Tương tự Cộng vế với vế các BĐT ta được điều phải CM Dấu bằng xảy ra a=b=c=1.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – Lớp 10 (ngày thi: 04/01/2013) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( điểm ) x y 2x 2y 2m x y 4 Cho hệ phương trình : a Giải hệ m=4 b Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt Câu ( điểm ) a b Giải phương trình : x x x 3x 2x x x m x x x Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x cho x1 10 x 3m Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm AB , E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : CD OE Câu ( điểm ) Giải bất phương trình: ( x 3x) x x 0 Câu ( điểm ) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 Chứng minh : 1 1 2 a b c b c a c a b abc -HẾT Cán coi thi không giải thích giừ thêm (2) Đáp án Thang điểm Câu a, +TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên +Đồ thị đúng đẹp y x 4x b, +Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm +Từ đồ thị suy để PT có nghiệm phân biệt thì : 0<m<1 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Y X -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 Câu 2 a, ÑK : x x 0 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm (3) x x x x x (1) x2 x 1 x x x 1 0 4x x 1 0 x 1 2 2 x x x 3x x x x 3x x 0 x 2 x x x x 2 x x x x 2 (2) 0 laø moät nghieäm cuûa phöông trình (1) x x x x x Từ (1) và (2) ta có hệ x x 2 x 2 x x x x 2 0,5 điểm 0,5 điểm Ta thaáy x 3 2 x 0 x 5 x x x x 3 4 x x x 3 5 Thử lại ta có các nghiệm x ; x 3m b, PT đặt t x 9, t 0 3m t m t t 2t m 1 t m 13 0 PT trở thành : (1) PT ban đầu có nghiệm x1 10 x ' t t t t t1 t (1) có nghiệm m 1 m 13 m 25 m 13 m 13 m m 13 m m Câu AB 1; 1 ;BC 4;4 1.a, Ta có x 3m 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm x x 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm AB.BC 0 AB BC tam giác ABC vuông B b, Theo tính chất phân giác ta có : IA AB IM 2IA IM BM 2 4 1; Từ đó , tính tọa độ I là 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (4) 2.Gọi M là trung điểm AC 3OE OA OC OD 2OM OD Vì E là trọng tâm tam giác ACD nên D là trung điểm AB nên 2CD CA CB Vì (O) ngoại tiếp ABC nên OD AB;OM AC , ABC cân nên OD=OM OD OM DM mà DM//BC OD OM BC Do đó , Ta có : 0,25 điểm 3OE.2CD OA OC OD CA CB 2OM OD CA CB 2OM.CB OD CA CB 2OM.CB OD 2CB BA 2OM.CB 2OD.CB 2 OM OD CB 0 0,5 điểm x 1 y 2m x 1 y 4 Câu HPT đặt a x 1;b y ta a b 2 1 a b 2m a b a b 4 ab 1 m (*) a b 2 a b a, Khi m=4 ta có ab ab a;b 1; , 3;1 , 1;3 , 3; 1 Từ đó các nghiệm hệ ban đầu : (2;-2),(-2;2),(0;4),(4;0) (Lưu ý : thí sinh thay m vào luôn HPT thì câu a tính điểm ) b, ĐK cần :Ta có hệ ban đầu có nghiệm hệ (*) có nghiệm; Số nghiệm hệ đầu là số nghiệm (*) Nếu (a0,b0) là nghiệm (*) ( dễ thấy a0≠-b0) thì (-a0;-b0),(b0;a0),(-b0;-a0) , đó để hệ có đúng nghiệm phân biệt thì : a=b Thay vào (*) ta m=0 ĐK đủ :với m=0 dễ dàng kiểm tra thấy thỏa mãn Lưu ý : Có thể giải việc (1) , (2) vào (3) PT a 2a m 0 a 2a m 0 Từ đó , dẫn đến hệ có nghiệm phân biệt : (4) và (5) có nghiệm kép (4) có no p/b, (5) vô no (4) vô no , (5) có no pb 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm (5) Câu Từ giả thiết ab bc ca 3 a 2b 2c abc 1 1 1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a Nên ta có : 1 1 ; b c a 3b c a b 3c Tương tự Cộng vế với vế các BĐT ta điều phải CM Dấu xảy a=b=c=1 Xét trường hợp sau: x 2 x 3x 0 x TH1: 0,5 x x 0 (1) 2 x 3x (2) TH2: 0,5 x 3 Giải (1) ta x 0 0,5 x2 x Giải (2) ta 0,5 Kết hợp nghiệm ta nghiệm BPT là: x 3 ; x x 2 0,5 (6)