Đs chuyên đề 8 hàm số bậc nhất và đồ thị

Chuyên đề HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Hàm số bậc hàm số cho công thức dạng y ax  b , a, b số với a 0 Hàm số bậc có tập xác định  Tính chất Tính đồng biến, nghịch biến: Với a  , hàm số đồng biến  Với a  , hàm số nghịch biến  Đồ thị - Đồ thị hàm số y ax  b  a 0  đường thẳng gọi đường thẳng y ax  b Nó có hệ số góc a có đặc điểm: - Không song song không trùng với trục tọa độ;  a  - Cắt trục hoành điểm A   ;0  cắt trục tung điểm B  0; b   b  Quan hệ đường thẳng Cho hai đường thẳng  d  : y ax  b;  d  : y ax  b , ta có: +  d  song song với  d   a a b b; +  d  trùng với  d   a a b b; +  d  vng góc với  d   a.a  1; +  d  cắt  d   a a B Một số ví dụ Ví dụ Cho hàm số y  2m  1 x  (m tham số) a) Xác định giá trị m để hàm số hàm số bậc b) Tìm giá trị m để hàm số hàm số đồng biến Giải a) Hàm số y  2m  1 x  hàm số bậc  2m  0  m  1 b) Hàm số y  2m  1 x  hàm số đồng biến  2m    m  1 Nhận xét: Để nhận dạng hàm số bậc cần lưu ý rằng: Cơng thức có dạng y ax  b  a 0  Chẳng hạn, hàm số y 2 x   x có hệ số 0 hàm bậc khơng có dạng y ax  b Ví dụ 2: Cho hai hàm số y  3m  1 x  y  m  1 x  (với m tham số) Tìm giá trị m để hai hàm số hàm bậc đồ thị chúng hai đường thẳng cắt Giải Các hàm số cho hàm số bậc khi:  3m  1 0    m  1 0  m   m  Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt khi:  3m  1   m  1  2m 2  m 1 Vậy giá trị m thoả mãn đồng thời điều kiện m  ; m  m 1 giá trị cần tìm Nhận xét : + Với m  , hai hàm số cho trở thành y 2 y  x  Khi y 2 khơng phải hàm số 3 bậc đồ thị đường thẳng song song với trục hồnh, cịn hàm số bậc y  x  có đồ thị đường thẳng cắt trục hồnh Từ ta có đồ thị hai hàm số y 2 y  x  cắt + Tương tự với m  , hai hàm số cho trở thành : y  4x  y  Lập luận tương tự ta có đồ thị hai hàm số cắt + Các đường thẳng y 2 y  học chương III Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng y   3m  x   d  y  n  3 x  n  d  a) Tìm m n để  d  trùng  d  b) Tìm m n để  d  song song  d  Giải 1  3m n  m 0  a)  d  trùng  d    n 4  n 4 1  3m n  n 4  3m  b)  d  song song  d    n 4  n 4 Nhận xét : Đối với toán trên, cần xác định rõ yêu cầu đề tìm điều kiện để đường trùng song song khơng u cầu chúng phải hàm bậc Vì vậy, đặt điều kiện  3m 0 n  0 lời giải khơng Ví dụ Cho ba hàm số : y  x  có đồ thị d1 y  x  có đồ thị d y  x  có đồ thị d3 a) Vẽ đồ thị ba hàm số cho hệ trục toạ độ b) Cho biết d1 cắt d A, d1 cắt d3 B, d cắt d3 C Tính diện tích tam giác ABC Giải a) Xem hình b) Từ câu a, ta có: A   2;0  , B  0;  , C  4;   d có phương trình y  x  Cho x 0 y  d cắt Oy M  0;   Gọi H hình chiếu điểm C lên Oy H  0;   Ta có : 1 1 S ABC S ABM  S MBC  BM OA  BM CH  4.2  4.4 12 2 2 Nhận xét : Với phần b) giải theo số cách khác Chẳng hạn: Cách 2: Ta kiểm tra thấy d1  d  AB  AC Lại có: AB  AO  BO 2 2; AC  AK  KC 6 (K hình chiếu vng góc C lên trục hồnh) Khi S ABC  AB.AC 12 Cách 3: Gọi E giao BC trục hồnh Tìm E  1;0  Khi đó: 1 S ABC S ABE  S AEC  BO AE  CK AE=12 2 Ví dụ a) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A   4;1 song song với đường thẳng y  x  b) Xác định hàm số y ax  b biết đồ thị qua điểm B   1;   cắt trục Oy điểm có tung độ  Giải a) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y  x  có dạng : y  x  b  b 5  d Vì  d  qua điểm A   4;1 nên      b 1  b  (thoã mãn điều kiện b 5 ) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y  x  b) Vì đồ thị hàm số y ax  b qua điểm B   1;   nên ta có :  a  b  (1) Vì đồ thị hàm số y ax  b cắt trục Oy điểm có tung độ  nên ta có : b  (2) Từ (1) (2) suy : a  1; b   y  x  Nhận xét : Ngoài cách giải trên, có thể viết phương trình đường thẳng cách tìm yếu tố, là: Một điểm M  x0 ; y0  thuộc đường thẳng hệ số góc k Khi phương trình đường thẳng là: y k  x  x0   y0 Áp dụng vào phần a, đường thẳng qua điểm C   4;1 song song với đường thẳng y  x  nên từ suy đường thẳng cần tìm có hệ số góc k  đồng thời qua C   4;1 Như ta có: Phương trình cần tìm là: y   x     y  x  Với phần c, ta giải cách tìm điểm đường thẳng Sau làm tương tự phần a Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  d  : y  k  1 x  n  k 1 hai điểm A  0;  B   1;0  (với k,n tham số) Tìm giá trị k n để : a) Đường thẳng d qua hai điểm A B b) Đường thẳng d song song với đường thẳng  : y  x   k Cho n 2 Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox điểm C cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Giải a) Đường thẳng  d  qua điểm A  0;   n 2 Đường thẳng  d  qua điểm B   1;0    k    k 3 Vậy với k 3; n 2  d  qua hai điểm A b) Đường thẳng  d  song song với đường thẳng    : y x   k  k  1 k 2     k n n 0 Vậy với k 2 n 0 đường thẳng  d  song song với đường thẳng    Với n 2 , đường thẳng  d  : y  k  1 x  cắt Ox  k-1 0  k 1 (thỏa mãn) B   ;0  , Giao điểm  d  với Ox C   1 k  1 Các OAB OAC vuông O nên SOAC  OA.OC ; SOAB  OA.OB 2 Ta có SOAC 2SOAB  OC 2OB    k 2  k 0  xC 2 xB  2     (thoả mãn) 1 k  k 2     k Vậy với k 0 k 2 SOAC 2SOAB Nhận xét : Với phần 1b, thường hay bỏ qua bước kiểm tra số tự hai đường thẳng khác Nhắc lại, hai đường thẳng y ax  b y ax  b song song với a a b b Với phần 2, q lệ thuộc vào hình vẽ học sinh thiếu trường hợp Ví dụ Cho đường thẳng d đồ thị hàm số bậc nhất: y mx  m  (m tham số) a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định m thay đổi b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn Giải a) Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  cố định y0 mx0  m  với m  m  x0  1    y0  0 với m  x0  0   1  y0 0  x0 1   y0 1 Vậy đường thăng d qua điểm cố định M  1;1 b) Điều kiện để y mx  m  hàm số bậc m 0 Gọi A giao điểm d trục Oy: Với x 0  y  m   A  0;  m  1  OA   m   m  Gọi B giao điểm d trục Ox: Với y 0  x  m m  m   B ;0   OB  m m  m  Do điểm O cách đường thẳng d đoạn nên đường thẳng d không qua O   m  hay m 1 Kẻ OH  d Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: 1 1 m2 m2 1 m  2m        OH  OH OA2 OB  m  1  m  1 m  2m  m 1 Mà theo giả thiết có OH  m  2m   2  m  2m  0  m  (thoả mãn) m 1 c) Vì OH OM (OM không đổi O M cố định) Dấu " " xảy M H  d  OM Gọi y ax  b đường thẳng qua hai điểm O, M suy b a  b Từ ta có a 1; b 0 Như ta y  x đường thẳng qua hai điểm O M, đường thẳng có hệ số góc k1 1 Mà d y mx  m  nên hệ số góc đường thẳng d k2 m Do d vng góc với OM suy k1.k2   1.m   m  (thoả mãn) Nhận xét : Với phần a, tóm tắt y tưởng giải sau: Bài tốn: Tìm điểm cố định đường thẳng có phương trình: y ax  b (trong a,b biểu thức phụ thuộc vào tham số m) Cách giải: Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm M  x0 ; y0   y0 ax0  b (1) với m Bước 2: Biến đổi (1) phương trình ẩn m: P.m  Q 0 với m (với P, Q biểu thức không phụ thuộc vào m) Bước 3: Sử dụng tính chất:  P 0 Phương trình ẩn m là: P.m  Q 0 với m   Q 0 Từ tìm  x; y  toạ độ điểm cố định Với phần c, ngồi cách giải trình bày ta giải cách sử dụng bất đẳng thức Cụ thể sau: 2 m  1  m  2m   m  1   m  2m  1 m  2m  OH   2  2  2 với m m2 1 m 1 m2 1 m 1 Đẳng thức xảy m  hay m  Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số y 3x  m (1) Cho điểm A có hồnh độ thuộc đồ thị hàm số (1) Xác định m để điểm A nằm góc vng thứ IV Giải Do điểm A thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ nên với x 1  y 3  m  A  1; m  3 Điểm A nằm góc vuông thứ IV hệ trục toạ độ Oxy 1    m   1   m3  m   Vậy m   thoã mãn yêu cầu đề Nhận xét: Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV x   Điểm A  x; y  nằm góc phần tư thứ I  y  x   Điểm A  x; y  nằm góc phần tư thứ II  y  x   Điểm A  x; y  nằm góc phần tư thứ III  y  x   Điểm A  x; y  nằm góc phần tư thứ IV  y  2 Ví dụ Cho hàm số y  3m  1 x  m  Chứng minh m thay đổi đồ thị hàm số ln qua điểm cố định Giải Gọi điểm M (x;y) điểm đồ thị, đó: 2 M cố định y  3m  1 x  m  với m   x  1 m  x  y  0 với m 3x  0    x  y  0   x    y   13  13  Vậy M   ;   điểm cố định cần tìm  3 Nhân xét: Cách giải dựa vào tính chất: Phương trình ax  bx  c 0 nghiệm với x a=b=c=0 Ví dụ 10 Cho ba điểm A  0;  , B   3;  1 , C  2;  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải Gọi d đường thẳng qua hai điểm A B Phương trình d có dạng y ax  b (1)  b a 1  Do toạ độ A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ:     3a  b b 2  d : y x  Lại có:Điểm C  2;  thoả mãn phương trình d : y x   C  d Từ suy A, B, C thẳng hàng III Bài tập vận dụng 8.1 Cho đường thẳng d : y  m   x   m 2  d  : y  m x  1 m 0  a) Tìm m để d  d   b) Tìm m để d cắt Ox A, cắt Oy B cho BAO 60 Hướng dẫn giải – đáp số m   m  m 1  d  d   m  m  0   a)  m     3   ;0  ; B  0;3  OA  ; OB 3 b) A   m  m  OB     m    m 2  Do BAO 60 nên tan BAO  OA 8.2 Cho đường thẳng d có phương trình y  2m  1 x  ( với m  B Tìm m cho: a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d 2; ), d cắt Ox A, cắt Oy b) Diện tích tam giác AOB Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y  2m  1 x  có đồ thị đường thẳng d, điều kiện: m  Do d cắt trục Ox điểm A nên với: y 0  x  2    A ;0   OA  2m  2m   2m   Do d cắt trục Oy điểm B nên với x 0  y   B  0;    OB 2 Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O lên AB suy OH khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d Suy OH  Mặt khác, tam giác OAB vuông O OH đường cao kẻ từ đỉnh góc vng nên ta có: 1 1  2m  1  2    2 OH OA OB 4  4m  4m   m  m 0  m 0 m  (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 0 m    ;0  ; B  0;    OA  ; OB 2 b) Theo a, ta có A  2m   2m    2m  4  SOAB  OA.OB    2m  4    m  m  2m  2  2m   8.3 Xác định phương trình đường thẳng d  biết song song với đường thẳng d có phương trình y  x  d  qua điểm M  2;1 Hướng dẫn giải – đáp số Do đường thẳng d  song song với đường thẳng d đường thẳng d có hệ số góc -1 nên ta có đường thẳng d  có hệ số góc -1 Từ suy đường thẳng d  có phương trình dạng: y  x  c Do điểm M  2;1 thuộc đường thẳng d  nên ta có:   c  c 3 Vậy đường thẳng d  có phương trình y  x  8.4 Cho hai đường thẳng d1 : y 2 x  4, d : y  cắt Oy D; d1 d cắt M x  1, d1 cắt Ox A, cắt Oy B; d cắt Ox C, a) Chứng minh tam giác MAC vuông M b) Tính diện tích tam giác MAC Hướng dẫn giải – đáp số a) Hệ số góc hai đường 2;   1 Mà tích chúng     nên ta có d1  d  2 Từ ta có tam giác MAC vng M  8 b) Tìm M   ;   5 Gọi H hình chiếu vng góc M lên trục hồnh 16 Từ có MH  ; AC 4  S MAC  MH AC  5 8.5 Cho ba đường thẳng: d1 : y x  2; d : y 2 x  1; d : y  m  1 x  m a) Tìm giá trị m để d3  d ; b) Tính giá trị m để ba đường thẳng cắt điểm Hướng dẫn giải – đáp số a) Đường thẳng d3 : y  m  1 x  m đường thẳng d : y 2 x  song song m  2 m 1     m 1 m 1   m 1    m   m  m 1  Vậy m  thỏa mãn yêu cầu đề b) Tìm A  1;3 giao điểm d1 d Khi đường d1 , d d3 đồng quy khi: A  d3  m2  m   m2  m  0  m 1 m  8.6 Cho hàm số y  m   x  m  a) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến tập số thực b) Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hồnh độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2, y 2 x  y  m   x  m  đồng quy d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y  m   x  m  nghịch biến  m    m   b) Đồ thị hàm số y  m   x  m  cắt trục hoành điểm có hồnh độ tức điểm A  3;0  thuộc đồ thị hàm số: y  m   x  m   3  m    m   4m  0  m  c) Tìm điểm M  1;1 giao điểm hai đường thẳng y  x  y 2 x  Khi đó: Đồ thị hàm số y  x  2, y 2 x  1, y  m   x  m  đồng quy  Điểm M  1;1 thuộc đồ thị hàm số: y  m   x  m   m   m   m 2 d) Giả sử hàm số y  m   x  m  có đồ thị đường thẳng d, điều kiện: m  Giả sử d cắt trục Ox điểm A, với: y 0  x  1 m 1 m  1 m   A ;0   OA  m2 m2  m2  Giả sử d cắt trục Oy điểm B Khi với x 0  y m   B  0; m  1  OB  m  Mà tam giác OAB vng O nên ta có: 1 m SOAB  OA.OB 2  m  4   m  1 4 m  2 m2   m  1 4  m    m  6m  0    m  m 7 ( thỏa mãn)    m  1   m    m  2m  0  VN  Vậy m  m 7 8.7 Cho hàm số y  m   x  2m  10 a) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn Hướng dẫn giải – đáp số a) Gọi M  x0 ; y0  điểm thuộc đồ thị hàm số y  m   x  2m  10 Điểm M cố định  y0  m   x0  2m  10 với m  m  x0     x0  y0  10  0 với m  x0  0   5 x0  y0  10 0  x0    y0  20 Như ta có điểm cố định cần tìm M   2;  20  b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d: y  m   x  2m  10 Khi độ dài đoạn thẳng OH khoảng cách từ O tới đường thẳng d Ta có: OH OM (với OM khơng đổi O M cố định) Dấu " " xảy H M  d  OM Gọi y ax  b đường thẳng qua hai điểm O, M suy b  20  2a  b Từ ta có a 10; b 0 Như ta y 10 x đường thẳng qua hai điểm O M, đường thẳng có hệ số góc k1 10 Mà d: y  m   x  2m  10 nên hệ số góc đường thẳng d k2 m  Do d vng góc với OM Suy k1.k2   10  m     10m  50   m  Vậy m  51 (thỏa mãn) 10 51 10 8.8 Cho hàm số y  m   x  m  a) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2; y 2 x  y  m   x  m  đồng quy Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y  m   x  m  nghịch biến m    m  b) Đồ thị hàm số y  m   x  m  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ tức điểm A  3;0  thuộc đồ thị hàm số: y  m   x  m   3  m    m   4m  0  m  c) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y  x  2; y 2 x  C  1;1 Ba đường thẳng y  x  2; y 2 x  y  m   x  m  đồng qui đường thẳng y  m   x  m  qua điểm C  1;1  m   m   m 0 8.9 Cho hàm số y  m  1 x  m  a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y  x  b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm  1;   c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y  m  1 x  m  có đồ thị song song với đồ thị hàm số m   y  x     m  m  1 b) Hàm số y  m  1 x  m  có đồ thị qua điểm có tọa độ  1;     m   m   m  c) Gọi M  x0 ; y0  điểm thuộc đồ thị hàm số y  m  1 x  m  Điểm M cố định  y  m  1 x  m  với m  m  x0  1    x0  y0  3 0 với m  x0  0    x0  y0  0  x0    y0 4 Như ta có điểm cố định cần tìm M   1;  8.10 Cho đường thẳng d có phương trình y mx  m  Chứng tỏ m thay đổi đường thẳng d ln qua điểm cố định Tìm điểm cố định Hướng dẫn giải – đáp số Gọi M  x0 ; y0  điểm thuộc đồ thị hàm số y mx  m  Điểm M cố định  y0 mx0  m  với m  m  x0  1    y0  0 với m  x0  0   1  y0 0  x0 1   y0 1 Như ta có điểm cố định cần tìm M  1;1