SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x – m3 + (m + 1)2 = a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 4 b) Với giá trị m vừa tìm phần a) tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x13 x 23 3x1x (x1 x ) 8x1x Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: x 11x 23 4 x xy 2 x y x y 16 Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y x y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G ; gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lấy điểm M,N cho 3MA 4MB 0 , NB 3NC 0 a) Chứng minh MN qua tâm G tam giác ABC đường thẳng b) Chứng minh a.IA b.IB c.IC 0 (trong a = BC, b = AC, c = AB) Câu (1,0 điểm) Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P bc 2 a ba c ca 2 b a b c ab c a c 2b HẾT -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012) (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đáp án có 02 trang ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý Nội dung Điểm 2,5 1,0 Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 4 ' 0 x1 x2 4 m m 0 m 1 4 m 2 m 0 m 3 m 0 m 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 1,0 1,5 Theo định lí Viet ta có x1 x2 2 m 1 , x1 x2 m3 m 1 suy 3 P x1 x2 x1 x2 8 m 1 8m3 m 1 16m 40m Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 16m 40m với m tập D 2;0 2;3 Ta thấy P hàm số bậc hai (ẩn m) Bảng biến thiên m -2 0 16 0,5 0,25 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 m 2 , Pmin 144 m 0,5 0,25 Câu Ý Nội dung Giải phương trình… ĐK: x pt 2( x x 9) ( x x 4) 0 Điểm 1,5 0,5 2( x 3) ( x 2) 0 0,25 x 0 Do a 0(a) nên pt(*) x 0 x 3 Vậy pt cho có nghiệm x=3 xy 2 x y x y 16 (1) Giải hệ phương trình x y x y (2) §iỊu kiƯn: x + y > * (1) (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = x y 0 0,5 0,25 2,0 (3) 2 x y 4(x y) 0 (4) 0,5 Tõ (3) Þ x + y = 4, thay vào (2) ta đợc: x Þ y 7 x2 + x – = x2 + x – = x Þ y 2 (4) vô nghiệm x2 + y2 > x + y > Vậy hÖ cã hai nghiÖm lµ: (–3; 7); (2; 2) 0,75 0,75 3,0 1,5 a Chứng minh M, N, G thẳng hàng Ta cã 3(GA GM ) 4(GB GM ) 0 3GA 4GB 7GM Và (GB GN ) 3(GC GN ) 0 GB 3GC 2GN GB 3(GA GB ) 2GN 3GA 4GB 2GN b Chứng minh a.IA b.IB c.IC 0 ( 1) (2) 0,5 0,5 1,5 Hình vẽ: A I B D C Gọi D chân đường phân giác hạ từ đình A (hình vẽ) Theo tính chất đường phân giác ta có c DB AB c c Þ DB DC Þ DB DC DC AC b b b ( hai vec tơ DB; DC ngược hướng) c b.IB c.IC Hay IB ID IC ID ID (1) b bc Lại có BI đường phân giác góc B tam giác ABD, CI phân giác tam giác ACD nên: IA BA CA BA CA (theo tính chất tỷ lệ thức nhau) ID BD CD BD CD Trang 1/2 0,5 0,5 Câu Ý Nội dung Điểm a BA CA BC ID Þ ID IA hay ID IA (2) Suy IA BD CD CA CB bc a b.IB c.IC Thay (2) vào (1) ta có: IA a.IA b.IB c.IC 0 (đpcm) b c bc 0,5 Chứng minh bất đẳng thức… 1,0 1 1 1 2 2 2 P = a b c = a b c a (b c) b (a c) c (a b) b c a c a b 1 1 1 bc ac ab b c c a a b 1 Đặt x , y , z Do abc = Þ xyz = a,b,c dương suy x,y,z a b c bc dương Ta có P ca ab x2 y2 z2 y z z x x y 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có x2 y z z2 x y y2 zx x , z y , y z x y zx Þ P 0,5 x y z x y z 3 x y z Þ P xyz 2 2 x = y = z = 0,25 HẾT -Chú ý: Riêng câu phần b) thí sinh khơng có hình vẽ khơng chấm điểm Học sinh có cách giải khác đáp án điểm tối đa theo câu, phần Câu 3b) tập scahs tập hình học 10, nhiên khơng có học sinh làm Dấu “=” xảy x = y = z = hay a = b = c = Vậy Pmin điều đáng tiếc Qua chứng tỏ học sinh không giải tập sách tập, sách giáo khoa thuộc chương trình nâng cao Trang 2/2