Hình vuông

HÌNH VNG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh A B  C  D   A B   AB BC CD DA ABCD hình vng O Nhận xét: Từ định nghĩa hình vng ta suy D - Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh - Hình vng hình thoi có góc vng  Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình bình thoi hình chữ nhật - Tính chất cạnh: +) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: +) Hai đường chéo +) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với +) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng - Hình thoi có hai đường chéo hình vng Nhận xét: Một tứ giác vừa hình chữ nhật vừa hình thoi tứ giác hình vng Tính chất đối xứng hình vng - Hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo C - Hình vng có bốn chục đối xứng: +) đường chéo hình vng +) đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hình vng Cách vẽ hình vng Có cách vẽ hình vng có hai cách vẽ hay sử dụng Cách 1: Vẽ đường chéo, dựng đường trung trực đường chéo Lấy trung điểm vừa dựng làm tâm vẽ đường trịn có đường kính đường chéo vừa vẽ, cắt đường trung trực hai điểm ta đường chéo thứ hai B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vng Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Bài 1: Cho hình vng DEBC Trên cạnh CD lấy K điểm A , tia đối tia DC lấy điểm K , I D tia đối tia ED lấy điểm M cho CA DK EM Vẽ hình M E H vuông A DKIH  H  DE  Chứng minh tứ giác C B ABMI hình vng Lời giải Ta có: ABC BEM HIM AKI  AI MI  AB BM    ACB BEM  ABC EBM  ABE  EBM 900  ABMI hình vng (dấu hiệu nhận biết) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh A AB, AC theo thứ tự lấy điểm D E M E cho BD EC Gọi M , N , P, Q theo thứ tự N Q trung điểm DE , EB, BC , CD Chứng C minh tứ giác MNPQ hình vuông D P B Lời giải 1 MN PQ NP MQ  EC  BD (1) 2 Ta có  MN / / AB  MN  MQ( AB  AC )(2)   MQ / / AC Từ (1)(2)  MNPQ hình vng Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam G giác hình vng ABDE ACFG Gọi P Q, N giao điểm đường chéo E F A hình vng ABDE hình vuông ACFG Gọi M , P trung điểm BC EG N I Q D Chứng minh tứ giác MNPQ hình B M C vuông Lời giải  QM PN  EC , QM / / PN / / EC (1)  QP MN  BG, QP / / MN / / BG Ta có  AEC ABG (cgc)  EC BG (2) Từ (1)(2)  QM PN QP MN  MNPQ hình thoi (dấu hiệu nhận biết)         Gọi I giao điểm EC BG , ta có: ICG  IGC  ACG  ACE  IGC  ACG  AGB  IGC   (Do ACE , AGB cặp góc tương ướng hai tam giác nhau)      ICG  IGC  ACG  ACE  IGC  ACG  AGB  IGC  ACG  AGC 900  EC  BG (4) Từ (1)(4)  QM  QP  MNPQ hình vng (hình thoi có góc vng hình vng) Cho hình thang ABCD, Bài 4: có: A B H A D  900 , CD 2 AB 2 AD Gọi H hình chiếu D lên AC M , N , P P Q trung điểm CD, HC , HD D a Chứng minh tứ giác ABMD hình M vuông, tam giác BCD vuông cân b Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành c AQ  PD Lời giải AB / / DM , AB  DC DM  ABMD a Ta có hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)  Lại có: AB  AD  ABMD hình thoi, mà A 90  ABMD hình vng BM MD  DC  BDC  +) Xét BCD , có vng cân ( BDC 45 ) PQ / / DM , PQ  DM  DMPQ b Xét DHC , có: hình bình hành c PQ / / DM , DM  AD  PQ  AD Ta có tam giác ADP có Q trực tâm  AQ  DP C Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Cách giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc, đường chéo hình vng Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia CB DA lấy hai điểm E F A D B C K H Sao cho CE DF CD Trên tia đối tia CD lấy điểm H cho CH CB Chứng minh AE vng góc FH E F Lời giải  Tứ giác CDFE có CE DF CD, DF / / CE , D 90  CDFE hình vng     Ta có: AF HD, HDF  AFE 90 , FE DF  AFE HDF  EAF FHD Gọi K giao điểm AE CD AKD HKE      , AKD  FAE 900  HKE  FAE 90 0     Mà EAF FHD  HKE  FHD 90 Vậy AE vuông góc với HF Bài 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh A B AD, CD lấy điểm E , F cho AE DF Chứng minh I a ADF BAE b BE  AF D Lời giải   a Ta có ADF BAE (cgc)  AEI DFA b Gọi I giao điểm AF BE     Có: EAI  AEI EAI  DFA 90 (đpcm) F C Bài 3: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia A B E BA lấy điểm E , tia đối tia CB lấy O điểm F cho AE CF a Chứng minh EDF vuông cân D b Gọi I trung điểm EF Chứng minh C I IB ID c Chứng minh A, C , I thẳng hàng F Lời giải   a AED CFD(cgc)  DE DF , ADE CDF       EDF EDC  CDF EDC  ADE 900 IB ID  EF b Ta có c Do IB ID nên I thuộc đường trung trực BD  I  AC Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía F E A B ngồi hình bình hành hai hình vuông ABEF ADGH Chứng minh I a AC FH AC  FH H b CEG vuông cân G D Lời giải a AFH BAC  cgc   FH  AC Gọi I giao điểm FH AC       Do AFH BAC  IAF  AFH IAF  BAC 90  FH  AC C b GCD CEB (cgc)  GC CE 0          Ta có: 180 ECB  CBE  BEC ECB  CBA  90  BEC  ECB  CBA  BEC 90      mà BEC GCD  ECB  CBA  GCD 90 (1) 0       Mặt khác ABCD hình bình hành, DCB  CBA 90  ECB  GCE  GCD  CBA 180 (2)  Từ (1)(2)  GCE 90 Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh 6cm , điểm E A B thuộc cạnh CD , tia phân giác góc DAE cắt CD F Gọi H hình chiếu F AC , AC giao điểm HF BC K a Tính độ dài AH b Chứng minh AK phân giác H  góc BAE D c Tính chu vi tam giác CFK F E Lời giải a Ta có ADF AHF (cgc )  AH HD 6cm    b AHK ABK (ch  cgvc)  A3  A4  AK phân giác BAE c Chu vi CFK CF  FK  KC CF  FH  HK  CK CF  FD  KB  KC 12(cm) Bài 6: C Cho hình vng ABCD E , F theo thứ tự E A B trung điểm AB, BC a Chứng minh CE  DF F M b Gọi M giao điểm CE DF H Chứng minh AM BM (Gợi ý gọi N D trung điểm CD ) 1 C N Lời giải 0      a Ta có: M 90  D1  C2 90  D1 C1  DCF CBE (cgc) b Gọi N trung điểm CD +) AECN hình bình hành  AN / / EC  DF  AN H  ND NC   NH / / MC ( AN / / EC )  DMC  H trung điểm MD +) có: +) ADM có AH đường cao, H trung điểm MD  AM  AD  AB (đpcm) Bài 7: Cho hình vng ABCD điểm E A E B nằm hai điểm A B Trên tia đối tia CB lấy điểm F cho AE CF G  a Tính EDF 90 b Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF Tứ giác DEGF hình gì? D Vì sao? c Chứng minh ba đường thẳng AC , DG, EF C F đồng quy điểm Lời giải        a EDF EDC  CDF EDC  EDA 90 (CDF EDA)  b Xét DEGF có EI IF , DI IG  DEGF hình bình hành , lại có D 90  DEGF hình chữ nhật mà ADE CDF  ED FD  DEGF hình vng (dấu hiệu nhận biết) c Ta có EF giao DG I , ta chứng minh I thuộc đường trực AC IB ID  EF  I Có: thuộc đường trung trực BD  I  AC ( AC đường trung trực BD ) Bài 8: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia F H CB lấy điểm M , tia đối tia DC lấy điểm N cho BM DN Vẽ hình bình M hành AFMN Chứng minh rằng: C a ABM ADN O D K N b Tứ giác AFMN hình vng c Kẻ FH  BM , FK  CN , chứng minh B ACF 900 A d B, O, D thẳng hàng ( O trung điểm AF ) Lời giải   a ABM ADN (cgc)  AM  AN  DAN BAM b Hình bình hành AMFN , có AM  AN  AMFN hình thoi      Lại có MAB MAD  DAN MAD  MAB 90  AMFN hình vng     c ACF  ACD  DCF 45  DCF  Ta chứng minh DCF 45  CHFK hình vng Có  M  900  N  M  900 , N  N  900  M  N   MHF NKF (ch  gn)  FH FK M 2 2    CHFK hình vng DCF 450  DCF 900 (đpcm) d Ta chứng minh điểm B, D, O nằm đường trung trực AC Ta có ABCD hình vng  B, D nằm đường trung trực AC O trung điểm AF  O trung điểm MN  OA OM OC OM  AC  OM OC  OA OC  O Lại có nằm đường trung trực AC  B, D, O thẳng hàng Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH A trung tuyến AM   a Chứng minh MAC BAH b Kẻ trung trực BC lấy điểm D B cho MD MA ( D A nằm hai E M H F C nửa mặt phẳng khác bờ đường thẳng BC ) Chứng minh AD phân giác   góc MAH , A D c Kẻ DE  AB, DF  AC Tứ giác AEDF hình gì? d Chứng minh: DBE DCF Lời giải ABC ( A 900 )  AM  BC  AMC         a cân M  A1 C1 , mà C1  B 90  A4  B  C1  A4       b AMD cân M  A2 D1 , A3 D1 ( slt )  A2  A3  c Tứ giác AEDF hình chữ nhật có AD phân giác EAF  AEDF hình vng d Xét DBE , DCF có DE DF , DB DC ( MD trung trực BC )  DBE DCF (ch  cgv ) 10 Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A , đường K G cao AH Vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE ACFG I a Gọi M , N chân đường vng góc F hạ từ D E đến BC Chứng minh DM  DN BC E b D, A, E thẳng hàng c AH qua trung điểm EG D d Giả sử DE FG cắt K M A B H C N Chứng minh AH qua K Lời giải  DMB AHB  DM BH , FN HC    AHC CNF a DM  FN BC  DM  FN BH  HC 0     b D, A, F thẳng hàng  DAF =180  DAE  EAG  GAF 180 EI GI   AI  c Gọi I giao điểm AH EG , ta chứng minh   +) Ta chứng minh AIG cân I  G1  A3  C  G 1 ABC AEG      C1  A1  C  G 11   A  AIG G     A1  A3 cân I Chứng minh tương tự ta có IAE cân I  IE IG IA d Có Tứ giác AEKG hình bình hành (các cạnh đối song song) Lại có AI qua trung điểm EG mà AI đường chéo thứ nên AI qua K Vậy AI qua K 11 Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, M A điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt E F cạnh AC , AB theo thứ tự E F a Tứ giác FFME hình B M C b Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng Lời giải a Tứ giác AFME có góc vng nên hình chữ nhật b Để tứ giác AFME hình vng đườn chéo AM trở thành đường phân giác   BAC  M giao điểm đường phân giác BAC A Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ B E tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA A Tìm điềm kiện tứ giác ABCD để tứ F giác EFGH H a Hình chữ nhật b Hình thoi D c Hình vng Lời giải Ta có tứ giác EFGH hình bình hành (các cạnh đối nhau) a Để EFGH trở thành hình chữ nhật EF  FG  AC  BD b Để EFGH trở thành hình thoi EF FG  AC BD c Để EFGH trở thành hình vng AC  BD, AC BD 12 G C BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho đoạn thẳng AB điểm M thẳng Vẽ phía Bài 1: thuộc đoạn AB E hình F I H vuông AMCD, BMEF D a Chứng minh AE  BC O' C O b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng A c Chứng minh đường thẳng DF qua M B K điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Lời giải a Có MD / / BE (hai góc đồng vị nhau) mà MD  AC  AC  BE Lại có EC  AB  C trực tâm tam giác ABE  AE  BC b Gọi O O ' tâm hai hình vng AMCD BMEF Tam giác vng AHC có OH đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC 1  OH  AC  DM  900 )  DH  MH (1)  DMH ( H 2 Chứng minh tương tự, ta HF  MH (2)  D, H , F thẳng hàng c Gọi I giao điểm AC DF Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF , hay I trung điểm DF Kẻ IK vng góc AB ( K thuộc AB )  K trung điểm AB , K cố định 1 IK  ( AD  BF )  AB 2 Mặt khác (không đổi )  I cố định Vậy DE qua I cố định 13 Bài 2: Cho tam giác ABC , vẽ phía ngồi tam E giác hình vuông ABDE BCKH , BM A trung tuyến AC D   a Chứng minh DBH  ABC 180 M B b Vẽ hình bình hành DBHN Chứng minh C ABC NHB O c Chứng minh DH 2 BM N d Chứng minh BM  DH H Lời giải       a) Chú ý: DBH  HBC  CBA  ABD 360 , HBC  ABD 90 b) ABC NHB(cgc ) b) Gọi O giao điểm DH BN  O trung điểm DH BN Tca có ABC NHB  OH BM (hai đường trung tuyến tương ứng) mà DH OH (đpcm)   d Chứng minh BHO MBC  đpcm Cho đoạn thẳng AB điểm M Bài 3: thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB , hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh AE vng góc với BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Lời giải 14 K a) Chứng minh MD song song với BE Mà MD  AC  AC  BE lại có EC  AB  C trực tâm tam giác ABE b) Gọi O, O ' tâm hai hình vng AMCD BMEF Tam giác vng AHC có 1 AC  OH  AC  DM OH đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 2  DMH vuông H , hay DH  MH  1 Chứng minh tương tự, ta HF  HM   Từ (1) (2), suy đpcm c) Gọi I giao điểm AC DF Chứng minh OI đường trung bình tam giác DMF , hay I trung điểm DF AB  K  AB  Kẻ IK vng góc với  K trung điểm AB , tức K cố định 1 IK  ( AD  BF )  AB 2 Mặt khác (không đổi)  I cố định Vậy DF qua điểm I cố định Bài 4: Cho tam giác ABC , vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE BCKH BM đường trung tuyến tam giác ABC   a) Chứng minh DBH  ABC 180 b) Vẽ hình bình hành DBHN Chứng minh ABC NHB c) Chứng minh DH 2 BM d) Chứng minh BM vng góc với DH Lời giải     a) Chú ý DHB  HBC  CBA  ABD 360 15   Mà HBC  ABD 90  đpcm cgc b) Chứng minh hai tam giác ABC NBH theo trường hợp   c) Gọi O DH  BN  O trung điểm DH BN Ta có: ABC NHB  OH BM (2 đường trung tuyến tương ứng) Mà DH 2OH  đpcm   d) Chứng minh BHO MBC Từ quy đpcm 16