Chuong i 1 (3 76)

CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƢƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ Trong mục này, tìm hiểu phương pháp có tính ứng dụng mạnh mẽ nhiều phương pháp giải hệ Phương pháp xem cơng cụ mạnh mẽ để giải hệ, dù tính chất đơn giản tất bước kỷ thuật để giải hệ phương trình sau phải dùng để tìm kết Nó đóng vai trị trực tiếp gián tiếp để giải hệ phương trình Tuy nhiên, đề mục này, tìm hiểu lối giải toán giải trực tiếp phương pháp 1) Sử dụng phương pháp thế: Hệ phương trình giải phương pháp loại hệ cho hình thức sau :  y  f  x   x  f  y  k  f  x, y  với k số      g  x, y   g  x, y   g  x, y   f  x, y   k ( k số)  Đối với hệ có dạng :  g  x, y   Ta thường giải hệ phương pháp “hằng số k ” Để nhận biết hệ phương trình phương pháp số, ta cần ý đến “hằng số” phương trình hệ có giống có tương tác với để tạo đồng bậc, sau tìm cách xây dựng mối liên quan biến hệ thay số biến số Với cách thay “ số” để thành công thường thu phương trình phân tích nhân tử chung, phương trình giải phương pháp giải phương trình Có kỷ thuật thường áp dung  Kỷ thuật 1: Thế trực tiếp số để tạo nhân tử chung số hệ hữu tỉ, hệ chứa thức mà mối quan hệ biến có liên quan chặt chẽ tới số  Kỷ thuật 2: Thế trực tiếp số để tạo đồng bậc số hệ phương hữu tỉ, hệ chứa thức có dáng dấp đẳng cấp Mục tiêu quan sát hệ để tạo tạo đồng bậc phương trình hệ a) Kỷ thuật 1: Thế số trực tiếp hệ để tạo nhân tử chung Ví dụ 1:    2x  y  x  y   x  2x  1   2y  Giải hệ phương trình:   x, y   x 4x    3y     Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình xét, ta thấy hai phương trình hệ chứa số Do ý tưởng ta tìm mối liên quan biến xung quanh số xem ? Ở phương trình thứ hai hệ biến đổi ta có :  4x  x  3y Mặt khác ta lại có : x  2x  1   2y   2x  x  2y Khi ta có : 4x  x  3y  2x  x  2y  2x  y  Vậy rõ ràng thay  4x  x  3y vào phương trình thứ hệ ta thu phương trình có nhân tử chung 2x  y Từ ta nhận thấy hệ giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có :  4x  x  3y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu phương trình :  2x     y  x  y   2x  x  4x  x  3y  2y  2x  y  x  y   2x  y  y  2x  2x  y  x  y  1    y   x    Với y  2x thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình :  4x  x  6x  2x  x   ( vô nghiệm)  Với y   x thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình :   17  17 y x  4  4x  x  1  x   2x  x       17  17 y x  4  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   17  17    17  17    ; ;  ;      4      x; y      x  7y   x  y   x y  7x  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :   x; y   2  3x  y  8y   8x Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, theo hướng tự nhiên thấy rõ ràng từ phương trình thứ hệ khai thác không khả thi Tuy nhiên, quan sát ta thấy hai phương trình hệ ta thấy hai có chứa số 4, điều ngẫu nhiên Ta thử mạnh dạn rút số theo biến thay vào phương trình thứ hệ xem ? Từ phương trình thứ hai hệ ta có :  8x  3x  y2  8y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu : x3  7y  x  2xy  y2  x y  7x  8x  3x  y2  8y    x3  x y  2x  2xy  15x  15y    x  y  x  2x  15  Và tới chuyện sáng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải phương pháp số Lời giải : Từ phương trình thứ hai hệ ta có :  8x  3x  y2  8y Thay vào phương trình thứ hệ ta thu : x3  7y  x  2xy  y2  x y  7x  8x  3x  y2  8y    x3  x y  2x  2xy  15x  15y    x  y  x  2x  15  x  y x  y    x   x  2x  15   x  5  Với x  y thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: x   (vô nghiệm)  Với x  thay vào phương trình thứ hai hệ ta có:  y  1 y2  8y      y  7  Với x  5 thay vào phương trình thứ hai hệ ta có: y2  8y  119  (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm :  x; y    3; 1 ;  3; 7    x  y  x y  xy  xy   Ví dụ 3: Giải hệ phương trình   x  y  xy 1  2x      x; y   (Khối A – 2008) Phân tích : Rõ ràng nhìn vào hệ ta thấy cách đặt để tốn, ta nghỉ đến lựa chọn số Tuy nhiên, với cách đặt để ta cần có chút chuẩn bị trước để xem đường lối ta suy nghỉ trợ giúp phần trăm bước đường cụ thể hóa lời giải Khơng khó nhận thấy phương trình thứ hai chứa đẳng thức Thật vậy, ta có : Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình   5 x  y2  xy 1  2x     x  y  xy   4 Ở phương trình thứ hệ, ta thấy ta nhóm nhân tử ta thu đại lượng x  y Thật ta có :   5 x  y  x y  xy2  xy    x  y 1  xy   xy   4 Nhận xét thay số cho ta khử đại lượng xy bắt nhân tử chung đại lượng x  y Tới đây, ta nhận thấy hệ giải tốt phương pháp số Lời giải :   x  y 1  xy   xy   Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ:   x  y  xy    Khi từ hệ ta có :   x    y 1  xy   xy  x  y        xy  x  y  xy  x  y   y  x  1  xy  x  y  Với y   x thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình: x  5 25  x   y  3 4 16  Với xy  x  y  thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình : x y    x2  y 1    x2  y    2x  2y  Thay y   trình :     x2  y 1    2x  2y    y   2x  2x  vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương   x 2x   2x    2x     2x  x    x    x       2        x  1 2x  2x    x   y   2x  2x   (vô nghiệm)    25     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;   ;  ;     16        x  y 1  xy   xy   Bình luận : Với hệ phương trình  , ta nhận thấy  x  y  xy        ẩn phụ hóa để giải với việc ẩn phụ hóa hai biến u  x  y, v  xy đưa đối xứng Tuy nhiên ta dễ thấy hệ cấu tạo lỏng nên ta giải hệ phương pháp số    x  x  3y   y   Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   x; y    xy   x  y   Phân tích : Nhìn vào hệ phương trình, ta thấy phương trình thứ hai hệ đối xứng với hai biến x, y phương trình thứ hệ biến lại đẳng cấp Đặc biệt hai phương trình hệ có tương đồng hai số , ta cần chọn thay hệ hệ số cho thuận tiện Khơng khó để nhận thấy hệ số gắn với biến cịn hệ số đóng vai trị hệ số tự thật Do đó, để thay có tính khả quan thay quan hệ biến hệ hệ số 2   x  3xy  4y  Ta biến đổi hệ phương trình cho trở thành:  2   x y  y x  4x  4y  Khi ta có: x y  y2 x  4x  4y  x  3xy  4y2     y  1 x  y2  3y  x  4y  y  1      y  1 x   y   x  4y    y  1 x  y  x    Vậy rõ ràng hướng số thành công Lời giải : 2   x  3xy  4y  Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ:  2   x y  y x  4x  4y  Từ hệ ta có: x y  y2 x  4x  4y  x  3xy  4y2 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình     y  1 x  y2  3y  x  4y  y  1  y    y  1 x   y   x  4y    y  1 x  y  x      y   x  x  4    Với y  thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình :   57 x  x  3x  12      57 x    Với y  x thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình :  x  (vơ lí)  Với x  4 thay vào phương trình thứ hệ ta có phương trình:   17 y  y  3y       17 y   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:   57    57    17    17    ;1 ;  ;1 ;  4;  ;  4;   2            x; y    Ví dụ 5: 2   x y  xy  2y  1 Giải hệ phương trình   x, y   3 3 x y  x y  2xy  3xy  12y     Phân tích : Quan sát hệ cho, ta thấy hệ có cấu trúc gần giống với ví dụ xét Tuy nhiên trường hợp ta trực tiếp số 1 khả biến đổi đại số khó khăn việc bắt nhân tử chung Mặt khác quan sát hai phương trình hệ, ta nhận thấy hệ xét phương trình thứ hai có chứa đẳng thức liên quan đến phương trình thứ hệ   Thật ta có: x3 y3    xy  1 x y2  xy  Từ ta lên ý tưởng 2y2  x y2  xy  vào phương trình thứ hai hệ để thực việc nhóm hạng tử bắt nhân tử chung Nhưng rõ ràng việc đòi hỏi khéo léo định thành cơng Hãy để ý xếp hệ phương trình biến y , từ ta nghỉ tới việc xét khả làm cho hệ có nghiệm y lược giản đưa hệ hệ dễ nhìn Khơng khó để nhận thấy hệ có nghiệm y  Do ta đưa hệ dạng :  x x  y  y2     x  x  2x   3x  12     y y y3 2   x  xt  t   3   x  t  x  2xt  12t  3x  Với hệ phương trình thứ hệ phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình thứ hai hệ lại khơng có đặc biệt Tuy nhiên với nhận định ban đầu biết phương trình thứ hai hệ có xuất đẳng thức Với hệ ta đặt t  hệ trở thành : y   Thật vậy, ta có : x3  t   x  t  x  xt  t Với nhận xét ta có phương trình thứ hai hệ biến đổi thành phương trình :   x3  t  x  12t  2xt  3x    x  t  x  xt  t  x  2xt  12t  3x  Khi từ phương trình thứ hệ ta :  x  xt  t vào phương trình vừa biến đổi ta thu phương trình :  x  t   x  2xt  12t  3x   x  x  5  2t  x  5  Tới đây, hệ xem thành công việc số Lời giải : Nhận xét y  không thỏa hệ phương trình cho Với y  ta biến đổi hệ cho trở thành :  x x  y  y2     x  x  2x   3x  12     y y y3 1 2   x  xt  t   3   x  t  x  2xt  12t  3x  Từ phương trình thứ hai hệ ta biến đổi thành phương trình : Đặt t  hệ 1 trở thành : y   x3  t  x  12t  2xt  3x    x  t  x  xt  t  x  2xt  12t  3x  Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Kết hợp với phương trình thứ hệ ta có phương trình vừa biến đổi trở thành :  x  t   x  2xt  12t  3x   x  5x  2xt  10t   x  5  x  x  5  2t  x  5    x   x  2t      x  2t  Với x  5 ta thay vào phương trình thứ hệ ta : t  5t  23  (vơ lí)  Với x  2t tat hay vào phương trình thứ hệ ta được: 3t   t    Với t   6 y    6    ; ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y     ;     3       Bình luận : Hệ phân tích giải phương pháp biến theo biến, nhiên hạn chế xử lý biến đổi đại số khơng thuận lợi đòi hỏi khả biến đổi khéo léo Tuy nhiên, quan sát đặc biệt biến y ta cho phép biến đổi hệ trở nên dễ nhìn từ phép số phát huy tác dụng làm cho lời giải toán gọn nhẹ  x  2xy   x  3y  Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x  9y3   4x  9y  xy   x  y  x, y   Phân tích : Quan sát hệ ta thấy hệ có cấu trúc vừa chứa thức vừa chứa phân thức, khó biết xuất phát từ đâu để thuận lợi cho việc giải hệ Thông thường với hệ kiểu hay xuất phát từ phương trình khơng chứa hệ Tuy nhiên, phương trình thứ hai hệ rõ ràng ta khó khai thác từ Phương trình thứ chứa thức lại dạng f  x   g  x  nên ta sử dụng phép nâng lũy thừa để làm thức Mặt khác nâng lũy thừa làm giảm đại lượng x , sau ta cố gắng xem lại mối quan hệ biến với ? Ta có: x  2xy   x  3y  x  2xy   x  6xy  9y2  4xy  9y  Quan sát vế phải phương trình hai hệ ta thấy có liên quan chặt chẽ với kết vừa thu 10 Thật vậy, ta có :   x  9y3 x  9y3   4x  9y  xy2   4xy  9y xy xy xy Khi thay vào ta biến đổi có phương trình : x3  9y3  3 x  y  xy Vế trái vế phải phương trình biến đổi gợi hình ảnh đẳng thức nên ta có tìm mối liên hệ cho hai biến x, y nên giải tốt tốn Như xem hệ thành công việc số   x  2xy   Lời giải : Điều kiện :   x  y  Từ phương trình thứ hệ ta có :    x  3y   x  3y  x  2xy   x  3y   2  4xy  9y  x  2xy   x  3y       Từ phương trình thứ hai hệ ta biến đổi trở thành phương trình :   x3  9y3  4xy  9y2 xy  x  y  1 Thay  4xy  9y2 vào 1 ta có : x3  9y3  3xy  x  y    x  y   8y3  x  3y Thay x  3y vào phương trình thứ hệ ta có :  7 y  15y2   6y   y x 7 21y    2 7 ; Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình  x, y        x  x  4y    y   Ví dụ 7: Giải hệ phương trình   x, y    y x  4y  Phân tích : Hệ phương trình xét hệ chứa thức hình thức chưa giúp định hướng cho cách giải phương pháp Từ định dạng phương trình thứ hai hệ cho ta hướng biến đổi phương trình thứ hệ 2y  x  4y   x  Cụ thể ta biến đổi hệ trở thành :   y x  4y  Từ phương trình thứ hai hệ cấu trúc phương trình thứ hệ, giúp ta định hướng dùng phép nâng lũy thừa để khử bớt đại lượng làm xuất đại lượng có mặt phương trình thứ hai hệ 11 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Cụ thể ta có : 2y  x  4y2   x  4y2  4y x  4y  x  4y  16  2x  x  2y x  4y2   x Rõ ràng tới ta nhận thấy cần thay hệ số  y x  4y2 xem hệ giải trọn vẹn Lời giải : Điều kiện : x  4y2  2y  x  4y   x  Hệ phương trình cho biến đổi thành hệ :  1  y x  4y  Từ phương trình thứ hệ (1) ta có : 2y  x  4y2   x  4y2  4y x  4y  x  4y  16  2x  x  2y x  4y2   x  2 Thế  y x  4y2 vào   ta có :   x  x  Thay x  vào (2) ta có :      52 y    y   y 36  4y     4y  36y   52   y    Đối chiếu điều kiện thử lại ta có nghiệm hệ phương trình là:   52 x; y     6;     ;  6;        2   52      ;  6;  ;  6;           2        Bình luận : Hệ dùng ẩn phụ cách khác để giải Tuy nhiên, mắt “thế số” ta thấy toán giải gọn b) Kỷ thuật : Thế số để tạo đồng bậc hệ bắt nhân tử chung 3  x  y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   x, y   2   x y  3xy  2y  Phân tích: Quan sát hệ phương trình ta nhận thấy hai phương trình hệ vế trái có bậc 3, vế phải có bậc Nên ta đưa ý tưởng đưa hai hệ phương trình đồng bậc để phân tích bắt nhân tử chung phép số 12 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình  x     y  1 Điều kiện :   x  5y    2x  y    x  y   Từ phương trình thứ hệ ta có : x   y    x  5y  x  y    x  2y      x  1 y  1   x  5y  x  1 y  1   x    x  1 y  1   y  1  x 1  y 1   x 1  y 1   x 1  y 1  x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình : x  x   5x   3x       x  x   x   5x   x   3x    x2  x 1   x2  x 1 x2  x 1  0 5x   x  3x   x   1    x  x  1   0 5x   x  3x   x     1 1 y x  2  x2  x 1     1 1 y x  2  1   , x   5x   x  3x   x  Đối chiều điều kiện ta có nghiệm hệ Vì            ; ;  ;      2      x, y    Ví dụ 5:   3y  5  5x  y  2x  x Giải hệ phương trình   x, y    2x  29  x  2x   y  92  y  x 1 Phân tích : Quan sát hệ phương trình ta nhận thấy phương trình thứ hai vừa chứa hai bậc lệch phân thức nên bắt đầu tìm mối quan hệ hai biến để 62 thực phép điều khó khăn Ở phương trình thứ chứa thức phân số hình thức có gọn nhẹ nên ta phân tích phương trình thứ Cụ thể ta có phương trình thứ biến đổi thành phương trình: 15x  5x 5x  y  2x  3y Để ý phương trình vừa biến đổi chứa hai hệ số 3,5 đứng trước hai biến x, y nên có liên quan đến biểu thức ta tiến hành biến đổi sau : 15x  5x 5x  y  2x  3y  3 5x  y   5x 5x  y  2x  Phương trình biến đổi cuối cho ta dáng dấp phương trình đẳng cấp bậc hai với biến x, 5x  y Do ta tiến hành tách nhân tử sau : 3 5x  y   5x  y  5x  y  2x      5x  y  2x 5x  y  x  Chú ý từ điều kiện phương trình thứ hai ta có : x  29 Do ta loại trường hợp : 5x  y  x  Như xem hệ giải 5x  y   Lời giải : Điều kiện :  29 x   Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình : 15x  5x 5x  y  2x  3y  3 5x  y   5x 5x  y  2x    5x  y   5x  y  5x  y  2x      5x  y  2x 5x  y  x   5x  y  2x   y  4x  5x 5x  y  x  0, x  29 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình : 2x  29  5x  3x   4x  5x  92 x 1  2x  29  5x  3x   4x  5x  92  1 x 1 Xét hàm số f  x   2x  19  5x  3x   29 4x  5x  53 với x  x 1 63 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Ta có : f '  x   3x 2x  29 10x    33 5x  3x    4x  8x  58 Do hàm số f  x  hàm số đồng biến với x   x  1  0, x  29 29 Nên phương trình 1 có nghiệm nghiệm Mà f  3   x  nghiệm phương trình 1 Suy : y  21 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y    3;21  Hệ phương trình có phương trình gồm nhiều hạng tử xếp hạng tử đồng bậc thêm bớt để nhóm nhân tử Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x  2x y  3xy  x  y  1  2y  2y  5y  1   x, y    2  x  17y  12   x  y   x  3x  8y   Phân tích : Bài tốn chúng tơi sáng tác đưa lên diễn đàn tốn Bài tốn hướng chúng tơi muốn nhắm đến quan sát đồng bậc đại lượng xếp chúng lại thực tách nhân tử Với hệ xét, dễ dàng thấy phương trình thứ hai hệ có độ phức tạp cao phương trình thứ hệ Do hướng đến phương trình thứ hệ Cụ thể hệ cho biến đổi thành phương trình :     x3  2x y  3xy2  10y3  xy  2y2  x  2y  Quan sát phương trình vừa biến đổi ta thấy hai hạng tử có bậc hai hạng tử có bậc có chung nhân tử x  2y Tới ta để ý hạng tử bậc ta nhận thấy hai hạng tử x , 10y3 có liên quan đến nhân tử x  2y Thật vây, ta có :   x  10y3  x  8y3  2y3  x   2y   2y3 Vậy ta dư đại lượng 2y3 Kết hợp với đại lượng lại ta có : 2x y  3xy2  2y3 Nhận xét dạng bậc hai với biến x nên ta tiến hành tách : y 2x y  3xy2  2y3  y  2x  3xy  2y2     y 2x  xy  4xy  2y2  y  x  2y  2x  y  64 Như ta tìm nhân tử chung phương trình thứ x  2y Do phương trình thứ phân tích thành :  x  2y   x  4xy  5y2  y  1    x  2y    x  2y 2  y2  y  1  Khơng khó để nhận thấy ta có nhân tử x  2y , vào phương trình thứ hai hệ, ta thu phương trình sau :  4y  17y  12      3y   4y2  14y  Phương trình bạn khai triển giải Tuy nhiên bạn để ý điều chút thấy thú vị tốn   Ta có : 4y2  17y  12  4y2  14y    3y   Như phương trình thứ hai có dạng : a  3y   a  b 2  4ab   a  b 2  với   b  4y  14y  Và hướng giải toán Lời giải : Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình: x3  2x y  3xy2  10y3  xy  2y2  x  2y     x3  8y3  y 2x  3xy  2y3  y  x  2y    x  2y      x  2y   x    x  2y  x  2xy  4y2  y  x  2y  2x  y    x  2y  y  1    4xy  5y2  y       x  2y   x  2y   y2  y   2 1   x  2y  x  2y   y  y    x  2y    y     0, x, y 2  Với x  2y thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình :  4y    3y     4y  14y  5     4y  14y  5   3y      17y  12     3y    4y   3y   4y2  14y  2 2 2  14y     4y  11y    11  17 11  17 x y    11  17 11  17 x y   65 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Vậy nghiệm phương trình là:  11  17 11  17   11  17 11  17    ; ;  ;    8       Bình luận: Chắc bạn thắc mắc từ đầu biết phương trình thứ có nhân tử mà chúng tơi lại tiến hành tách Câu trả lời nằm tính chất lí thuyết mà chúng tơi nêu Các bạn kiểm tra giúp nhé, giúp ơn lại kiến thức kỹ  x, y    y  x   x    x  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   x, y   2x  y3  y  x  y  2x  3   Phân tích : Với hệ phương trình thứ hai hệ Kiểm tra ta thấy phương trình phân tích nhân tử Ta biến đổi phương trình thứ hai phương trình:   2x3  y3  x y2  3x  2xy  3y  Để ý 1  (1)   ta có đại lượng sau : 2x  2xy  2x x  y ,    3x  3y  x  y cuối  y3  x y2  y2 x  y Vậy xem xếp bắt nhân tử thành công hệ xem giải x   1  x   Lời giải : Điều kiện : 7  x   y  x   y  x   Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành phương trình: 2x3  y3  x y2  3x  2xy  3y   2x3  2xy  3x  3y  x y2  y3            2x x  y  x  y  y2 x  y   x  y 2x   y2    Do 1  x   2x    2x   y2  nên từ (2) ta có : y  x Thay vào phương trình thứ hệ ta phương trình : x2  x   x    x  x2  x   x    x       x  x  12   x     x    x  3 x     x  3 3 x  0  x 1   x     x  3  x       3  x   x   T 66 Mà T  x    2  x 1 42 7x 1 x 1   x   0, x   1;7   x 1   x Do từ (3) ta có: x   y   x 1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình  x, y    3;9  Bình luận: Bài tốn bắt nhân tử khơng khó, chủ yếu quan sát hệ số với đại lượng kèm để xếp nhân tử chung Ví dụ 3:   27x  2y3  y   3x  2y   9xy  3x  y   Giải hệ phương trình   x, y   2y   x3   1  3 Phân tích : Với hệ này, lại nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình thứ hai chứa hai bậc lệch mà đại lượng chứa chẳng liên quan với Với phương trình thứ nhận thấy bên vế trái chứa hai bậc ba 27x ,2y3 vế phải chứa đại lượng 9xy  3x  y   27x y  9xy2 ta nhận thấy mối quan hệ có liên quan đến đẳng thức   Cụ thể ta có : 27x3  27x y  9xy2  2y3  y2   3x  2y   Dễ dàng nhận thấy ta cần tách đại lượng 2y3   y3  y3 chuyện sáng tỏ   Thật ta có: 27x3  27x y  9xy2  y3  y3  y2   3x  2y       3x  y   y3  y2   3x  2y       3x  y  y   3x  y   y  3x  y   y2   y2   3x  2y         3x  2y  9x  3xy  2y2    3x  2y  Tới ta có mối quan hệ hai biến x, y nên xem hệ giải 2y  0 y Phương trình thứ hệ biến đổi để trở thành: Lời giải : Điều kiện :   27x3  27x y  9xy2  y3  y3  y2   3x  2y   67 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình     3x  y   y3  y2   3x  2y       3x  y  y   3x  y   y  3x  y   y2   y2   3x  2y       3x  2y   9x  3xy  2y2  3  y  7y2  30  3x  2y  9x  3xy  y2    3x    2  Với 3x  2y   2y  3x ta thay vào phương trình thứ hai hai hệ ta có : 2  x3  x     x   x3  x  x   9 x2  x  1  x 3   x 3 0   2 1 1  x 2  1  x   x    x  x  x  3   9x  9x  2  1 3  3  1  x   1  x  x   x  3      9x  9x  0  2 9 x  x   9   1    9x  9x    0     3    9 x  x       1  x   1  x   x    x         1  x y   9x  9x     x   y   Vì :  2   2 1  1  x   1  x   x    x    x  x      3     Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình :  , x   1    ;  ;  ;1        x, y    Bình luận: Bài tốn tốn mà bắt nhân tử chung khơng khó cần tinh tế để ý hạng tử đồng bậc xếp lại để ý tới đẳng thức để nhóm nhân tử Tuy nhiên, thể loại hệ có tốn mà khả nhóm hạng tử che giấu kỉ, khó để biết hay 68 đốn nhân tử đại lượng Câu hỏi đặt lúc ta xử lí lớp tốn nào? Mời bạn xem tiếp phân tích phương pháp cách tư để tìm nhân tử loại tốn qua ví dụ sau  x  6y  8 x   x   y  5  4x Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   x, y   4y 1  y    2y  1 x   x  15 Phân tích : Khơng khó để nhận để giải đường lối giải hệ ta cần đến biến đổi trợ giúp phương trình thứ hệ Phương trình thứ hệ biến đổi trở thành phương trình : x x  6y x  x  2xy  10y  4x   1 Phương trình dễ để thực bắt nhân tử chung ta không thục kỉ bắt nhân tử có nghĩa tiến hành mị mẫm, khơng logic Do ta cần dựa sở logic nhận định ứng dụng tốt cho toán khác Nếu ta để ý kỉ (1) phương trình bậc ba theo biến Ta xếp phương trình (1) sau :  x x   y   x   3y   x  10y   Ta biết phương trình đa thức bậc ba tách tích tích phải có bậc Do ta giả sử 1 viết sau :   x  ay  b f  x, y  Giờ ta xác định a, b ta kiểm tra (1) đa thức tách nhân tử  Với y   x  b vào (1) ta có : b3  4b2  8b    b  1  Với b  1 ta có : x  ay  Khi ta chọn y  ta thay vào (1) ta có :  a  13   a  12   a  1    a    a  x  2y  vào (1) ta có phương trình : Thay  2y  13   y  2 2y  12  3y   2y  1  10y   Trường hợp nhận ln với y Và ta biết 1 ta trở thành :   x  2y  f  x, y  Trên sở tách (1) theo cách thêm bớt sau : x x  2xy  x  3x  6y x  x  x  10y   x   x  2y   x    x  2y    x  2y   69 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình     x  2y  x  x   Tới bạn thấy trình tách thêm bớt đâu có khó? Tuy nhiên để đạt điều tưởng chừng đơn giản khơng phải việc đơn giản, không đủ thục tinh ý nhận điều che giấu phương trình điều giấu trước lại vấn đề quan trọng, nút thắt mà cần gỡ xem giải tốn Có thể lúc thực hành dùng sơ đồ Horne để tách tích Và tốn giải tốt Lời giải : Điều kiện x  Phương trình thứ hệ biến đổi thành : x x  6y x  x  2xy  10y  4x    x x  2xy  x  3x  6y x  x  x  10y     x  2y  1     x  2y  1 x  x  5  x  x  2y   x  x  2y    y  x  x   0, x   x  2y     x  4y  4y   Thay vào phương trình thứ hai hệ ta thu phương trình :   3 2y  1 x   x  4y2  4y   16  x  x   x  x    Nhận xét với x   x  x   Do để phương trình (2) có nghiệm ta có điều kiện : x  x  1  33     1  33 1  33  x  x  x  x   x  2   Ta có  2  x   x   x  x4  x  1 x   x2 x  x    x    x   33 x    x   x   x      x  2   x   x    x  2 0    x  1 x   x        3   x  4    x   x 2  3  x     x   x    x       T 70 1  33 ta có T  nên  3 cho x   y  2  3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ  x, y    4;   2 Bình luận : Trong tốn qua bước phân tích bạn có thắc mắc Với x  b  1 x  1 vơ lí Điều xác, thực tế tốn ta tìm mối quan hệ đại lượng  y,b    0; 1 x  ay  b nên việc không thỏa chưa khẳng định chắn với b  1 khơng có hệ thức x  ay  b làm cho x có nghĩa thỏa phương trình (1) Để hiểu thực hành tốt hơn, chúng tơi phân tích thêm vào ví dụ sau Ví dụ 5: 2  2x   y   x   2y  3 xy  5y  y  1 Giải hệ phương trình   x, y   x  y   x  x  y   3y       Phân tích : Với hệ này, rõ ràng có đường hướng bắt nhân tử chung bắt buộc phải từ phương trình thứ hệ phương trình thứ hai chứa thức có khai triển từ phương trình khơng giúp Với phương trình thứ nhân hết ta có : 2x3  x y  2x  2xy2  3xy  5y3  5y2  Kiểm tra ta nhận thấy phương trình phân tích thành nhân tử Với phương trình ta có kết hợp hạng tử đồng bậc lại với khó nhận nhân tử chung, ta cần phải thêm bớt đại lượng Nhưng ta thêm bớt cách mơ hồ Tuy nhiên sở đề ta nhận thấy phương trình cần tách nhân tử dạng phương trình bậc ba hai ẩn nên có nhân tử chung nhân tử chung rút phải có dạng x  ay  b  Bây việc lại cần xử lí hai số a, b Theo tính chất lí thuyết, ta cho y  x  b b  Thay vào phương trình ta có : 2b3  2b2    b  Với b  ta có : x  ay Cho y  ta có x  a ta thay vào phương trình ta có : 2a  a  a  10   a  71 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Vậy trường hợp ta có mối quan hệ x, y x  2y nhân tử chung ta có phải có kết sau luôn với y  2y    2y  y   2y    2y  y   2y  y  5y3  5y  2 Tuy nhiên điều lại khơng có kết : 19y3  19y2  Với b  ta có : x  ay  Cho y  ta có x  a  ta thay vào phương trình ta có:  a  1   a  1   a  1   a  1   a  1  10   a  2 Vậy trường hợp ta có mối quan hệ x, y x  y  nhân tử chung ta có phải có kết sau ln với y  y  1   y  1 y   y  1   y  1 y2   y  1 y  5y3  5y  2 Và kết với y Như ta có : 2x3  x y  2x  2xy2  3xy  5y3  5y2   x  y  1 f  x, y  Là phép tách tích nhân tử có cho phương trình Như tới ta có hai cách để tách nhân tử vào làm  Cách : Sử dụng thêm bớt sau : 2x3  x y  2x  2xy2  3xy  5y3  5y2   2x3  2x y  2x  3x y  3xy2  3xy  5xy2  5y3  5y2   2x  x  y  1  3xy  x  y  1  5y2  x  y  1      x  y  1 2x  3xy  5y2   Cách : Chia sơ đồ Horne qua phân tích ta biết nhân tử 2x3  x y  2x  2xy2  3xy  5y3  5y2   2x3   y   x  y  2y  3 x  5y3  5y      x  y  1 2x  3xy  5y2  Như xem hệ giải y   Lời giải : Điều kiện :  x  y   Phương trình thứ biến đổi trở thành phương trình : 2x3  x y  2x  2xy2  3xy  5y3  5y2   2x3  2x y  2x  3x y  3xy2  3xy  5xy2  5y3  5y2   2x  x  y  1  3xy  x  y  1  5y2  x  y  1  72     x  y  1 2x  3xy  5y2   31   y  x  2x  3xy  5y2   x  y   y  0, x, y   Thay vào phương trình thứ hai ta phương trình :  x  3 x    x  5 2x    x  1 1  t  Đặt t  x    Thế vào phương trình 1 ta phương trình :  x  t     t2  t  t2       2t   t   t   2t   2t  3t  14t  15  t    t  3  t  3 2t   2t  3t      t  3 2t   2t  3t    Với t   x    x   y   Với  t  3  2t  3t    2 2t   2t  3t   t    t  3 2t   2t  3t       t  t   x4   x   y   t  t           t  12t  35  x   y   x     t    t  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình :  x, y   1;0 ; 3;2 ; 5;4  Bình luận : Bài tốn chúng tơi muốn đưa phân tích tư tự nhiên dựa quy tắc tách tích đa thức bậc ba mà việc tách thêm bớt địi hỏi kỉ khéo léo có chiều sâu luyện tập mà đa số học sinh yếu phần Nội dung đưa điều kiện để x  a nghiệm f(x) = f(a) = dựa điều kiện để biểu thức f(x,y) = tách nhân tử Các phép thử lại phân tích em dùng máy tính để kiểm tra bắt buộc hệ số a không số vơ tỉ Tuy chưa tối ưu có lẻ đường tư tự nhiên Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2  2x    y  x  y  2x    2y  5x     y  2x  x, y    2   x  y  2x  5y   73 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Phân tích : Đây hệ số đề kiểm tra nâng cao phần hệ lớp 10 ban tháng 10 trung tâm luyện thi Khai Sáng Một hệ đánh giá khó Với hệ này, ta quan sát hệ chứa hai phương trình đa thức bậc ba bậc hai Theo suy nghỉ tự nhiên ta phương trình bậc hai Kiểm tra ta thấy bậc hai tách nhân tử Tuy nhiên ta có :  '   y2  5y  khơng phải số phương nên nhân tử phương trình tách liên quan đến thức Đây điều thực tế mà chúng tơi nhắc đến lý thuyết Như vậy, rõ ràng điều kiện tách nhân tử phương trình bậc hai dẫn đến rắc rối cho toán Bây tập trung dồn cho phương trình thứ hệ với hy vọng tách nhân tử Nhưng với hình thức bắt nhân tử chung ta cần thêm bớt đại lượng cách khéo léo Kiểm tra ta thấy đa thức tách nhân tử bậc ba nên ln tách tích có bậc với hai biến x, y Cụ thể ta có phương trình thứ hai biến đổi thành phương trình :   2x3   y  5 x  y2  5y  x  y3  5y2  4y  1   x  ay  b  f  x, y   Bây ta tiến hành tìm hệ số a, b cho x  ay  b nghiệm 1 b    Với y  ta có x  b nên 1 trở thành: 2b3  5b  2b    b     b  2  Khi b  ta có : x  ay  Cho y  ta có x  a Khi 1  2a3  6a  14a  10   a  1  x   y Thay x   y vào 1 ta không nhận kết nghiệm với y  Cho y  1 ta có x  a Khi 1  2a  6a  10a   a   x  Khơng khó để nhận x  ta có 1 khơng nghiệm với y 1 ta có : x  ay  2  Cho y  ta có x  a  Khi Khi b   74 1 1 1 1   a     a    14  a    10   a    x   y  2 2 2 2    1 Thay x   y  vào 1 ta nhận kết nghiệm với y 2 Như nhân tử bậc có  2x  y  1 f  x, y   kết có Tới có hai cách trình bày ví dụ Như toán giải Lời giải : Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình :   2x3   y  5 x  y2  5y  x  y3  5y2  4y  1  Cách 1: Sử dụng tách thêm bớt Ta có : 1  2x3  x y  x  4x  2xy  2x  2xy2  y3  y2  8xy  4y2  4y   x  2x  y  1  2x  2x  y  1  y2  2x  y  1  4y  2x  y  1   2x  y     2x  y  1 x  y  2x  4y    2  x  y  2x  4y   Cách : Sử dụng sơ đồ Horne Ta có :   1  2x3  x y  x  4x  2xy  2x  2xy2  y3  y2  8xy  4y2  4y   2x  y     2x  y  1 x  y  2x  4y     x  y  2x  4y   Trường hợp : 2x  y   , kết hợp với phương trình thứ hai hệ ta có     14 x     9  14 y  2x  y    y  2x     hệ:  2    x  y  2x  5y   5x  4x     x   14     y  9  14    Trường hợp : x  y2  2x  4y  , kết hợp với phương trình thứ hệ ta có hệ : 75 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình   x  1    x  y  2x  4y    y  2  y  2    2 x  2x     x  y  2x  5y   x         y  2  2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm :    14 9  14    14 9  14   5; 2 ; 1  5; 2 ;  ; ;  ;    5      Bình luận : Các bạn ý, chọn y  tìm b xong Qua ví dụ trước  x, y    1    bạn ý quy trình tìm a có mẹo nhỏ số chọn cho y thường số ước số hệ số đứng trước x Ở tốn ta có hệ số đứng trước x số ước số 1, 2 , tốn có ba giá trị b ứng với giá trị ta thử với cặp ước số nói, ta tìm mối quan hệ x, y Mặt khác ta tính khơng giá trị b khơng ngun khả phân tích khơng khả thi rắc rối nhân tử lúc tốn u cầu kết hợp hai phương trình để có nhân tử chung Theo quy tắc cho người giải nên người chế đề thơng thường họ làm khó học sinh hệ số x lớn Còn lớn tốn phải có hướng bắt nhân tử rõ ràng ví dụ cách khác để bắt nhân tử Còn sử dụng định hướng người chế đề khó chăng? 76