Chuong i 1

CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa vectơ: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa r r hai điểm mút đoạn thẳng B x a rõ điểm điểm đầu, điểm điểm A cuối Hình 1.1 Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta uuur kí hiệu : AB r r r r Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, r Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vectơ phương, hướng - Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ - Hai vectơ có giá song song trùng gọi hai vectơ phương - Hai vectơ phương hướng ngược hướng A F B C D Hình 1.2 H E G uuur uuu r Ví dụ: Ở hình vẽ trên (hình 2) hai vectơ AB CD hướng uuu r uuur EF HG ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Hai vectơ uuur A - Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , B uuur kí hiệu AB uuur C D Hình 1.3 Vậy AB = AB - Hai vectơ chúng hướng độ dài uuur uuu r Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD AB = CD B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định vectơ; phương, hướng vectơ; độ dài vectơ Phương pháp giải  Xác định vectơ xác định phương, hướng hai vectơ theo định nghĩa http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Dựa vào tình chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Lời giải Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác vectơuuur uuu r không AB, BA Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D ngũ giác ta có cặp  điểm phân biệt có 12 vectơ thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 2: Chứng minh ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng uuur uuur AB, AC phương Lời giải uuur uuur A , B , C Nếu thẳng hàng suy giá AB, AC đường thẳng qua uuur uuur ba điểm A, B,C nên AB, AC phương uuur uuur Ngược lại AB, AC phương đường thẳng AB AC song song trùng Nhưng hai đường thẳng qua điểm A nên hai đường thẳng AB AC trùng hay ba điểm A, B,C thẳng hàng Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC ,CA, AB uuuu r a) Xác định vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuur b) Xác định vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuur c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B Lời giải (Hình 1.4) uuuu r a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r NM , AB, BA, AP , PA, BP , PB A' A b) Các vectơ khác vectơ - không uuur uuu r uuuu r uuur hướng với AB AP , PB, NM c) Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP N P B' B liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài M Hình 1.4 C uuuu r uuur Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường uuur uuur thẳng lấy điểm A ' cho AA ' hướng với NP AA ' = NP uuur uuur Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau uuur uuuu r MD , MN Lời giải (hình 1.5) Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông MAD ta có N D C O P A B M Hình 1.5 ỉ 5a2 a ÷ DM = AM + AD = ỗ + a = ữ ị DM = ỗ ữ ỗ ố2ứ uuur a Suy MD = MD = Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P 2 Khi tứ giác ADNP hình vng PM = PA + AM = a + a 3a = 2 Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông NPM ta có ỉ3a 13a2 a 13 2 2 ữ ỗ MN = NP + PM = a + ỗ ữ = ị DM = ữ ỗ2ứ è uuuu r a 13 Suy MN = MN = Bài tập luyện tập http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C, D, O uuur uuu r a) Bằng vectơ AB ; OB uuu r b) Có độ dài OB Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng uuur uuur a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? uuur uuur b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt uuur uuur a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C uuur uuur b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C, D Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định sau ? uuur uuur uuur uuur uuu r uuur a) AB = BC b) AB = DC c) OA = - OC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r d) OB = OA e) AB = BC f) OA = BD Bài 1.6: Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơkhơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho uuur uuur a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r Tính độ dài vectơ AB, AC ,OA,OM ,OA + OB Bài 1.8: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG uuur uuur uur Tính độ dài vectơ AB, AG, BI Bài 1.9: Cho trước hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả uuur uuur mãn MA = MB  DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ Phương pháp giải  Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh chúng có độ dài hướng dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình uuur uuur uuur uuur bình hành AB = DC AD = BC Các ví dụ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, uuuu r uuu r MN = QP BC, CD, DA Chứng minh Lời giải (hình 1.6) Do M, N trung điểm AB BC nên MN đường trung bình tam giác suy MN / / AC ABC MN = AC (1) A Tương tự QP đường trung bình tam M giác ADC suy QP / / AC B QP = AC (2) Từ (1) (2) suy MN / / QP MN = QP tứ giác MNPQ hình bình hành uuuu r uuu r Vậy ta có MN =QP Q D P N C Hình 1.6 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC uuuur uuur Dựng điểm B ' cho B 'B = AG uur uur a) Chứng minh BI = IC uuu r uur b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh BJ = IG Lời giải (hình 1.7) a) Vì I trung điểm BC nên BI = CI A uur uur uur hướng với hai vectơ , BI IC BI B' uur uur uur hay IC BI = IC uuuur uuur G b) Ta có B 'B = AG suy B 'B = AG J BB '/ / AG uuu r uur B I BJ , IG hướng (1) Do Vì G trọng tâm tam giác ABC nên 1 IG = AG , J trung điểm BB ' suy BJ = BB ' 2 Vì BJ = IG (2) uuu r uur Từ (1) (2) ta có BJ = IG C Hình 1.7 Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN Gọi P giao điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuuu r uuur AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh AM = NC uuur uuu r DB = QB Lời giải (hình 1.8) Ta có DM = BN Þ AN = MC , mặt khác AN song song với MC tứ giác N A ANCM hình bình hành uuuu r uuur Suy AM = NC Q Xét tam giác D DMP D BNQ ta có P · · DM = NB (giả thiết), PDM = QBN (so D C M le trong) Hình 1.8 · · Mặt khác DMP = APB (đối đỉnh) · · APQ = NQB (hai góc đồng vị) suy · · DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuur uuu r uuur uuu r Dễ thấy DB, QB hướng DB = QB Bài tập luyện tập Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, uuur uuur BC, CD, DA Chứng minh MQ =NP Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD Gọi M , N trung điểm DC , AB ; P giao điểm AM , DB Q giao điểm uuur uuur uuu r uuuu r uuur CN , DB Chứng minh DP = PQ = QB DM = NB Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB 2CD uur uuu r Từ C vẽ CI = DA Chứng minh uur uuu r uur uur uuur   a) AD IC DI = CB b) AI = IB = DC Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại uuur uuuur tiếp Gọi B' điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH = B 'C §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word B A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tổng hai vectơ r r uuur r a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b Từ điểm A tùy ý vẽ AB = a từ B r r uuur r uuur a vẽ BC = b vectơ AC gọi tổng hai vectơ ; b uuur r r Kí hiệu AC = a + b (Hình 1.9) B r b) Tính chất : r r r r r a b r r + Giao hoán : a + b = b + a r r r r r r a b + Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) r r C A r r r r a +b + Tính chất vectơ – không: a + = a, " a Hình 1.9 Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối vectơ r r Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng cúng độ dài với vectơ a r Kí hiệu - a r r r r uuur uuu r Như a + - a = 0, " a AB = - BA b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: r r r r Hiệu hai vectơ a b tổng vectơ a vectơ đối vectơ b Kí r r r r hiệu a - b = a + - b ( ) ( ) Các quy tắc: uuur uuur uuur Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành uuur uuur uuur AB + AD = AC uuu r uuu r uuur Quy tắc hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB - OA = AB Chú ý: Ta mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2, , An uuuu r uuuur uuuuuur uuuur A1A2 + A2A3 + + An- 1An = A1An B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu vectơ Phương pháp giải Để xác định độ dài tổng hiệu vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa tổng, hiệu hai vectơ tính chất, quy tắc để xác định định phép tốn vectơ  Dựa vào tính chất hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vng để xác định độ dài vectơ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A có uuur uuur uuur Tính độ dài vectơ AB + BC , AC Lời giải (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuur  AB + BC = AC · ABC = 300 BC = a uuur uuur uuur BC AB + AC · AC Mà sin ABC = BC · a Þ AC = BC sin ABC = a 5.sin300 = uuur uuur uuur a Do AB + BC = AC = AC = uuur uuur uuur uuu r uuur  AC - BC = AC + CB = AB B D A C Hình 1.10 Ta có AC + AB = BC Þ AB = BC - AC = 5a2 - 5a2 a 15 = uuur uuur uuur a 15 Vì AC - BC = AB = AB =  Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuur uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuur uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r a) Tính AB + AD , OA - CB , CD - DA r uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh u = MA + MB - MC - MD khơng phụ thuộc vị trí r điểm M Tính độ dài vectơ u Lời giải (hình 1.11) uuur uuur uuur a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC uuur uuur uuur Suy AB + AD = AC = AC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Áp dụng định lí Pitago ta có AC = AB + BC = 2a2 Þ AC = 2a uuur uuur Vậy AB + AD = a uuu r uuu r + Vì O tâm hình vng nên OA = CO suy uuu r uuu r uuu r uuu r uuur OA - CB = CO - CB = BC uuu r uuu r uuuur OA CB = BC = a Vậy uuu r uuu r + Do ABCD hình vng nên CD = BA suy uuu r uuu r uuu r uuur uuur CD - DA = BA + AD = BD uuur BD = BD = AB + AD = a suy Mà uuu r uuu r CD - DA = a C' A B O D C Hình 1.11 b) Theo quy tắc phép trừ ta có r uuur uuur uuur uuur uur uuur u = MA - MC + MB - MD = CA + DB r Suy u không phụ thuộc vị trí điểm M Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC C ' Khi tứ giác ADBC ' hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) uuur uuuur suy DB = AC ' r uur uuuur uuuu r Do u = CA + AC ' = CC ' r uuuu r Vì u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a ( ) ( ) Bài tập luyện tập Bài 1.14: Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ sau     AB  AC , AB  AC Bài 1.15: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm uuur uuu r uuur uuur uuu r a) Tính AB + OD , AB - OC + OD     b) Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD · Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a BCD = 600 Gọi O tâm hình thoi uuur uuur uuu r uuur Tính AB + AD , OB - DC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur r OA, OB, OC a OA + OB + OC = a) Tính góc AOB, BOC , COA uuu r uuur uuu r b) Tính OB + AC - OA Bài 1.18: Cho góc Oxy Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B Tìm điều kiện uuu r uuu r A,B cho OA + OB nằm phân giác góc Oxy  DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có cách biển đổi: vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lương trung gian Trong trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng để từ liên tưởng đến kiến thức có để xuất đại lượng vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp vế đơn giản Các ví dụ Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E Chứng minh uuur uuu r uuu r uuu r uuur a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r b) AC + CD - EC = AE - DB + CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có uuur uuu r uuu r uuu r uuu r VT = AC + CB + CD + ED + DA uuu r uuur uuur uuu r uuu r = CB + ED + AC + CD + DA uuu r uuur uuur uuu r = CB + ED + AD + DA uuu r uuur = CB + ED = VP ĐPCM b) Đẳng thức tương đương với ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word