Cđ19 tính chất tia phân giác của một góc tính chất ba đường phân giác của tam giác

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Chương Chun đề 19 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc (h.19.1) Đảo lại, điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (h.19.2) Trong tam giác, hai đường phân giác hai góc ngồi đường phân giác góc khơng kề qua điểm (h.19.3) B Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax / / BC Lấy điểm O tia Ax, điểm M AB điểm N AC cho AMO  ANO Chứng minh OMN tam giác cân Giải (h.19.4) * Tìm cách giải Ta có Ax / / BC nên dễ thấy Ax tia phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC Vì điểm O nằm tia phân giác nên ta vẽ OH  AB, OK  AC để vận dụng tính chất cách hai cạnh điểm O Từ dùng phương pháp tam giác để chứng minh OM ON * Trình bày lời giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  (cặp góc đồng vị); A2 C  (cặp góc so le trong) Ta có Ax / / BC nên A1 B  C  (hai góc đáy tam giác cân) nên A1  A2 Mặt khác, B Vẽ OH  AB, OK  AC ta OH OK (tính chất điểm nằm tia phân giác) Ta chứng minh HOM KON (g.c.g) Suy OM ON , OMN cân Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD  AB Gọi E điểm nằm A D cho tia BD tia phân giác góc CBE Vẽ EH  BC Tính số đo góc CHD Giải (h.19.5) * Tìm cách giải  Vẽ hình xác, ta dự đốn CHD 45 Do cần chứng minh HD đường phân giác góc CHE Muốn phải chứng minh EC đường phân giác đỉnh E tam giác EBH.  * Trình bày lời giải   ABC (cùng phụ với góc C) Do E   ABD  B  (1) Ta có E  D  B  (2) (tính chất góc ngồi EBD) Lại có E 2   45  B  B  nên E  E  Mặt khác, ABD D Xét EBH có D giao điểm đường phân giác góc B với đường phân giác góc ngồi đỉnh E nên HD đường phân giác góc đỉnh H  Suy CHD 90 : 45 Vi dụ Cho tam giác ABC vuông A Vẽ AH  BC Tia phân giác góc HAC cắt BC K Các đường phân giác góc BAH góc BHA cắt O Gọi M trung điểm AK Chứng minh ba điểm B, O, M thẳng hàng Giải (h.19.6) * Tìm cách giải Xét tam giác ABH có O giao điểm hai đường phân giác nên O nằm đường phân giác góc B Để chứng minh ba điểm B, O, M thẳng hàng ta cần chứng minh M nằm đường phân giác góc B Muốn ta phải chứng minh tam giác BAK cân B * Trình bày lời giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN    Ta có: BAK 90 ) ;  KAC 90 (vì BAC   BKA  KAH 90 (vì AHK 90 )     Mặt khác, KAC nên BAK BKA , suy BAK cân B KAH Xét ABH có O giao điểm hai đường phân giác góc A góc H Suy BO đường phân giác góc B Xét BAK cân B có BO đường phân giác nên đồng thời đường trung tuyến, BO qua trung điểm M AK Vậy ba điểm B, O, M thẳng hàng C Bài tập vận dụng • Tính góc đo, tính độ dài 19.1 Cho tam giác ABC Gọi K giao điểm đường phân giác góc B với đường phân giác góc ngồi đỉnh C Cho biết AKC 65 , tính số đo góc ABC  19.2 Cho tam giác ABC Ba đường phân giác AD, BE, CF cắt O Cho biết BOC 150 , tính số đo góc EDF 19.3 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B, góc C cắt Tại O Cho biết OA  8cm Tính khoảng cách từ O đến ba cạnh tam giác 19.4 Cho tam giác ABC, AB 3cm, AC 5cm, BC 6cm Gọi O giao điểm đường phân giác góc B, góc C Vẽ OH  BC Tính độ dài HB HC • Chứng minh tia phân giác 19.5 Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ tam giác OBC vuông O cho O A thuộc hai nửa mặt phẳng đổi bờ BC Chứng minh tia OA tia phân giác góc BOC 19.6 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC Lấy điểm N nằm M C Vẽ BH  AN Chứng minh điểm N di động tia phân giác góc BHN ln qua điểm cố định File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 19.7 Cho tam giác ABC Trên tia đổi tia BC lấy điểm M, tia đổi tia CB lấy điểm N cho BM BA CN CA Vẽ BH  AM , CK  AN Hai đường thẳng BH CK cắt O Chứng minh tia AO tia phân giác góc BAC 19.8 Cho tam giác ABC, A 120 Các đường phân giác góc B, góc C cắt O Vẽ tia Bx cho BA tia phân giác góc OBx Vẽ tia Cy cho CA tia phân giác góc OCy Hai tia Bx CA cắt E; hai tia Cy BA cắt D Chứng minh rằng: a) Tam giác ODE tam giác đều; b) Tia OA tia phân giác góc DOE 19.9 Cho tam giác ABC Nếu cách vẽ đoạn thẳng MN / /BC  M  AB, N  AC  cho BM  CN BC  40 Vẽ điểm D, điểm M cạnh BC cho AD  AC 19.10 Cho tam giác ABC, A 105 , B AD đường phân giác góc BAM Chứng minh AB  AM BC • Chứng minh thẳng hàng, đồng quy 19.11 Cho tam giác ABC Gọi D, E, F điểm nằm cạnh BC, CA AB cho BF BD CE CD Đường thẳng qua B vng góc với DF cắt đường thẳng qua C vng góc với DE I Đường thẳng qua B song song với DF cắt đường thẳng qua C song song với DE K Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng 19.12 Cho tam giác ABC vuông A, tam giác DBC vng D A D thuộc nửa mặt phẳng bờ BC Vẽ tia Ax cho AC tia phân giác góc DAx Vẽ tia Dy cho DB tia phân giác góc ADy Hai tia Ax Dy cắt K Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng 19.13 Hãy cách vẽ đường thẳng chứa tia phân giác góc có đỉnh nằm ngồi tờ giấy 19.14 Cho tam giác ABC cân A Qua A vẽ đường thẳng xy / / BC Các đường phân giác góc B, góc C cắt O cắt xy D E Chứng minh đường thẳng BE, CD AO qua điểm Hướng dẫn giải 19.1 (h.19.7) Xét ABC có đường phân giác góc B đường phân giác ngồi đỉnh C cắt K Suy AK đường phân giác đỉnh A   ; Ta đặt ABC x (độ) CAx x  C ACy  x  A    xA   x  180 Do CAx  ACy x  C File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN   Suy CAx  ACy 90  x 2   CAx  ACy x x  Xét AKC có AKC 180  180   90   90  2  x Vì AKC 65 nên 90  65  x 50 19.2 (h.19.8)  C  B  Xét BOC có BOC 180  180    180  BAC BAC 90  2  BAC  Mà BOC 150 150 nên 90    BAC 120 Vẽ tia Ax, Ay tia đối tia AB, AC  A  A  60 Dễ thấy A1  A Xét ABD có AC đường phân giác đỉnh A; BO đường phân giác không kề Hai đường phân giác cắt E, suy DE đường phân giác góc ngồi đỉnh D ABD Chứng minh tương tự ta DF đường phân giác góc ngồi đỉnh D ACD  Suy DE  DF (hai đường phân giác hai góc kề bù), EDF 90 19.3 (h.19.9) Vì O giao điểm đường phân giác góc B, góc C nên AO đường phân giác góc A,   OAB OAC 45 Vẽ OH  AC HAO vng cân H, suy AH OH Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:   AH  OH OA2  2OH  8  OH 4  OH 2 Vậy khoảng cách từ O tới cạnh tam giác 2cm 19.4 (h.19.10) Vẽ thêm OK  AB; OI  AC AOK AOI (cạnh huyền, góc nhọn)  AK  AI Chứng minh tương tự ta BK BH ; CI CH File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Suy BK  CI BH  CH BC 6cm Do AK  AI     2cm mà AK  AI nên AK  AI 1 cm BK 3  2cm  BH 2cm CH 6   4cm 19.5 (h.19.11) Vẽ AH  OB, AK  OC , ta ABH  ACK  (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) ABH ACK (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AH  AK Điểm A góc BOC cách hai cạnh góc nên A nằm tia phân giác góc Như tia OA tia phân giác góc BOC 19.6 (h.19.12) Vẽ MD  BH , ME  AN DBM EAM có:  E  90 ; D   BM  AM   BC  ;    )  A  (cùng phụ với N B Do DBM EAM (cạnh huyền, góc nhọn) Suy MD ME Điểm M cách hai cạnh góc BHN nên HM tia phân giác góc BHN Nói cách khác tia phân giác góc BHN ln qua điểm cố định điểm M 19.7 (h 19.13) ABH MBH (cạnh huyền, cạnh góc vng)  Suy ABH MBH  Chứng minh tương tự ta ACK NCK Xét ABC có BH CK hai đường phân giác đỉnh B đỉnh C cắt O nên AO đường phân giác góc BAC 19.8 (h.19.14) a) Xét ABC có hai đường phân giác góc B, góc C cắt O Suy tia AO đường phân giác thứ ba    Từ ta BAO CAO CAD File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 Vậy TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  BAE 60 BAE BAO  g.c.g   BE BO CAD CAO  g.c.g   CD CO Do BDE BDO (c.g.c)  DE DO (1) CED CEO (c.g.c)  DE OE (2) Từ (1) (2) suy OD OE DE nên ODE   b) Ta có BDE (hai góc tương ứng hai tam giác nhau) BDO   (hai góc tương ứng hai tam giác nhau) CED CEO Xét ODE có hai đường phân giác góc D, góc E cắt A, suy OA đường phân giác góc DOE 19.9 (h.19.15) • Tìm cách giải Giả sử vẽ MN / / BC cho BM  CN BC Lấy điểm D  BC cho BD BM , CD CN  M   D  mà M  D  (cặp góc so le trong) nên M BMD cân B  M  N  Chứng minh tương tự ta N Xét AMN có D giao điểm hai đường phân giác góc ngồi đỉnh M N, suy AD đường phân giác góc A • Cách vẽ MN - Vẽ đường phân giác AD ABC - Trên cạnh BA lấy điểm M cho BM BD; - Từ M vẽ MN / / BC  N  AC  Khi MN đoạn thẳng cần vẽ • Chứng minh  D  (so le trong) mà M  D  (hai góc đáy tam giác Theo cách vẽ ta có MN / / BC , M  M  cân) nên M Xét AMN có D giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác góc ngồi đỉnh M nên  N  ND đường phân giác ngồi đỉnh N,do N  D  , suy CND cân, dẫn tới CN CD  N  (so le trong) nên N Mặt khác, D Vậy BM  CN BD  CD BC 19.10 (h.19.16) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN  AM Xét ABM có AD  AC mà AD đường phân giác góc A nên AC đường phân giác ngồi đỉnh A Từ suy ANC AMC (c.g.c)   ANC  AMC   Ta có BAD 105  90 15 , BAM 30 Xét ABM có góc AMC góc ngồi nên AMC BAM   70 suy N  70 B      Xét BCN có BCN 180  B  N 180   40  70  70   70 , suy BCN cân B N Vậy BCN   Do BN BC , dẫn tới AB  AN BC hay AB  AM BC 19.11 (h.19.17) BDF CDE tam giác cân Mặt khác, BI  DF , CI  DE nên ta có BI CI đường phân giác góc B góc C Suy I nằm đường phân giác góc A (1) Ta có BK / / DF mà BI  DF nên BI  BK , BK đường phân giác đỉnh B ABC Chứng minh tương tự ta CK đường phân giác đỉnh C ABC Do K nằm đường phân giác góc A (2) Từ (1) (2), suy ba điểm A, I, K thẳng hàng 19.12 (h.19.18) Xét ADK có AC đường phân giác góc đỉnh A File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Mặt khác, AB  AC nên AB đường phân giác góc ngồi đỉnh A Xét ADK có B giao điểm đường phân giác góc đường phân giác góc ngồi khơng kề nên tia KB đường phân giác góc ngồi đỉnh K Gọi O giao điểm AC BD Xét ADK có O giao điểm hai đường phân giác nên KO đường phân giác góc K Suy KO  KB (tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù) (1) Chứng minh tương tự ta KO  KC (2) Từ (1) (2), suy ba điểm B, K, C thẳng hàng.  19.13 (H.19.19) Giả sử góc xOy có đỉnh O nằm ngồi tờ giấy, cịn lại phần hai cạnh nằm tờ giấy Ta vẽ đường thẳng chứa tia phân giác góc xOy sau: - Lấy A  Mx B  Ny; - Vẽ tia phân giác góc MAB NBA, chúng cắt I; - Vẽ tia phân giác góc BAx ABy, chúng cắt K; - Vẽ đường thẳng IK, đường thẳng chứa tia phân giác góc xOy Thật vậy, xét OAB có I giao điểm đường phân giác góc A, góc B cịn K giao điểm đường phân giác đỉnh A, đỉnh B Do I, K nằm đường phân giác góc xOy, tức đường thẳng IK chứa tia phân giác cúa góc xOy 19.14 (h.19.20) Điểm O giao điểm hai đường phân giác góc B góc C nên AO đường phân giác góc A Vẽ tia At tia đối tia AB  Vì xy / / BC nên A1  ABC (cặp góc đồng vị); A2  ACB  (cặp góc so le trong)   mà ABC  ACB nên A1  A Xét ABC có D giao điểm đường phân giác góc B đường phân giác góc ngồi đỉnh A nên CD đường phân giác góc ngồi đỉnh C Chứng minh tương tự ta BE đường phân giác góc ngồi đỉnh B Ba đường thẳng BE, CD, AO hai đường phân giác góc ngồi đường phân giác góc khơng kề nên chúng qua điểm File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000