Cđ20 tính chất ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Chun đề 20 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác (gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác) (h.20.1) Trong tam giác, đoạn vng góc vẽ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Ba đường cao tam giác qua điểm (h.20.2) Điểm gọi trực tâm tam giác Bổ sung tính chất tam giác cân - Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy, đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh - Trong tam giác, hai bốn loại đường trùng tam giác tam giác cân B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, AB  AC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM  AB Vẽ đường trung trực AC, cắt đường phân giác góc A điểm O Chứng minh O nằm đường trung trực BM Giải (h.20.3) * Tìm cách giải Muốn chứng minh điểm O nằm đường trung trực BM ta cần chứng minh điểm O cách hai đầu đoạn thẳng BM, nghĩa phải chứng minh OB OM Muốn phải chứng minh ABO CMO Dễ thấy hai tam giác có hai cặp cạnh nên cần chứng minh cặp góc xen đủ * Trình bày lời giải Điểm O nằm đường trung trực AC nên OA OC File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Do OAC cân O, suy A OCA  Mặt khác A2  A1 nên A1 OCA  ABO CMO có: AB CM ; A1 OCA ; OA OC nên ABO CMO (c.g.c) Suy OB OM Điểm O cách hai đầu đoạn thẳng BM nên O nằm đường trung trực BM Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAB HAC cắt BC M N Các đường phân giác góc B, góc C cắt O Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Giải (h.20.4) * Tìm cách giải Muốn chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta phải chứng minh O giao điểm đường trung trực cạnh AM AN Xét ABN có BO đường phân giác góc B nên để chứng minh BO đường trung trực AN cần chứng minh ABN tam giác cân B * Trình bày lời giải    Ta có BAN 90 ) (1)  CAN 90 (vì BAC  90 ) (2)   BNA  NAH 90 (vì H     Mặt khác, CAN nên từ (1) (2) suy BAN ABN cân B NAH BNA Xét ABN cân B có BO đường phân giác góc B nên BO đường trung trực cạnh AN Chứng minh tương tự ta CO đường trung trực cạnh AM Xét AMN có O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh AN AM nên O tâm đường tròn ngoại tiếp AMN Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến BM Qua M vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AB D Vẽ điểm E cho M trung điểm DE Chứng minh AE  BM Giải (h.20.5) * Tìm cách giải Xét DBC , dễ thấy M trực tâm, suy BM  CD Do muốn chứng minh BM  AE ta cần chứng minh CD / / AE * Trình bày lời giải Xét DBC có CA DM hai đường cao cắt M nên M trực tâm Suy BM đường cao thứ ba, BM  CD Ta có MEA MDC (c.g.c) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN   Suy MEA MDC Do AE / /CD Từ (1) (2) ta AE  BM Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, A 45 Vẽ đường trung tuyến AM Đường trung trực cạnh AC cắt AB D Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE BD Chứng minh ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy Giải (h.20.6) * Tìm cách giải Vẽ hình xác ta dự đoán ba đường thẳng AM, BE, CD ba đường cao tam giác ABC nên chúng đồng quy Do ta cần chứng minh AM  BC , CD  AB BE  AC * Trình bày lời giải Điểm D nằm đường trung trực AC nên DA DC  Do DAC cân suy ACD CAD 45 Xét DAC có ADC 180   45  45  90 Vậy CD  AB  D  90 Do BE  AC Ta lại có BCD CEB (c.g.c)  E Mặt khác, AM đường trung tuyến ứng với cạnh đáy tam giác cân nên AM  BC Xét ABC có AM, BE CD ba đường cao nên chúng đồng quy C Bài tập vận dụng • Tính chất đường trung trực 20.1 Cho tam giác ABC, góc A tù Các đường trung trực AB AC cắt BC D E Biết góc DAE có số đo 30 , tính số đo góc BAC 20.2 Cho tam giác ABC Trên tia BA CA lấy điểm D E cho BD  CE BC Chứng minh D E di động đường trung trực DE qua điểm cố định tam giác ABC 20.3 Cho góc vng xOy điểm A cố định góc Vẽ góc BAC 90 cho B  Ox, C  Oy Gọi M trung điểm BC Chứng minh M nằm đường thẳng cố định 20.4 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M Vẽ điểm D E cho AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng DE có độ dài ngắn 20.5 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N  cho MHN 90 a) Gọi O trung điểm MN Chứng minh M N di động điểm O di động đường thẳng cố định File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN b) Xác định vị trí M N để MN có độ dài nhỏ 20.6 Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy điểm M tia Ox, điểm N tia Oy cho OM  ON a không đổi Chứng minh M N di động tia Ox, Oy đường trung trực MN qua điểm cố định  1B  Hãy tìm điểm M cạnh AB, điểm N cạnh   90 C 20.7 Cho tam giác ABC cho B BC cho BM MN  NC • Chứng minh đồng quy thẳng hàng 20.8 Cho tam giác ABC , AB  AC Trên tia BA CA lấy điểm M N cho BM CN Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD  AB Chứng minh đường trung trực AD, BC MN qua điểm 20.9 Cho tam giác ABC vuông A, tam giác DBC vng D A D thuộc nửa mặt phẳng bờ BC Gọi M N trung điểm AD BC Vẽ AE  DN ; DF  AN Chứng minh ba đường thẳng AE, DF, MN qua điểm 20.10 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD Trên tia DA lấy điểm H cho DH DB Trên tia DC lấy điểm K cho DK DA Chứng minh KH  AB 20.11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB lấy điểm H, cạnh BC lấy điểm D cho AHD  ACD 180 Đường thẳng DH cắt đường thẳng AC O Chứng minh hai đường thẳng OB CH vng góc với 20.12 Cho tam giác nhọn ABC , A 60 Hai đường cao BE, CF cắt H Đường trung trực HB cắt AB M, đường trung trực HC cắt AC N Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng 20.13 Cho tam giác nhọn ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác H trực tâm tam giác   Chứng minh BOC  BHC 360 • Tam giác cân 20.14 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Một đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB AC E F Chứng minh đường trung trực EF qua điểm cố định 20.15 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt ba điểm phân biệt E, F, G Hỏi tam giác EFG tam giác không? Hướng dẫn giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 20.1 (h.20.7) Điểm D nằm đường trung trực AB nên DA DB  Suy DAB cân, A1 B  Chứng minh tương tự, ta A2 C  B  C  180  BAC  Ta có A1  A Mặt  A3 BAC   1A   A khác,   nên    30 BAC  180  BAC   Suy BAC  180 30  BAC 105 20.2 (h.20.8) Vẽ tia phân giác góc B, góc C, chúng cắt điểm O tam giác ABC Đó điểm cố định Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM BD, CM CE BOD BOM  c.g.c   OD OM (1) COE COM  c.g.c   OE OM (2) Từ (1) (2) suy OD OE Điểm O cách hai đầu đoạn thẳng DE nên O nằm đường trung trực DE Nói cách khác, đường trung trực DE ln qua điểm cố định điểm O 20.3 (h.20.9) Tam giác ABC vuông A, tam giác OBC vng O có AM, OM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MA MO  BC Điểm M cách hai đầu đoạn thẳng OA cố định nên M nằm đường trung trực OA Do M nằm đường thẳng cố định 20.4 (h.20.10) Vì AB, AC đường trung trực MD, ME nên AD  AM AE  AM AMD AME cân A, suy A1  A  2, A  A    ; MAE   Do MAD 2 A 2 A File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN    Ta có DAE MAD  MAE    2 BAC  2 A2  A 2.90 180 Suy ba điểm D, A, E thẳng hàng DE  AD  AE 2 AM DE ngắn  AM ngắn  AM  BC Vậy M hình chiếu A BC DE ngắn hay AM đường cao xuất phát từ đỉnh A ABC DE ngắn 20.5 (h.20.11) a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có 1 OA  MN ; OH  MN 2 Vậy OA OH Điểm O cách hai đầu đoạn thẳng AH nên O di động đường trung trực xy AH Vì AH cố định nên xy cố định b) Ta có MN OM  ON OA  OH  AH (bất đẳng thức tam giác mở rộng) Dấu " " xảy  O nằm A H OA OH  O trung điểm AH MO đường trung tuyến ứng với AH AMH MO  AH  HM  AB; HN  AC Vậy MN có độ dài nhỏ AH M N hình chiếu H AB, AC (hình 20.12) 20.6 (h.20.13) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Trên tia Oy lấy điểm A cho OA a Vì OM  ON a nên OM NA Vẽ đường phân giác Ot góc xOy vẽ đường trung trực OA chúng cắt K Ta phải chứng minh K điểm cố định đường trung trực MN qua K Ta có OA tia Oy mà OA a không đổi nên A điểm cố định, đường trung trực OA cố định Tia Ot tia phân giác góc xOy nên Ot cố định Điểm K giao điểm hai đường thẳng cố định nên K cố định  Mặt khác, Điểm K nằm đường trung trực OA nên KO KA, KOA cân  A1 O  O  nên A1 O  O  A  KO KA Do KMO KNA KMO KNA có: OM NA; O  KM KN Vậy K nằm đường trung trực MN, nói cách khác, đường trung trực MN qua điểm cố định điểm K 20.7 (h.20.14)  Tìm cách giải Giả sử xác định điểm M  AB, điểm N  BC cho BM MN NC  N  Ta có MBN cân M nên B  C  MNC cân N nên M  góc nên N  C  M  2C  Xét MNC có N 1 1  1 N  1 B  Suy C 1 2 Do xác định điểm M điểm N  Cách xác định điểm M, điểm N 1  - Ở góc C, vẽ tia Cx cho BCx  B Tia Cx cắt cạnh AB M - Vẽ đường trung trực MC cắt cạnh BC N Khi ta có BM MN NC • Chứng minh Điểm N nằm đường trung trực MC nên NM NC (1)  2C  2 B  B   C  Do N MNC cân N  M 1 Suy D MBN tam giác cân  MB=MN (2) Từ (1) (2), suy MB MN NC 20.8 (h.20.15) Vẽ đường trung trực AD BC, chúng cắt O Điểm O nằm đường trung trực AD nên OA OD File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Điểm O nằm đường trung trực BC nên OB OC Ta có OBA OCD (c.c.c)   Suy OBA OCD Do OBM OCN (c.g.c)  OM ON Điểm O cách hai đầu đoạn thẳng MN nên O nằm đường trung trực MN Vậy ba đường trung trực AD, BC MN qua điểm O 20.9 (h.20.16) Xét ABC vuông A, DBC vuông D có AN DN đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AN DN  BC Suy NAD cân N, đường trung tuyến NM đường cao Ba đường thẳng AE, DF, MN ba đường cao D NAD nên chúng qua điểm 20.10 (h.20.17) Gọi E giao điểm BH AK DBH vuông cân D   nên DBH 45 DKA vuông cân D nên DAK 45   Xét EBK có DBE  BKE 45  45 90  suy BEK 90 , BE  AK Xét ABK có AD BE hai đường cao cắt H Suy HK đường cao thứ ba, KH  AB 20.11 (h.20.18) Ta có AHD  ACD 180 (giả thiết) (1)  AHD  BHD 180 (kề bù) (2)  Từ (1) (2), suy ACD BHD  Xét ABC vng A có ABC  ACB 90   Do ABC  BHD 90 Suy BDH 90 Vậy HD  BC File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Xét OBC có OD BA hai đường cao cắt H, suy CH đường cao thứ ba Do CH  OB 20.12 (h.20.19) Hai góc BAC BHC hai góc có cạnh tương ứng vng góc, góc nhọn, góc tù nên chúng bù nhau: A  BHC   180  BHC 180  60 120 Điểm M nằm đường trung trực HB nên MH MB   Do MHB cân M  MHB MBH 30  Chứng minh tương tự ta CHN 30    Vậy MHB  BHC  CHN 30  120  30 180  Suy MHN 180 , ba điểm M, H, N thẳng hàng 20.13 (h.20.20) Vì ABC nhọn nên O H nằm tam giác Điểm O cách ba đỉnh ABC nên OA OB OC , AOB, AOC cân O  2 A  1; O  2 A  Suy O         Do O1  O 2 A1  A2 hay BOC 2 BAC Điểm H trực tâm ABC nên BH  AC , CH  AB Hai góc BAC BHC hai góc có cạnh tương ứng vng góc, góc nhọn, góc tù nên       BHC  BAC 180  BHC 180  BAC , BHC 360  BAC       Vậy BOC  2BHC 2BAC  360  2BAC 360 20.14 (h.20.21)   1; F  A  Ta có EF / / AD nên FEA A  nên FEA   Mặt khác, A1  A F Suy AEF cân A Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường phân giác góc đỉnh nên đường trung trực d EF qua đỉnh A Đó điểm cố định 20.15 (h.20.22)    Giả sử EFG tam giác đều, suy CEH 60 nên C1 30 , C 30 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN   Ta cịn có CGM EGF 60  180   30  60  90 Suy BM  AC Do CMG Xét ABC có đường trung tuyến BM đồng thời đường cao nên ABC cân  Mặt khác, ACB 30  30 60 nên ABC tam giác Do ba đường AH, BM, CD phải đồng quy, tức ba điểm E, F, G trùng nhau, trái giả thiết Vậy EFG tam giác File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000