BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CHỦ ĐỀ CÂU 47: PT MŨ-LOGARIT DẠNG ĐẶC BIỆT CÓ THAM SỐ CHỦ ĐỀ CÂU ĐỀ GỐC log a Câu 47: Có số nguyên a ( a ≥ ) cho tồn số thực x thoả mãn: ( a log x +2 ) =x−2? A B C D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện x >0 Đặt y=alog x +2>0 y log a=x−2⇔ alog y +2=x Từ ta có hệ y=a log x + x=a log y +2 Do a ≥ nên hàm số f ( t )=at +2 đồng biến R Giả sử x ≥ y f ( y ) ≥ f ( x ) kéo theo y ≥ x , tức phải có x= y Tương tự x ≤ y Vì thế, ta đưa xét phương trình x=a log x + với x >0 hay x−x log a=2 Ta phải có x >2 x > x loga ⇔1> log a ⇔a0) Phương trình trở thành 2t + t=14 log t +6 ( ¿ ) Xét hàm số f ( t )=2t +4 t −14 log t−6 ¿ 14 ' t t Ta có f ( t )=2 ln 2+ ln 4− t ln ' t t ' ( t ) ln ln 14 ¿¿ t ln f Suy hàm số f ' ( t )đồng biến ¿ Do phương trình f ( t )=0 hay phương trình ( ¿ ) có nhiều nghiệm t=1 Ta thấy t=1 , t=2thỏa mãn( ¿ ) Do phương trình ( ¿ ) ⇔ t=2 t=1 ⇒ x 2−4 x + log m=1 ⇔ x 2−4 x−1+log m=0 ( ) [ t=2 ⇒ x 2−4 x+ log m=2 ⇔ x 2−4 x−2+ log m=0 ( ) Phương trình cho có nghiệm (1) (2) có nghiệm ( ) có nghiệm Δ ' ≥ ⇔ 4− ( log m−1 ) ≥0 ⇔ log m≤ ⇔ m≤ 32 ( ) có nghiệm Δ ' ≥ ⇔ 4− ( log m−2 ) ≥0 ⇔ log m≤ ⇔ m ≤64 Do phương trình cho có nghiệm⇔ m≤ 64 kết hợp m nguyên dương Vậy có 64 số Câu 47.4 Tổng tất x−3+√ m−3 x + ( x −9 x +24 x +m ) A 45 B 34 x−3 giá trị nguyên m để phương x =3 +1 có nghiệm phân biệt C 27 Lời giải D 38 Chọn C 3 x−3 x x−3+√ m−3 x + ( x 3−9 x +24 x +m ) x−3=3 x +1⇔ x−3+√ m−3 x + [ ( x −3 ) +27+m−3 x ] =3 + 3 ⇔ √ m−3 x + ( x−3 )3 +m−3 x +27=33+ 33−x ( )a=3−x ;❑ b=√3 m−3 x ( ) ⇔ 3b +27+ b3−a3=27.+3 a ⇔ 3b +b3 =3a +a Xét f ( t )=3 t +t ⇒ f ' ( t ) =3t ln 3+3 t ≥ ∀ t ∈ R ⇒ f ( a )=f ( b ) ⇔ a=b ⇔ 3−x= √3 m−3 x⇔ m=( 3−x )3 +3 x=−x +9 x 2−24 x+ 27 f ( x )=−x3 +9 x 2−24 x +27 ⇒ f ' ( x )=−3 x 2+18 x −¿ 24 ¿ f ' ( x )=0 ⇔ x=2 ∨ x=4 Trang 3/7 – Bài giảng điện tử-2021 trình Dựa vào đồ thị:7< m0 Đặt y=mln x + 4> vào phương trình ta có y ln m + 4=x ⇔ x=4+ mln y mln y = y lnm Trang 4/7 – Bài giảng điện tử-2021 y=m ln x + ( ) Khi ta có hệ phương trình: x=m ln y +4 ( ) { Xét hàm số f ( t )=mt + ⇒ f ' ( t )=ln m m t > (Do m ≥2 ) Nên hàm số f ( t ) đồng biến R Khi đó: x= y ln ( x−4 ) ln x ln m ln m Từ (2) : x=m + ⇔ x =x−4 ⇔ ln ( x )=ln ( x −4 ) ⇔ln m ln x=ln ( x−4 ) ⇔ ln m= ln x ln ( x−4 ) Do x >4 nên x−4< x ⇒ln ( x−4 ) < ln x ⇒ ln x 1 Suy hàm số f ( t )đồng biến R Do đó, f ( log x ) =f ( log u ) ⇔ x=u Vì thế, ta đưa xét phương trình: x=mlog x +3 ⇔ x=x log m +3 ⇔ x−3=x log m log ( x−3 ) ⇔ log ( x−3 )=log ( x log m ) ⇔ log ( x−3 ) =log x log m⇔ log m= log x log ( x−3 ) 3 nên x−3< xnên log m= log x 5 5 Suy ∈ Z ⇒ m∈ {2,3,4 } {1 0, ∀ t> ⇒ f ( t ) đồng biến nên 6 ( ) ⇔ f ( x )=f ( y ) ⇔ x= y ta có phương trình x−1−6 x+ 5=0 (3) Xét hàm số g ( x )=7 x−1−6 x+5 với x > g ' ( x )=7 x−1 ln 7−6 ⇒ g left (x right ) = {7} ^ {x -1} {left (ln {7} right )} ^ {2} > ∀ x> nên suy phương trình g ( x )=0 có khơng q hai nghiệm Mặt khác g ( )=g ( )=0 nên x=1 x=2 nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 x=2 Suy tổng nghiệm phương trình 1+2=3 Câu 47.10 Có số tự nhiên a cho tồn số thực x thoả202 1x −a A B C log (x+ 1) ( x +2020 )=a3 log ( x+1) +2020 D 12 Lời giải Chọn A x −a Xét phương trình: 202 log (x+ 1) = a3 log (x +1) +2020 , điều kiện: x >−1, x +2020 Trang 6/7 – Bài giảng điện tử-2021 ⇔ x 3−a3 log ( x+1)=log 2021 ( a3 log ( x+1) +2020 ) −log 2021 ( x +2020 ) ⇔ x + log2021 ( x +2020 ) =a3 log ( x+1 )+ log 2021 ( a3 log ( x+1) +2020 ) ( ¿ ) Xét hàm số f (t)=t +log 2021 ( t +2020 ), ¿ f ' (t)=3t + 3t > , ∀ t >0 nên hàm số f (t ) đồng biến ¿ ( t3 +2020 ) ln2 021 Do ( ¿ ) trở thành: x=a log (x+ 1) ⇔ x=( x+ )log a ⇔ log x =log a log (¿ x +1) ¿ ⇔ log a= log x −1 nên a< 10⇒ a ∈ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } log ( x+ ) Trang 7/7 – Bài giảng điện tử-2021