File vip 4

Phần III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM I KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục khoảng I Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) I F’(x) = f(x) với x thuộc I Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng I thì: a) Với số C, hàm số G ( x) F ( x)  C nguyên hàm f(x) b) Ngược lại, G ( x) nguyên hàm f(x) tồn số C cho G ( x) F ( x)  C với x thuộc I Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp (với u = u(x)) dx x  C du u  C x α 1 x dx  α   C, α -1 dx  x ln x  C , x 0 u α 1 u du α   C, α -1 du u ln u  C , u=u(x) 0 α x e dx e x α u C e du e u C ax a dx  ln a  C , 0 đặt t  x  a  x  b Với x + a < x + b < đặt t   x  a   x  b t    x  ( với cos  x  a  b  x Phương pháp lấy nguyên hàm phần Phương pháp lấy nguyên hàm phần sử dụng phổ biến việc tìm nguyên hàm Cơ sở phương pháp định lí sau: Định lí: Nếu u  x  , v  x  hai hàm số có đạo hàm liên tục I thì: u  x  v x  dx u  x  v  x   v  x  u  x .dx viết udv u.v  v.du Để tìm nguyên hàm hàm số f(x) phương pháp nguyên hàm phần, ta thực bước sau: Bước 1: Biến đổi: I f  x  dx f1  x  f  x  dx u  f1  x   Bước 2: Đặt:   dv  f  x  dx  du  v Bước 3: Khi đó: I u.v  v.du Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm phần để tìm nguyên hàm, cần tuân thủ nguyên tắc sau: a Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng b Tích phân bất định v.du xác định cách dễ dàng so với I CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:Nếu F(x) nguyên hàm f  x  cos x F(0)=0 F(x) là: A 1+sinx B sinx Đáp số trắc nghiệm B  C 1- sinx D - sinx Lời giải tự luận: Với hàm số f  x  cos x thì: F  x  sin x  C Khi đó, để F(0)=0 điều kiện là:  sin  C  C 0  F  x  s inx , ứng với đáp án B Lựa chọn đáp án phép thử 1: Ta đánh giá:  Nguyên hàm hàm số f(x)= cosx có dạng F  x  sin x  C nên đáp án C D bị loại  Vì sin 0=0 nên đáp án A bị loại Do đó,việc lựa chọn đáp án B đắn Lựa chọn đáp án phép thử 2: Ta đánh giá:   Vì (sinx)'=cosx nên đáp án C D bị loại  Với x = + sin0 = nên đáp án A bị loại Do đó, việc lựa chọ đáp án B Lựa chọn đáp án phép thử 3: Ta đánh giá   Vì sin 0=0 nên đáp án A C bị loại F( 0)=1  Với hàm số B thì: f( x) = F'(x) = cosx, thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án B đắn Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho tốn thì:  Trong cách giải tự luận thực theo hai bước: Bước 1: Tính nguyên hàm hàm số Bước 2: Xác định C việc sử dụng giả thiết đồ thị hàm số y = F(x) qua điểm M  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử loại trừ dần cách việc thực theo hai bước: Bước 1: Sử dụng bảng nguyên hàm bản, loại bỏ đáp án C D khơng có dạng - sinx Bước 2: Tính giá trị sinx x = 0, để loại bỏ đáp án A  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử , loại trừ dần cách việc thực theo hai bước: Bước 1: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, loại bỏ đáp án C D Bước 2: Thử x = cho đáp án A, để định đáp án A sai Từ khẳng định việc lựa chọn đáp án B đắn  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử thực phép thử theo đáp án Câu 2: Cho hàm số f  x  Nếu F(x) nguyên hàm hàm số đồ thị hàm số cos x   y=F(x) qua điểm M  ;  F(x) là: 6  A  tan x B  tan x C   tan x D   tan x Đáp số trắc nghiệm D  Lời giải tự luận: Với hàm số y  F(x) = tanx + C cos x   Khi đó, để đồ thị hàm số y = F(x) qua qua điểm M  ;0  điều kiện là: 6   3 , ứng với đáp án D tan  C  C   F  x  tan x  3  Lựa chọn đáp án phép thử 1: Ta đánh giá:  Nguyên hàm hàm số f  x   có dạng F(x) = tanx + C nên đáp án A B bị cos x loại  nên đáp án C bị loại  Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn  Lựa chọn đáp án phép thử 2:Ta đánh giá:  Vì  tan x    nên đáp án A B bị loại cos x  Vì tan   3  tan     0 nên đáp án D   Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn  Lựa chọn đáp án phép thử 3: Ta đánh giá:  Với x   Vì tan     nên đáp án A C bị loại khơng qua M  Với hàm số B thì: f  x  F  x   , không thỏa mãn nên đáp án B bị loại cos x Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho tốn thì: Trong cách giải tựu luận, thực tương tự Trong cách lựa chọn đáp án phép thử, loại trừ dần cách việc thực theo hai bước: Bước 1: Sử dụng bảng nguyên hàm bản, loại bỏ đáp án A B khơng có dạng - tanx Bước 2: Tính giá trị tanx x    , để loại bỏ đáp án C Trong cách lựa chọn đáp án phép thử, loại trừ dần cách việc thực theo hai bước: Bước 1: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, loại bỏ đáp án A B Bước 2: Thử x    cho đáp án D, để định đáp án D đắn Trong cách lựa chọn đáp án phép thử thực phép thử theo đáp án Câu 3:Nếu F(x) nguyên hàm f(x)=2x + F(2)=2 F(x) là: A x  x  B x  x  C x  x  Đáp số trắc nghiệm D D x  x   Lời giải tự luận: Với hàm số f(x)=2x + thì: F  x   x  x  C Khi đó, để F(2)=2 điều kiện là:    C  C   F  x   x  x  , ứng với đáp án D  Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ trái qua phải ): Ta đánh giá:  Với hàm số A thì: F(2)=4 + - = , khơng thỏa mãn nên đáp án A bị loại Với hàm số B thì: F(2)=4 + - = , không thỏa mãn nên đáp án B bị loại  Với hàm số C thì: F(2)=4 + - = , không thỏa mãn nên đáp án C bị loại Do việc lựa chọn đáp án D đắn  Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ trái qua phải ): Ta đánh giá: Với hàm số D thì: F(2)=4 + - 4= 23 , thỏa mãn Do việc lựa chọn đáp án D đắn Câu 4:Cho F(x) nguyên hàm f  x   F(2)=1 F(8) bằng: x 1 A ln3 B ln3 + C ln3 + D ln3 + Đáp số trắc nghiệm B  Lời giải tự luận: Với hàm số f  x   thì: F  x  ln x   C x 1 Khi đó, để F(2)=1 điều kiện là:  ln   C  C 1  ln  F  x  ln x    ln  F   ln    ln 2 ln   ln ln  , ứng với đáp án B Nhận xét: Như vậy, với dạng câu hỏi lựa chọn đáp án cách làm tự luận Câu 5: F  x  cos x nguyên hàm hàm số: A f(x)= -2sin3x C f(x)= -6sin3x.cos3x Đáp số trắc nghiệm C  B f(x)= 6sin3x D f(x)= 6sin3x.cos3x Lời giải tự luận: Ta có: F  x   cos x   6cos x.sin x , ứng với đáp án C    Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ trái qua phải ): Ta đánh giá:  Với hàm số A thì: F  x   sin 3xdx  cos 3x  C , không thỏa mãn nên đáp án A bị loại  Với hàm số B thì: F  x  6sin xdx  cos 3x  C , không thỏa mãn nên đáp án B bị loại  Với hàm số C thì: 1 F  x   sin 3x.cos 3xdx  3sin xdx  cos x  C  cos x 1  C 2 2 cos x  C  1 thỏa mãn C  Do việc lựa chọn đáp án C đắn  Lựa chọn đáp án phép thử ( Từ phải qua trái ): Ta đánh giá:  Với hàm số D thì: 1 F  x  6 sin x.cos xdx 3sin xdx  cos x  C  cos x 1  C 2  cos x  C  không thỏa mãn nên đáp án D bị loại      Với hàm số C thì: 1 F  x   sin 3x.cos 3xdx  3sin xdx  cos x  C  cos x 1  C 2 2 cos x  C  1 thỏa mãn C  Do việc lựa chọn đáp án C đắn Nhận xét: Như vậy, với dạng câu hỏi trên, việc lựa chọn đáp án cách làm tự luận đơn giản nhiều so với phép thử   F  x  sin x.cos x nguyên hàm hàm số: Câu 6: A 3cos3x.cos2x C sin3x.cos2x Đáp số trắc nghiệm D  Lời giải tự luận: Ta có ngay: B - 2sin3x.sin2x D 3cos3x.cos2x - 2sin3x.sin2x F  x  3cos x.cos x  2sin x.sin x , ứng với đáp án D  Lựa chọn đáp án phép đánh giá : Ta đánh giá với dạng hàm số F = u.v:  Đáp án A bị loại dạng u'.v  Đáp án B bị loại dạng v'.u  Đáp án C bị loại với dạng hàm số cho khơng thể có F'=F Do đó, việc lựa chọn đáp án D đắn Bài : F (x)  A x  x 1 nguyên hàm hàm số: x 2x B  x  1 C  x  1 D  x  1 Đáp án trắc nghiệm D  Lời giải tự luận: Ta có ngay: x   ( x  1) F '(x)   , ứng với đáp án D (x  1) (x  1)  Lựa chọn đáp ná phép đánh giá: Ta đánh giá : u  Với dạng hàm số F  (bậc bậc nhất) đạo hàm ln có dạng v mẫu số bình, đáp án A B bị loại  Với hàm C thì: 2dx Cx  C  F (x)    C  x x (x  1) C 1 Cx  C  x     , x x   C  0 Do đó, việc lựa chọn đá án D đắn x2  x  nguyên hàm hàm số: x 4x 1 4x  A B 2  x  2  x  2 vô nghiệm  Đáp án C bị loại Bài 8: F (x)  C x2  4x   x  2 D x2  4x   x  2 Đáp án trắc nghiệm C  Lời giải tự luận 1: Ta có ngay: (2 x  2)( x  2)  (x  x  3) x  x  F '(x)   , ứng với đáp án C (x  2) (x  2)  Lời giải tự luận : Ta có: 3 x2  4x  F (x)  x   F '(x) 1   , ứng với đáp án C x (x  2) (x  2)  Lựa chọn đáp ná phép thử: Ta đánh giá :  Hàm số bậc hai bậc ta lấy đạo hàm ln có dạng bậc hai mẫu số bình, đáp án A B bị loại  Với đáp án C :  (x  x  1) dx  x2  x  F (x)    dx  x    (x  2)2  x x (x  2) Do đó, việc lụa chọn đáp án C đắn x2  nguyên hàm hàm số: x 2x  x2  2x  A B 2  x  1  x  1 Bài 9: y  F (x)  C 2x   x  1 D x2  2x   x  1 Đáp án trắc nghiệm A  Lời giải tự luận : Ta có ngay: x( x  1)  (x  1) x  x  F '(x)   , ứng với đáp án A (x  1) (x  1)  Lựa chọn đáp ná phép thử: Ta đánh giá : u w  Với hàm số dạng y  ta ln có đạo hàm với mẫu số bình phương (cụ thể y '  ) v v loại trừ đáp án C,D  Vời hàm phân thức bậc hai bậc đạo hàm y’ ta ln có w đa thức bậc 2, suy loại đáp án B Do đó, việc lụa chọn đáp án A đắn Bài 10: y  F (x) (x  1)(x  2)(x  3) nguyên hàm hàm số: A (x  1)(x  2)(x  3) B (x  2)(x  3) C 3x  12 x  11 D 3x  12 x  11 Đáp án trắc nghiệm D  Lời giải tự luận : Ta có ngay: F '(x) (x  2)(x  3)  (x  1)(x  3)  (x  1)(x  2) 3 x  12 x  11 ứng với đáp án D  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá với hàm y uvw :  Đáp án A bị loại bới dạng hàm đa thức y  y '  Đáp án B bị loại bới có dạng u ' vw  Đáp án C bị loại bới bậc y’ khơng thể bậc y Do đó, việc lụa chọn đáp án D đắn Bài 11: Cho hàm số: f ( x)  x  Một nguyên hàm hàm số: x A x  ln | x | 2009 B x  ln | x | 2009 2 C x  ln | x | 2009 D x  ln | x | 2009 Đáp án trắc nghiệm B 2   Lời giải tự luận : Ta có : F (x)   x   dx  x  ln | x | C x  x  ln | x | 2009 , ứng với đáp án B  Lựa chọn đáp án phép thử (Từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với F ( x)  x  ln | x | 2009 đáp án A thì: f ( x) ( x  ln | x | 2009) ' 2 x   Đáp án A bị loại x  Với F ( x)  x  ln | x | 2009 đáp án B thì: 2 f ( x) ( x  ln | x | 2009) '  x  , x Do đó, việc lựa chọn đáp án B đắn Bài 12: Cho hàm số: f ( x) sin x Một nguyên hàm hàm số:  Một nguyên hàm cùa f(x) A  cos 2x B  C  cos 2x D cos x cos x Đáp án trắc nghiệm B  Lời giải tự luận : Ta có : F (x)  sin xdx  cos x  C cos x , ứng với đáp án B  Lựa chọn đáp án phép thử (Từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với F ( x)  cos x đáp án A thì: f ( x) ( cos x) ' 2sin x  Đáp án A bị loại  Một nguyên hàm cùa f(x)   Với F ( x)  cos x đáp án B thì: cos x) ' sin x, Do đó, việc lựa chọn đáp án B đắn Bài 13: Họ nguyên hàm f ( x) 1  x có dạng: f ( x ) (  x C 2 C x  x  C Đáp án trắc nghiệm C A x  x C 2 D x  x  C B x  x  C ,ứng với đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử (Từ trái qua phải): Ta đánh giá:  Với F ( x) 2 x  x  C đáp án A thì: 2 f ( x ) (2 x  x  C ) ' 2  x  Đáp án A bị loại 2  Với F ( x) 2 x  x  C đáp án B thì: f ( x) (2 x  x  C ) ' 2  x  Đáp án B bị loại 2  Với F ( x)  x  x  C đáp án C thì: f ( x) ( x  x  C ) ' 1  x, Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn  Lựa chọn đáp án phép thử (Từ phải qua trái): Ta đánh giá:  Với F ( x)  x  x  C đáp án D thì: f( x) ( x  x  C ) ' 1  x  Đáp án D bị loại 2  Với F ( x)  x  x  C đáp án C thì: f( x) ( x  x  C ) ' 1  x, Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn  Lựa chọn đáp án phép đánh giá : Ta đánh giá:  Để có f(x) F(x) phải có x, đáp án A B bị loại  Để có –x f(x) F(x) phải có  x , đáp án D bị loại  Lời giải tự luận : Ta có : F (x)  (1  x) dx  x  Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn Bài 14: Họ nguyên hàm f ( x) 4 x  có dạng: A x  x  C C x3  x  C Đáp án trắc nghiệm A B x  x  C D x3  x  C  Trong cách giải tự luận sử dụng phương pháp phân tích để tìm ngun hàm dựa cơng thức hạ bậc Cụ thể, có cơng thức sau:  cos x sin x  3sin x  sin x sin x    cos x cos x  3cos x  cos x cos3 x  Hằng đẳng thức: sin x  cos x 1 Được sử dụng phép hạ bậc mang tính tồn cục cho biểu thức, thí dụ: sin x  cos x  sin x  cos x   2sin x cos x 1  1 sin x 1    cos x   cos x  4 sin x  cos6 x  sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x  1   Câu 25: 3 sin x 1    cos x   cos x  4 Trong cách lựa chọn đáp án phép thử thực từ trái qua phải nhận thấy đáp án A đáp án nên dừng phép thử Họ nguyên hàm hàm số f ( x) sin x  cos x có dạng: A 1   x  cos4 x   C 4  B 1   x- cos4 x   C 4  C 1   x  sin x   C 4  D 1   x- sin x   C 4  Lời giải Chọn C  Lời giải tự luận 1: (Sử dụng phép hạ bậc đơn): Biến đổi f  x  dạng:   cos2x    cos2x  f ( x )  sin x    cos x      2     1 1  cos4 x   cos 2 x      cos4 x  2 2 2 2 Khi đó: 1  f  x  dx    cos4 x  dx 4  3x  sin4 x  , ứng với đáp án C  Lời giải tự luận 2: (Sử dụng phép hạ bậc toàn cục): Biến đổi f  x  dạng: f ( x ) sin x  cos x  sin x  cos x   2sin xcos x 1  1  cos4 x sin x 1     cos4 x  2 Khi đó: 1  f  x  dx    cos4 x  dx 4  3x  sin4 x  , ứng với đáp án C  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá:  1  F  x    x  cos4 x   C 4  Với thì: f  x  F '  x     sin4 x   f    sin 0+cos 0=1  đáp án A B bị loại 4 1  F  x    x  sin4 x   C 4  Với thì: f  x  F '  x   1   cos4 x   f    sin 0+cos 0=1  đáp án A B bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đắp án cho tốn thì:  Trong cách giải tự luận sử dụng công thức hạ bậc đơn để đưa hàm số dạng dễ lấy nguyên hàm  Trong cách giải tự luận sử dụng công thức hạ bậc toàn cục để đưa hàm số dạng dễ lấy nguyên hàm  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử thực từ trái qua phải Tuy nhiên với phép thử đáp án C với giá trị x 0 nên chuyển qua đáp án D để nhận xét dược đáp ân sai Từ đó, khẳng định việc lựa chọn đáp án C đắn – Các em học sinh cần ghi nhận ý tưởng để sử dụng phép thử mà việc biến đổi lượng giác hàm số ban đầu phức tạp Câu 26: Họ nguyên hàm hàm số A  x  C B f ( x)  có dạng: 1 x  x 1 x C C x  x  C Lời giải Chọn B  Lời giải tự luận: Đặt x cos t ,  t   , suy ra: dx  sin t.dt ; f ( x).dx=- Khi đó: sin t.dt dt  d  cos t  sin t sin t f ( x)dx d  cos t  cos t  C  x  x2  C , ứng với đáp án B  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá:  Với F  x    x2  C   f  x    x  C '   Với F  x  x  x2 2x 1 x C  1 x   đáp án A bị loại D 1  x2 C  x  f  x   C  '   1 x    x2  2x2  x2   x2  đáp án B 1 x  Do đó, việc lựa chọn đáp án B đắn Chú ý: Sở dĩ tập trên, ta có x   x  sin t cot t   x  sin t sin t  t    sin t    sin t   cos t   x Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  1 có dạng: Câu 27:  x  1  C 4 C  x  1  C 16 Đáp số trắc nghiệm: C  x  1  C D  x  1  C 32 A B  Lời giải tự luận 1: Đặt t 4 x  , suy dt 4dx f  x  dx  t dt Khi đó, 4 f  x  dx  t dt 16 t  C 16  x  1  C , ứng với đáp án C  Lời giải tự luận 2: Ta có f  x  64 x  48 x  12 x  Khi đó, f  x  dx  64 x  48x 12 x  1 dx 16 x  16 x  x 1   256 x  256 x3  96 x  16 x  1  C  16 16   x  1  C0 , ứng với đáp án C 16  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta đánh giá:    1  Với F  x  đáp án A f  x    x  1  C  ' 4  x  1  đáp án A bị loại 4  Bởi đáp án A, B, C, D khác hệ số giả thiết cho hệ số ( tức 16 :16 2 ) nên ta loại bỏ tiếp đáp án B, D Do đó, việc lựa chọn đáp án C đắn Câu 28: Họ nguyên hàm hàm số f  x  2 x x  có dạng: x  1  C  2 x   C C Đáp số trắc nghiệm B 2 x  1  C  x   C D A B  Lời giải tự luận: Đặt t  x  suy ra: dt  xdx x 1  xdx  xdx tdt f  x  dx 2t dt t