suy 5a2 16 1 25 a 17 25a d F ; EK EK 2 17 16 5a2 25a a Do EF 16 16 x 2 11 25 58 x y x Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình 17 19 x y 18 y 5 Vì điểm E có hồnh độ nhỏ nên E 2; 2 Đường thẳng AC qua trung điểm I vuông góc với EF nên có phương trình x y 29 Gọi P AC EK ta có PA 2PC mà PI 4 PA suy PI PC 10 x 7 x y 29 Tọa độ điểm P nghiệm hệ 19 x y 18 y 17 4 PC C 3;8 Từ PI Bài 31 [ Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015-Lý Tự Trọng-Nam Định] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm B 1;5 Gọi M điểm thuộc đoạn AB cho BM AM N thuộc cạnh CD thỏa mãn DN 2CN Biết đường thẳng MN có phương trình x y đỉnh D thuộc đường thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh A, C, D Phân tích định hướng giải: Cùng dạng với toán trên, giả thiết cho điểm thuộc đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước, khác với toán giả thiết cho tọa độ đỉnh B 1;5 đỉnh D thuộc đường thẳng cho trước Hai điểm nằm phía đường thẳng MN , nên “nút thắt” tốn xác định tỉ số khoảng cách d D; MN d B; MN Lời giải: Gọi I giao điểm BD MN , ta có Suy d D; MN d D; MN d B; MN DI DN BI DM 4 1 2.5 d B; MN 2 5 2 Do D thuộc đường thẳng x y nên gọi D a;4 a Ta có d D; MN a a a 3a a Vì B, D khác phía đường thẳng MN nên D 5; 1 Đường thẳng AC trung trực BD nên có phương trình x y Tọa độ tâm J hình vng J 2;2 Gọi A t; t ta có AJ A 5;5 t t BD t 2 t 3 t 1 A 1; 1 Vì A, D phía với MN nên A 1; 1 C 5;5 Vậy A 1; 1, C 5;5 , D 5; 1 Bài 38.[Trích Đề thi thử số 6/2015- Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, AB lấy hai điểm E , F cho AE AF Gọi H hình chiếu A lên BE Tìm tọa độ điểm C biết C thuộc đường thẳng d : x y hai điểm F 2; , H 1; 1 Phân tích định hướng giải: Giả thiết tốn cho điểm C thuộc đường thẳng d : x y hai điểm F 2; , H 1; 1 hướng tìm mối quan hệ ba điểm F ,C , H Từ hình vẽ đặt giả thuyết HC HF Để khẳng định giả thuyết ta chứng minh phương pháp vec tơ hình học túy Đối với hình học túy ta cần xác định thêm hình chữ nhật nội tiếp đường trịn đường kính CF , cụ thể toán FBCI Lời giải: Kéo dài AH cắt CD I , tứ giác BCIH nội tiếp đường trịn đường kính BI Mặt khác ABE DAI ( g c g ) suy DI AE mà AE AF nên DI AF BF CI Do tứ giác BCIF hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn đường kính BI FBC 90 hay HC HF Do hệ điểm B,C , I , H , F thuộc đường trịn nên FHC Vì C d nên C 2c 1; c ta có HC 2c 2; c 1 , HF 1;1 Ta có HC.HF 2c c 1 c 1 Vậy C ; 3 Bài 40.[Trích Đề thi thử số 9/2015-Phạm Tuấn Khải] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có I , K tương ứng trung điểm AD BD , điểm M nằm cạnh CD cho 10 MD MC , biết điểm G 1; trọng tâm tam giác BDK đường thẳng IM có phương trình x y 11 Viết phương trình đường thẳng BD Phân tích định hướng giải: Mới đầu ta thấy giả thiết xuất điểm I , K , M thuộc ba cạnh tam giác ta nghĩ đến việc tính diện tích tam giác SIKM theo hai cách để định lượng độ dài cạnh hình vng, với tốn có phương trình đường thẳng IM lại chưa có tọa độ điểm K , ta phải chuyển sang hướng khác Nhìn lại giả thiết cho tọa độ điểm G trọng tâm tam giác BDK , dựa vào hình vẽ ta có nhận xét G thuộc IK giả thuyết đặt GD IM Để tháo gỡ nút thắt công cụ tối ưu chắn phương pháp vec tơ Lời giải: Gọi cạnh hình vng a Ta có: DG DI IG DA DC IM ID DM DA DC 1 Suy DG.IM DA DC DA DC DA DC a2 a2 (vì DA.DC 4 4 2 ) Đường thẳng DG qua G vng góc với IM nên có phương trình : x y 11 11 x x y 11 Tọa độ giao điểm H DG IM nghiệm hệ x y 11 y 22 a DH DI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng DIG ta có DH DG DI DG DG 2 25 a a Mà DH DG hướng nên DH DG 25 11 xD 1 xD x 25 5 D D 4; 5 Do yD 5 22 y 10 y D D 25 Suy DG 10 a a a 10 , ID 10 ID2 10 Gọi I t ; 3t 11 , ta có ID 10 t 3t 11 2 t 10 t 22t 21 t 34 Do I 3; 7 I ; 5 Mặt khác gọi J tâm hình vng IG 4JG Do Với I 3; 2 J 0; 3 Đường thẳng BD qua J , D nên có phương trình x y 21 34 Với I ; J ; Đường thẳng BD qua J , D nên có phương trình x 11 y 47 5 Vậy BD : x y BD : x 11 y 47 Bài 44 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD ,trên tia đối tia BA lấy điểm E cho EB AB cạnh AD lấy điểm F cho DF AF Các đường thẳng CE ,CF tương ứng có phương trình x y 20 x 11 y 10 Biết điểm M 2; nằm đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD Phân tích định hướng giải: Trước hết ta xác định tọa độ điểm C giao điểm CE CF Với tốn hình vng có điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước hướng nghĩ tự nhiên cho ta cách đại số hóa cách gọi cạnh hình vng a để tìm mối liên hệ đại lượng Trong tốn dựa vào hình vẽ ta xuất ý tưởng chọn thêm điểm phụ I giao điểm CF AD Khi giả thuyết đặt CI CF IF CF , để khẳng định giả thuyết ta tính đại lượng , so sánh cho ta kết IF CF hay ICF cân F Do có phương tình CE ,CF nên sử dụng FIC phương trình đường thẳng AD (đi qua I , F ) FCI Từ tốn giải trọn vẹn Lời giải: x y 20 x C 5; Tọa độ điểm C nghiệm hệ x 11 y 10 y Gọi I giao điểm AD CE ta có Đặt AB a a , ta có ID ID IC AB IA IF AE 3 a , DF a IF ID DF a a a 4 Áp dụng định lí Pitago tam giác vng CDF ta có CF CD2 DF a2 a a 16 Suy IF CF nên tam giác ICF cân F Gọi n m; n với m2 n2 vec tơ pháp tuyến đường thẳng AD cos FCI nên ta có Khi ta có cos CFI 4m 3n m n 2 4.2 3.11 125 m 2n 11m 24mn 4n 11m 2n Với m 2n , chọn n m ta có AD : x y Với 11m 2n , chọn n 11 m ta có AD : x 11 y 40 (loại) Đường thẳng CD có phương trình x y 4m 3n m n x y x D 1; 2 Tọa độ điểm D nghiệm hệ 2x y y 2 2x y x I 2; 4 Tọa độ điểm I nghiệm hệ x y 20 y 4 Ta có IA ID suy A 1; B 3; Vậy A 1; , B 3; , C 5; , D 1; 2 Bài 47 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD vng có tâm I , tọa độ điểm A 1; , 1 17 trọng tâm tam giác ADC IDC G ; , G ' ; Tìm tọa độ đỉnh B,C , D 3 Phân tích định hướng giải: 1 17 Giả thiết toán cho tam giác ADC IDC G ; , G ' ; Vì hai tam giác 3 3 ADC , IDC có chung đáy nên gọi M trung điểm CD dựa vào tính chất trọng tâm tam giác ta thấy AG IG ' 2 GG '/ / AI GM G' M hay GG'/ / AC Viết phương trình đường thẳng AC Bây viết phương trình đường thẳng BD I C , D Rõ ràng BD AC nên đường thẳng BD hoàn toàn xác định G thuộc BD Bài tốn có hướng giải trọn vẹn Lời giải: Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có AG IG ' 2 GG '/ / AI GM G' M hay GG'/ / AC Đường thẳng AC qua A song song với GG ' nên có phương trình x Đường thẳng BD qua G vng góc với AC nên có phương trình y Do I AC BD I 1; Vì I trung điểm AC nên C 1;7 Giả sử D x ; y ta có GD x ; y , IG ; x 1 x D 1; Vì G trọng tâm tam giác ACD suy GD IG 3 y y Ta có AB DC nên suy B 3; Vậy B 3; , C 1;7 , D 1; Bài 48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD vuông , điểm E thuộc cạnh BC , phân cắt cạnh BC F 1; 2 Đường thẳng qua F vng góc với AE cắt cạnh CD giác góc BAE K , phương trình đường thẳng qua A , K d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết AE qua gốc tọa độ O điểm A có hồnh độ âm Phân tích định hướng giải: Bài tốn cho hình vng có phương trình đường thẳng AK ,biết tọa độ điểm F , giả thiết khác xoay quanh điểm A hướng cần tìm mối quan hệ ba điểm A , K , F góc hình cho ta Khai thác thêm giả thiết tính đối xứng qua đường phân giác góc BAE khơng đổi Bằng cách đặc biệt hóa vị trí điểm E trung điểm BC nghĩ đến việc đặt giả thuyết KAF 45 cho ta kết KAF DAK Khi yếu tố Để chứng minh khẳng định giả thuyết suy ngược trở lại ta cần chứng minh EAK phụ tốn xuất giao điểm FK AE “nút thắt” toán tháo gỡ Lời giải: Gọi M giao điểm FK AE Xét tam giác ABF FAM , ABF AMF 90 , AF có BAF AMF chung nên suy ABF AMF (g-c-g) AB AM mà AB AD AM AD AMK ADK , AK chung AMK ADK (c-g-c) Xét tam giác ADK AMK có AM AD, 1 MAK Lại có KAF DAM Suy DAK KAM MAE MAB DAB 90 45 2 Đường thẳng AF qua F có vec tơ pháp tuyến n a; b với a2 b2 Ta có cos 45 cos KAF a 2b a b2 a 3b a 2b a2 b2 3a2 ab 3b2 a b Với a 3b , chọn a b ta có AF : x y 3 x y x 3 A 3; Tọa độ điểm A nghiệm hệ x y y Ta có đường thẳng AE qua A ,O nên có phương trình x y Đường thẳng FK qua F vng góc với AE nên có phương trình x y x 4x y 4 Tọa độ điểm M nghiệm hệ M ; 5 5 3 x y y Điểm B đối xứng với M qua AF nên B 3; 2 , D đối xứng với M qua AK nên D 3; Ta có AB DC nên C 3; 2 Với 3a b , chọn a b 3 ta có AF : x y 3 x y x Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình (loại) x y y Vậy A 3; , B 3; 2 , C 3; 2 , D 3;