Chuong iii (485 549)

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HP A MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Bài tốn  x  y  x  3 y   Giải hệ phương trình   1  x  16  y  x   y 2 xy  2  x, y     x 0  Lời giải Điều kiện  y 5   x  16  y  x  0 Từ phương trình (1) ta có y   y   x  x   0 Đặt t  y  0 Khi ta có t2  3t  x  x   0    t 9  x   x  0   x    12 x   0   x 3   10  x  16 Mặt khác từ (2) ta có x2  16  y  x   xy  xy  y 0   x  16 y    x  y   x  y  0  x2  16  y  x   xy  y  xy     x  16 y  0   x  y    x2  16  y  x   xy y  xy    Do  x  16; y 5  Với x  y  x 3  x  16 x  16  y  x   xy x 3  x   y y  xy 0   x2  x  9 x2  x  15  x4  x3  x2  324 0   x  6 x  x   0  x 6 Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm hệ cho  x; y   6;6  485 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Bài tốn 13 x   y  16 x Giải hệ phương trình  2  x  x  x  y  2 x  x  y   1  x, y     2  x 1  Lời giải Điều kiện  y   x  y  0  2 Từ phương trình (2) ta có  x  x  x  y  2  x  x   x  y  x x  x   x  y    x  y  0   x2  x  x y  x  y  0 x  y 3 2   x2  x y  1    0  x  y 3 2    Với x 1  x2  x x  y 3 2 1  Nên ta có x  y  0  y  x  vào phương trình (1) ta  13 x   x  16 x  13  x    x 1 1 9    x   x    0  4  1 3    13  x      x    0 2 2     x      x   y   TM  4  x  3  5 1   Vậy nghiệm hệ cho  x; y   ;  4 Bài toán Giải hệ phương trình  x    y   y  x  5       3 x4   x  y  6 x3 y  y2  2  x, y    Lời giải Từ phương trình (2) ta có x4  x2  xy  y2 6 x3 y  y2    x3  x  y   x  x  y  0  x  x  y  x2  0  x 0    x 2 y 486 Với x 0 vào (1) ta có    y 2  y   y 4    y 0  16  y 4 Với x 2 y vào (1) ta có x    x   x  x2 5  * Đặt t  x    x  t 0   Thế vào (*) ta có t  Khi t 5 ta có  3x  x2  t 5  t   L  t2  5  t2  2t  15 0    t 5  x  x2 10  x2  x  96 0  VN  Vậy nghiệm hệ cho  x; y   0;0  Bài toán  x2  y2 1  Giải hệ phương trình   x x     1   x  y 0  2  x, y     x  Lời giải Điều kiện   x 1  y  x2  2 Từ phương trình (1) ta có y  x     y  x2   Với y  x  hay vào phương trình (2) ta  x  y  x  y  1  x  y2   x  y  x  y 1 1   x  y  1    x  y    x 1 x2  1  x   2  x 1  y 0   x    x   x  y 1  y 1  x   x  y   y   x    x  x2    x   2  x   y 0   x    x   Với y  x2  hay vào phương trình (2) ta  x  y  x  y   x  y 1 1   x  y  1    x  y  x  y 1  y 1  x    x 1 x2   x    2  x 1  y 0   x   x  1 487 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x  y   y   x    x  x2   x    2  x   y 0   x   x  1 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    1;0  ,   1;0   Bài toán  x  x2  1   xy   y  x2  y2    Giải hệ phương trình   2  xy   x  y  y  1 0  x, y    Lời giải Xét x 0  y 0 nghiệm hệ phương trình  Với x 0 từ phương trình (2) hệ ta có xy    y  y  x Thế vào phương trình (1) suy  y3  y  2 4 2 x x2     y x  y  x  x  y  y x x  y  x     x      y x      x   0  x  y4  x  y2  x x  y 2 2  y2  x2  y2 0  x 0; y 0  L    2 2  x  y  x  0  y   x  x  *  Thế (*) vào (2) ta có y  x  x    xy   x 0  xy  y  0  x  (2) ta có  y  y y3  y   y   0  y4  y2  0 y y    y 1  y 1  x      y   L   y   x 2  Vậy nghiệm hệ cho  x; y    0;  ,   1;1  ,  2;    Bài toán  x3  y3  xy 1  1  Giải hệ phương trình  x  y  25 (2)    x   13  y   2x  y   488  x, y    y vào 2y 2 x  y  0   x   13  y  0 Lời giải Điều kiện  Từ phương trình (1) ta có  x3  y3  xy  0   x  y   xy  x  y   xy  0    x  y   1  xy  x  y  1 0   x  y     x  y   x  y   xy  0      x  y 1   2  x  y  xy  x  y  0  *  Ta có  *   1 2  x  y    x  1   y   0  x  y  2 Thay vào phương trình thứ (2) khơng thỏa mãn Với y 1  x thay vào phương trình thứ hai ta có   x   12  x   28  x  x :  12  x 4; x   x 3  28  x     x   12  x     x  14 x  10 x  272 x  352 0  x 3   x  4  x2  x  22 x2  x  16 0    x   31     x 4   y 5  Đối chiếu điều kiện suy   x  31   y 4  31   Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    4;5  , 31  3;4   31 Bài toán 4  x  y         32 y  x Giải hệ phương trình   2   x  y  x y  x  y  0  1  2  Ta có: Lời giải Điều kiện x, y   Phương trình  1     4 x  y 1              y  x 1  4 1  Xét hàm số f  t   t  1     , t  t  t 3   Ta có f '  t  4  t  1    t   0, t  hay hàm số đồng biến  0;    x x 1  Do f    f  1  y y    x y  x  y  489 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình +) Với x  y thay vào (2) ta có phương trình x3  x2  x  0  x  +) Với x  y thay vào (2) ta có phương trình  x3  x2  x  0  x 3 Từ ta tìm nghiệm hệ cho  x; y     2;   ,  3;    Bài toán  y   y   x   x  Giải hệ phương trình   3 y  y  8 x  12  1  2   x  Lời giải Điều kiện   y 5  3 Từ phương trình (2) suy x  12 0  x   Đặt u  y   u 2  , v  x  v   Từ phương trình (1) cho ta u3  6u v3  6v   u  v u2  uv  v2  0  u v ,    u 2  u2  v2  uv   v    Với u v  y  x  , thay vào (2) ta có Đặt 3 x  x  8 x  12  *   5 x  a  a   Phương trình cho trở thàn    a a2    a2  Hàm số f  a  3   12  3 20   8 a a a   20 ;    f   0   , nghịch biến   a a a   Suy phương trình (*) có nghiệm x =  x 2  y 3 Hay hệ phương trình cho có nghiệm   Bài tốn   y4  y3 4 x y2  x2   Giải hệ phương trình   x  y  y2  x2 2  Lời giải Điều kiện y  x  * Phương trình (2)  x  y2  x2 2  y 490   1  2  x, y    Bình phương hai vế rút gọn ta x y2  x2 2  y 4 Thế vào phương trình (1) ta có y  y 4   y   y  y  y  32 0  y2  y 8  y2  y  32 0    y  y   VN   y 4  y2  y  0    y  y  2y     x 0  x  2  x  16 x  36 0 Với y 4  x 16  x    Thỏa mãn điều kiện (*)  x 0  x  2  x  16 x  36 0 Với y   x 16  x 6   Đối chiếu điều kiện (*)  y  2, x   (TM) Thử lại ta có nghiệm hệ phương trình  x; y    2 ;4 ,  7;       Bài toán 10   4 x2  x2   x2  y3  y    Giải hệ phương trình    x2   x2   y  1 2    y       1  2  Lời giải Điều kiện y  2 Phương trình (2) tương đương với y  x  y  y  1 2  y   x     x2  y    y3  y2  y  0  x2  y     y   y2  0  y    y   x2  y2  0   2  x  y  0   +) Với y  thay vào phương trình thứ hệ ta có x2  x   x2 0 x2       x2  3   x 0   x 2   x 1 2 +) Với x  y 1     y 1  Từ phương trình  1 ta có   x  1  1  4   x2   x  y3  y    x2    x2  y3  y   x2   x2  y3  y  0 491 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Xét hàm số  f  x  4 x2   x2   1;1 f '  x   4x x2   x; với x    1;1 Ta có hàm số f  x  liên tục đoạn     x2    0 f '  x  0  x   x2     x 0    x     1;1 f  x   Min  f   1 ; f   ; f  1   f   4 Suy Min   1;1 Xét hàm số  g  y   y3  y  với y    1;1 Ta có hàm số g  y  liên tục đoạn   1;1 g '  y  3 y2  3; g '  y  0  y 1 g  y   Min  g    ; g   ; g  1   g    Suy Min   1;1  x 0 Từ ta có f  x   g  y  0, x, y    1;1 Dấu “=” xảy    y 1      Thử lại ta có tập nghiệm hệ T   0;   , 2;  ,  2;  ,  0;1  Bài tốn 11.(Trích HSG Nghệ an năm 2014)  x  y  x  y 3 Giải hệ phương trình   x  y  x  y 1  1  x, y     2 5 x  y 0 Lời giải Điều kiện  2 x  y  Từ phương trình (1) hệ phương trình ta có x  y  x  y 3  x  y 3  2x  y 3  x  y 0 3  x  y 0    3 x  2x  y  5 x  y 2 x  y   x  y   3  4  x 3  Từ (4) ta có  x2  14 x  y   Thế vào phương trình thứ hai ta 3 x x2  14 x  x 1  x2  16 x  0  x 8  57 Đối chiếu điều kiện suy nghiệm thỏa mãn x 8   Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y     492 57; 9 57  y  57    9 57 Bài tốn 12.(Trích tạp chí TH&TT số 439 – tháng 01 năm 2014) Giải hệ phương trình   4 x2  x2   x2  y3  y     x2  y2   x2  y     1   x, y  R  2 Lời giải Từ phương trình   ta có   x  y2 x x  y2   x    y2  y2  y   y2    y  1   x2  y2 1 Do đó:  2  x  x  y 1    x 1    2  y  x  y 1   y 1  Từ phương trình  1 ta lại có:   x  1  1  4     *  x2   x2  y3  y   x2    x2  y3  y   x2   x2  y3  y  0   * Xét hàm số f x 4 x2   x2 với x    1;1 Ta có hàm số f  x  liên tục đoạn       1;1 f '  x   4x x2   x;   x2    0 f '  x  0  x   x2     x 0    x     1;1 f  x   Min  f   1 ; f   ; f  1   f   4 Suy Min   1;1 Xét hàm số  g  y   y3  y  với y    1;1 Ta có hàm số g  y  liên tục đoạn   1;1 g '  y  3 y  3; g '  y  0  y 1 g  y   Min  g    ; g   ; g  1   g    Suy Min   1;1  x 0  y 1 Từ ta có f  x   g  y  0, x, y    1;1 Dấu “=” xảy    x 0 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho   y 1 Nhận xét Ta giải tốn cách ngắn gọn từ việc giải phương trình (*) sau  *    x2  1    x2    x2    y3  y   x    y    y   493 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x2   0 Với x 1   đồng thời y 1   y    y  1 0  x    Từ suy  x   0  x 0    y 1  y  0  *    Bài toán 13  x   y   x2  x 8 Giải hệ phương trình   y   y  x  x   1  x, y     2 Lời giải  y   x 1 Điều kiện  Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có 1 1 1    x2  x    y     x   4 2 2   x    y   x  1  y   x  L   x  2 y 3  y 3    y 3     y 3   Với y  x   y   x   x 1  Thế vào phương trình (1) ta có x   x2  x 8    x    x2  x  0 x 2     x    x   0   x     x   0 x  1  x  1   x 2  y  2 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   2;   Bài toán14  x2   x    x  y   xy 3 y  Giải hệ phương trình  4  x  2  y  x  3  x    1  2 4 x2   x    x  y  0  Lời giải Điều kiện  xy 0  x    y  x  0  Dễ thấy  x; y   0;0  không nghiệm hệ Từ phương trình (1) suy y  kết hợp với điều kiện xy 0  x  Do đó:  1   494   x2   x    x  y   y   xy  y 0