Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ CHỦ ĐỀ 3: DÙNG TÍNH CHẤT CHỨNG MINH BÀI TỐN CHIA HẾT PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT TÍNH CHẤT CHUNG 1) a b bc a c 2) a a với a khác 3) 0b với b khác 4) Bất số chia hết cho TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a, b chia hết cho m a b chia hết cho m a b chia hết cho m - Tổng (Hiệu) số chia hết cho m số chia hết cho m số lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số khơng chia hết cho m tổng, hiệu chúng không chia hết cho m TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m thi bội a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m , b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n m m - Nếu a chia hết cho b thì: a b CÁC TÍNH CHẤT KHÁC: 1) 0a ( a 0) 2) a a ; a 1 (a 0) 3) a b; bc a c 4) a m ; b m pa qb m 5) a : (m.n) a m ; a n 6) a m ; a n ; (m, n) 1 a mn 7) a m ; b n ab mn 8) ab m ;(b, m) 1 a m TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 9) ab p (p số nguyên tố) a p b p CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ - Tích hai số tự nhiên liên tiếp số chẵn - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tổng hai số tự nhiên số lẻ có số tự nhiên số chẵn PHẦN II CÁC DẠNG BÀI 1, Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số 2, Dạng 2: Cho biểu thức chia hết cho m chứng minh biểu thức khác chia hết cho m 3, Dạng 3: Tìm n để biểu thức A(n) chia hết cho biểu thức B(n) 4, Dạng 4: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số phương 5, Dạng 5: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức 6, Dạng 6: Chứng minh chia hết từ đẳng thức cho trước Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số I Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m - Viết biểu thức A thành tổng(hiệu) số số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A thành tích thừa số có thừa số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết m thành tích thừa số nguyên tố biểu thức A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A m thành tích thừa số thừa số A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết A thành tổng hiệu số mà có tổng hiệu số dư chia hết cho m từ suy A chia hết cho m Cụ thể ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu A số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2; 3; 4; 8; 9; 11; để chứng minh TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu A có tổng hiệu số, ta cần phân tích A để đưa A hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p , ta xét trường hợp số dư chia A cho p + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngồi ta dùng cách tìm chữ số tận A để chứng minh A chia hết cho số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu Am An mà m n hai số nguyên tố Am.n II Bài toán Bài 1: Chứng minh 28 a A 10 872 13 b B 81 27 45 Lời giải a) Cách 1: 28 28 28 25 28 Ta có: 10 2 2 8 88 A8 28 Lại có 10 có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho 72 Cách 2: 1028 có ba chữ số tận 008 nên chia hết cho 1028 1028 9 A9 A72 9 b) 9 13 Ta có 81 ; 27 ; chia hết B chia hết cho Lại có 81 có tận 279 278.27 1.27 có tận 913 912.9 1.9 có tận nên B có tận nên B chia hết cho Mà (5;9) 1 B 5.9 B 45 20 20 Bài 2: Chứng minh : A 2 chia hết cho 17 Lời giải A 220 16 1 220.17 A17 2n n Bài 3: Chứng minh rằng: A7.5 12.6 chia hết cho 19 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ n A 7.25n 7.6n 19.6n 7 25n 6n 19.6n 7.6 Thêm bớt , ta được: Ta có: 25n 6n mod19 25n 6n 0 mod19 25n 6n 19.6n 19.6 n mod19 A0 (mod19) Vậy A19 n n n Ghi chú: Đối với số toán lớp ta sử dụng đến đẳng thức: a b a b với a n b n a b với ( n ; n lẻ) Thì ta giải cách dễ dàng, nhiên với học sinh lớp chưa thể sử dụng đẳng thức Vì vậy, ta sử dụng Đồng dư thức để có lời giải phù hợp với trình độ học sinh lớp 5555 2222 a) A 2222 5555 chia hết cho Bài 4: Chứng minh rằng: 1962 1964 1966 b) B 1961 1963 1965 chia hết cho Lời giải a) Ta có Mà A 55552222 42222 22225555 45555 45555 2222 5555 Tương tự: 2222 42222 5555 55552222 42222 7 2222 5555 45555 42222 45 45555 7 1111 42 1111 45 45555 42222 7 5555 2222 Vậy A 2222 5555 chia hết cho b) B 19611962 19631964 19651966 7 Sử dụng tính chất: a b n chia cho a có số dư b 1962 1964 1966 Ta có B (1960 1) (1960 3) (1965 2) B (7 m 1)1962 (7 n 3)1964 (7 p 2)1966 B 7q 31964 21966 B 7 q 9.27 654 2.23.655 B 7r B 7r 147 200 Bài : Chứng minh rằng: A 2 2 chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Lời giải Ta có: Tổng hai số hạng : Tổng A có 200 số hạng ta chia thành 100 nhóm chứa hai số hạng có tổng Nên: A 22 23 24 2199 2200 A 6 2 22 2198 2 A 6 22 2198 A 6 22 2198 Vậy A chia hết cho 20 Bài : Chứng minh rằng: A 2 chia hết cho Lời giải A 22 24 26 28 219 220 A 20 22 24 216 22 A 20 24 20 216 20 A 20 +216 A 5.4 24 +216 Vậy A chia hết cho Bài : Chứng minh rằng: a, (n 10)(n 15)2 b, n(n 1)( n 2)2;3 c, n n 14; 2;5 Lời giải a, Ta có: Nếu n số lẻ n 152 Nếu n số chẵn n 102 n 10 n 15 2 Như với n số tự nhiên : b, Ta có: hết cho n n 1 n tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ c, Ta có: n( n 1) số lẻ nên n(n 1) 14; có chữ số tận khác Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n thì: a A n(2n 1)(7n 1)6 b B n 13n6 Lời giải a) Ta có: n n 8n số lẻ nên n chẵn 7n chẵn, n(2n 1)(7n 1) 2 (1) Xét trường hợp : n 3k n(2n 1)(7n 1) 3 n 3k n(2n 1)(7n 1) 3 (do 2n 13) n 3k n(2n 1)(7 n 1) 3 ( 7n 13) n(2n 1)(7n 1)3 với số tự nhiên n (2) Từ (1) (2) n(2n 1)(7 n 1) 2.3 ( Do 2; hai số nguyên tố nhau) n(2n 1)(7n 1)6 b) B n3 13n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12n Vậy B n 13n6 6 6 Bài 9: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a 1, a Tổng ba số tự nhiên liên tiếp a a a a a a 3a 3 (Tính chất chia hết tổng) Nâng cao: Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không? Bài 10: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không ? Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a 1, a 2, a Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a a a a a a a a 4a 4a không chia Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết hết cho ⇒ Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Kết luận nâng cao: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 11: Chứng minh 495a 1035b chia hết cho 45 với a, b số tự nhiên Lời giải Vì 495 chia hết 1980.a chia hết cho với a Vì 1035 chia hết 1035.b chia hết cho với b Nên: 495a 1035b chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: Mà 9;5 1 ⇒ 1980a 1995b 495a 1035b chia hết cho với a, b chia hết cho 45 Bài 12: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n Tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n 2n 4n n 1 Vì n, n khơng tính chẵn lẻ nên n, n chia hết cho Mà chia hết 4n.( n 1) chia hết cho (4.2) 4n n 1 chia hết cho 2n 2n chia hết cho Bài 13: Chứng minh rằng: a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n 1, n Tích ba số tự nhiên liên tiếp là: n n 1 n Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; n n 1 n +) Nếu r 0 n chia hết cho chia hết cho +) Nếu r 1 n 3k (k số tự nhiên) n 3k 3k 3 n n 1 n chia hết cho chia hết cho +) Nếu r 2 n 3k (k số tự nhiên) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ n 3k 3k 3 n n 1 n Tóm lại: b) chia hết cho chia hết cho n n 1 n chia hết cho với n số tự nhiên Chứng minh tương tự ta có n n 1 n n 3 chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Dạng 2: Cho biểu thức chia hết cho m chứng minh biểu thức khác chia hết cho m I Phương pháp giải - Vận dụng tính chất: AC ; B C pA qB C từ tìm giá trị p q thích hợp II Bài tốn Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên x, y thì: a x y 17 x y 17 b x y 13 x y 13 c x y 19 13x 14 y 19 d 20 x y 31 x y 31 Lời giải a) Gợi ý: Tìm p, q cho 2 p 9q 17 p (2 x y) q(9 x y ) 17x, y (2 p 9q) x (3 p 5q) y 17x, y 3 p 5q 17 Chọn p 4; q 1 4(2 x y ) (9 x y ) 17 x, y Trình bày bài: Cách 1: * Chứng minh: Từ x y 17 x y 17 x y 17 4(2 x y) 17 Mà 17 x 17 y 17 nên 17 x 17 y 4(2 x y )17 x y 17 * Chứng minh: Từ x y 17 x y 17 x y 17 17 x 17 y (9 x y ) 17 x 12 y 17 4(2 x y ) 17 x y 17 (Vì 17 nguyên tố nhau) Cách 2: *Chứng minh: x y 17 x y 17 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ Vì 17 x 17 y 17 (8 x 12 y ) (9 x y )17 4(2 x y ) (9 x y ) 17 (1) Mà (2 x y ) 17 4(2 x y ) 17 (2) Từ (1), (2) suy x y 17 * Chứng minh: x y 17 x y 17 Vì 17 x 17 y 17 (8 x 12 y ) (9 x y )17 4(2 x y ) (9 x y ) 17 Mà (9 x y ) 17 4(2 x y ) 17 x y 17 (Vì 17 nguyên tố nhau) b) c) d) 7 p q 13 9 p 5q 13 chọn p 1; q 6 p 6 q 13 p 3 q 1 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu x y 9 x y 9 Lời giải x y 9 x y 9 14 x y 9 x x y 9 x y 9 Ta có : Bài 3: Chứng minh rằng: a, Nếu ab cd 11 abcd 11 b, Nếu abc deg 7 abcdeg7 Lời giải a, Ta có: ab cd a.10 b 10c d (a c )10 b d (a c )(b d ) 11 hay a c – b d 11 a c – b d 11 Khi abcd 11 có b, Ta có: abcdeg 1000abc deg 1001abc (abc deg ) mà abc deg 7 nên abcdeg 7 Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu ab 2.cd abcd 67 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ b, Nếu abc27 bca27 Lời giải a, Ta có: abcd 100ab cd 200cd cd 201cd 67 abc 27 abc027 1000a bc027 b, Ta có: 999a a bc 027 27.37a bca 27 Mà 27.37 a27 nên bca27 Bài 5: Chứng minh rằng: a, Nếu (ab cd eg )11 abcdeg11 b, Nếu abc deg 37 abcdeg37 c, Nếu abcd 99 ab cd 99 Lời giải a, Ta có : abcdeg 10000.ab 100cd eg 9999ab 99cd (ab cd eg ) 11 b, Ta có : abcdeg 1000abc deg 999abc (abc deg ) 37 c, Ta có : abcd 100.ab cd 99.ab ab cd 99 ab cd 9 Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu abcd 101 ab cd 101 Lời giải abcd 101 100.ab cd 101.ab ab cd 101.ab ab cd 101 Ta có : ab cd 101 Bài 7: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b 6c 17 a 11b 3c 17 (a, b, c Z ) b, 3a 2b17 10a b17 (a, b Z ) Lời giải a, Ta có: a 11b 3c 17 17 a 34b 51c 17 nên 18a 45b 54c 17 b, 2a 5b 6c 17 Ta có: 3a 2b 17 17 a 34b17 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 12: Cho a, b số nguyên CMR a 2b7 a 9b7 điều ngược lại có khơng? Lời giải Ta có: a – 2b7 a 2b 7b7 a 9b 7 Điều ngược lại Bài 13: Cho a, b số nguyên 5a 8b 3 Chứng minh rằng: a, a 2b3 b, 10a b 3 c, a 16b 3 Lời giải a, Ta có: 5a 8b3 5a 6a 8b 6b 3 a 2b3 5a 8b 3 5a 8b 3 10a 16b3 10a 16b 15b3 b, Ta có: a 16b – 72b3 a 16b 3 c, Ta có: 5a 8b3 Bài 14: Cho biết a b 6 CMR biểu thức sau chia hết cho a, a 5b b, a 17b c, a 13b Lời giải a, Ta có: a b 6 a b 6b 6 a 5b 6 b, Ta có: a b 6 a b 18b6 a 17b 6 c, Ta có: a b 6 a b 12b6 a 13b6 Dạng 3: Tìm n để biểu thức A(n) chia hết cho biểu thức B(n) 3n 14 chia hết cho n Bài 1: Tìm số tự nhiên n để Lời giải Ta có Mà 5n 14 5 n n n Do 5n 14 n 4 n ⇔ (n 2) ước n 1; 2; 4 n 0; 2 Vậy với n 0; 2 5n 14 n TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ n + 15 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n + số tự nhiên Lời giải n +15 n 15 n 3 Để n + số tự nhiên ⇒ n 15 n 3 n 3 12 n 3 (n 3) (12) {1; 2;3; 4;6;12} Ư n {0;1;3;9} n + 15 Vậy với n {0;1;3;9} n + số tự nhiên Bài 3: Tìm số tự nhiên n cho 4n 52n Lời giải Ta có 4n 2 2n 1 Để 4n 52n 32n Với 2n 1 n 1 Với 2n 3 n 2 Vậy n 1; 2 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n 3n 6n Lời giải n 3n 6n n n 3 6n ⇔ 6n n Ư 1; 2;3;6 n 0; n 3 Bài 5: Tìm a để a bội a –1 Lời giải a 1 a 1 1 a Để a bội a – a số nguyên a a –1 Ư 1;1; 2 a 0; 2;3 (thỏa mãn a ) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 6: Tìm số nguyên n để: n 2n chia hết cho n Lời giải Ta có n 2n n n – n 2n n – 5 n – n – Ư 5; 1;1;5 n 3; 1; 3; 7 n 1 Bài 7: Tím tất số nguyên n để phân số n có giá trị số nguyên Lời giải n 1 n số nguyên n 1 n Ta có Vậy n 1 n 3 n 1 n 3 n n Ư(3) 3; 1;1 ;3 n 1;1;3;5 Bài 8: Cho A n n Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải A n n4 = n+4−5 =1− n+4 n+4 5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên 5n hay n Ư Lập luận tìm n 9; 5; 3;1 4n Bài 9: Tìm số nguyên n để phân số 2n có giá trị số nguyên Lời giải 4n 4n n(2n 1) 7 n 2n 2n Ta có: 2n = 2n 4n Vì n nguyên nên để 2n nguyên 2n nguyên TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2n –1 Ư –7; –1;1;7 2n –6;0; 2;8 n – 3;0;1; 4 Vậy với n –3;0;1; 4 4n 2n -1 có giá trị số nguyên Bài 10: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n 5n 17 3n n2 n2 n2 Lời giải B 2n 5n 17 3n 2n 5n 17 3n 4n 19 n2 n2 n2 n2 n2 B 4n 19 4( n 2) 11 11 4 n2 n2 n2 11 Để B số tự nhiên n số tự nhiên 11 n ⇒ n Ư 11 1; 11 Do n 1 nên n 11 n 9 Vậy n 9 B số tự nhiên Dạng 3: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số phương I Phương pháp giải - Kết hợp tính chất chia hết với tính chất số phương để giải tập - Tính chất số phương : Số phương có tận chữ số ; ; ; ; ; Khi phân tích TSNT số phương chứa TSNT với số mũ chẵn Một số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p Một số số phương có số ước lẻ II Bài toán 2 Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n n( n 1)(n 4) 5 Lời giải Nhận xét: Số phương có tận chữ số ; ; ; ; ; nên số phương chia cho có số dư là: 0, 1, Ta xét trường hợp sau : 2 2 Nếu n chia dư hay n 5 n5 (vì số nguyên tố) n( n 1)(n 4)5 n TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2 2 Nếu n chia dư n 45 n( n 1)(n 4)5 n 2 2 Nếu n chia dư n 15 n(n 1)(n 4)5 n 2 Vậy với số tự nhiên n n(n 1)(n 4)5 Bài 2: a) Chứng minh số phương chia cho có số dư b) Chứng minh số phương chia cho có số dư Lời giải Gọi A n (n ) a) Xét: n 3k (k ) A 9k nên A3 n 3k 1 (k ) A 9k 6k 3(3k 2k ) 1 nên A chia cho dư n 3k (k ) A 9k 12k 9k 12k 3(3k 4k 1) nên A chia cho dư Vậy: Một số phương chia cho có số dư b) Xét: n 2k (k ) A 4k nên A4 n 2k 1 (k ) A 4k 4k 4(k k ) nên A chia cho dư Vậy: Một số phương chia cho có số dư Nhận xét: Một số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho có số dư Bài 3: Cho a , b hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ( a 1)(b 1)192 Lời giải Ta có 192 3.8.8; (3;8) 1 Nhận xét: Nếu n lẻ n 18 Thật vậy: n ( n 1)( n 1) mà ( n 1) (n 1) hai số chẵn liên tiếp nên ( n 1)( n 1)8 Từ a 18 ; b 18 ( a 1)(b 1)8.8 64 (1) a , b số phương nên a , b chia dư Vì a, b số phương lẻ liên tiếp nên ln có hai số không chia hết cho 3 a 3 b a 13 b 13 (a 1)(b 1)3 (2) Mà (3, 64) 1 ( a 1)(b 1) 4.3 192 đpcm Bài 4: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 n số phương TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Lời giải 2 Giả sử 2010 n số phương 2010 n m (m ) Từ suy m - n 2010 m - mn mn - n 2010 m(m - n) n(m - n) 2010 (m - n)(m n) 2010 Như số m n m n phải có số chẵn (1) Mặt khác ( m n) (m - n) có tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ( m n) (m - n) số chẵn (m n)2 (m - n)2 (m n)(m - n) 4 2010 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2010 n số phương Dạng 4: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức I Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích biểu thức nhỏ có biểu thức chia hết cho biểu thức chia II Bài toán 99 99 Bài 1: Cho A 4 Chứng minh A chia hết cho Lời giải Ta có A 4 22 23 299 A 2(4 22 23 299 ) A 8 23 24 2100 Xét A A (8 23 24 2100 ) (4 2 23 299 ) A (8 2100 ) (4 2 ) 2100 100 99 99 Vì 2 nên A2 99 100 Bài 2: Cho A 1 Chứng minh A chia hết cho Lời giải 99 Ta có A 1 A 2(1 22 23 299 ) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ A 2 22 23 24 2100 Xét A A (2 22 23 24 2100 ) (1 2 23 299 ) 100 suy A 2 100 Vậy A chia hết cho S 1.2 2.3 3.4 n n 1 ( n *) Bài 3: Tính tổng Từ chứng minh S ln chia hết cho hai ba số n ;(n 1) ; (n 2) Lời giải Ta có S 1.2 2.3 3.4 n n 1 (n *) 3S 1.2.3 2.3.3 3.4.3 n n 1 3S 1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) n( n 1).[(n 2) (n 1)] 3S 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 n( n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) 3S n(n 1)(n 2) S n(n 1)(n 2) Vì n ; (n 1) ; (n 2) ba số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, hai số cịn lại chia hết cho n(n 1)(n 2)3 S số tự nhiên chia hết cho hai ba số n ; (n 1) ; (n 2) Bài 4: Tính tổng D 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 (n 2) ( n *) Từ chứng minh S ln chia hết cho ba bốn số n ;(n 1) ;(n 2) ; (n 3) Lời giải Ta có : Xét D 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 (n 2) ( n *) D 1.2.3.4 2.3.4.4 3.4.5.4 n n 1 (n 2).4 D 1.2.3.4 2.3.4.(5 1) 3.4.5.(6 2) n n 1 (n 2).[( n 3) ( n 1)] D 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3 4.5 n n 1 (n 2)(n 3) (n 1)n n 1 (n 2) D n n 1 (n 2)(n 3) D n n 1 (n 2)(n 3) Vì n ;(n 1) ;(n 2) ; (n 3) bốn số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, ba số lại chia hết cho n n 1 (n 2)( n 3)4 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ D số tự nhiên chia hết cho ba bốn số n ;( n 1) ;(n 2) ; (n 3) Bài 5: Cho biểu thức E 1.4 2.5 3.6 n n 3 ( n *) a) Thu gọn biểu thức E b) Chứng minh n(n 1)( n 5) chia hết cho c) Chứng minh E chia hết cho hai ba số n ; (n 1) ; (n 5) Lời giải a) Ta có : E 1.4 2.5 3.6 n n 3 (n *) (1) E 1.(2 2) 2.(3 2) 3.(4 2) n n E (1.2 2.1) (2.3 2.2) (3.4 2.3) [n(n 1) 2n ] E [1.2 2.3 3.4 n(n 1)] (2.1 2.2 2.3 2n ) E n(n 1)( n 2) (2n 2).n E n(n 1)(n 2) 3( n 1).n 3 E n(n 1)[( n 2) 3] E n(n 1)(n 5) Vậy E n( n 1)(n 5) ( n *) b) Từ (1) suy E số tự nhiên n(n 1)(n 5) số tự nhiên n( n 1)( n 5) 3 (ĐPCM) c) Ta có n(n 1)( n 5) n( n 1)( n 3) (2) Lại có n ;(n 1) ; (n 2) ba số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, (n 2) chia hết cho (n 3) chia hết cho (3) Từ (2); (3) suy số n ;(n 1) ; (n 5) ln có số chia hết cho 3, hai số lại chia hết cho Suy E số tự nhiên chia hết cho hai ba số n ; (n 1) ; (n 5) (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh với số nguyên dương n thì: n a S (n 1)(n 2) 2n 2 (tích 2n số nguyên dương đầu) n b P (n 1)( n 2) 3n3 (tích 3n số nguyên dương đầu) Lời giải TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 1.2 n.S 1.2.3 n( n 1)( n 2) (2n) a) Xét biểu thức: 2.4.6 (2n).1.3.5 (2n 1) 2n.(1.2.3 n).1.3.5 (2n 1) S 2n.1.3.5 (2n 1)2n n Vậy S 2 (ĐPCM) b) Xét biểu 1.2.3 n.P 1.2.3 n(n 1)(n 2) (3n) thức: [3.6 (3n)].[1.2.4.5 (3n 1)] 3n.(1.2.3 n).[1.2.4.5 (3n 1)] P 3n [1.2.4.5 (3n 1)]3n n Vậy P3 (ĐPCM) 3 3 Bài 7: Chứng minh rằng: A 1 100 chia hết cho B 1 100 Lời giải Ta có: B 100 99 50 51 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A 13 23 33 1003 13 1003 23 993 503 513 n n * Với n lẻ ta có: a b a b (a, b ) Suy tổng ngoặc A chia hết cho 101 nên A101 (1) Lại có: A 13 23 33 493 513 523 533 993 503 1003 A 13 993 23 983 493 513 503 1003 Tương tự ta có tổng ngoặc A chia hết cho 50 nên A50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101.50 nên A chi hết cho B S 15 25 35 n5 n Bài 8: Cho số tự nhiên n 1 , Chứng minh rằng: Lời giải Đặt: A 2 n n n 1 n n * Mặt khác, với n lẻ ta có: a b a b (a, b ) 2S 15 n5 25 n 1 n n Nên 2S 15 n 1 Cũng có 5 n 2 n 1 1 2n n TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20
Ngày đăng: 26/10/2023, 08:49
Xem thêm:
