File vip 1

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NHANH ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN KỲ THI THPT PHẦN I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Kiến thức Điều kiện hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f  x  xác đinh khoảng I thì: a Hàm số f  x  đồng biến khoảng I với x  I ta có f  x  x   f  x  0 x b Hàm số f  x  nghịch biến khoảng I với x  I ta có f  x  x   f  x  0 x Từ kết ta có : Cho hàm số f  x  có đạo hàm khoảng liên thơng I : + Nếu hàm số f  x  đồng biến khoảng I f  x  0; x  I + Nếu hàm số f  x  nghịch biến khoảng I f  x  0; x  I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lý : Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  có đạo hàm khoảng  a; b  tồn số c   a; b  cho : f  b   f  a   f  c   b  a  hay f  c   f  b  f  a b a Ý nghĩa định lý: Xét cung AB đồ thị hàm số y  f  x  với A  a; f  a   B  b; f  b   Khi ta có: - Hệ số góc tiếp tuyến với cát tuyến AB k  f  b  f  a b a - Đẳng thức f  c   f  b  f  a có nghĩa hệ số góc tiếp tuyến cung AB điểm b a C  a; f  c   hệ số góc cát tuyến AB Vậy giả thiết định lý Lagrange được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng I a Nếu f  x   0, x  I thì f  x  đồng biến khoảng I b Nếu f  x   0, x  I thì f  x  nghịch biến khoảng I c Nếu f  x  0, x  I thì f  x  không đổi khoảng I Ta có mở rộng của định lí sau: Định lí 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng I a Nếu f  x  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f  x  đồng biến khoảng I b Nếu f  x  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f  x  nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí các bảng biến thiên sau: II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số nào sau là hàm số đồng biến  ?   A y  x   x B y x x  C y x  x Lời giải Chọn B  Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt: D y  cot x    Với hàm số y  x   x xác định  thì:   y 4 x x   4 x  x  Hàm số không thể đồng biến  bởi y    , đó đáp án A bị loại  Với hàm số y x x  xác định  thì: y  x   x2 x   , x   Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại  Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt:  Với hàm số y  cot x xác định  \ k , k   nên đáp án D bị loại  Với hàm số y x   Với hàm số y x x  xác định  thì: y  x   x2 x  1 xác định  \ 0 nên đáp án C bị loại x  , x   Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá:  Trước tiên, hàm số đồng biến  thì phải xác định  Do đó, các đáp án C và D bị loại Tới ta chỉ phải lựa chọn A và B  Vì A là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là đa thức bậc ba, và đa thức bậc ba thì không thể dương (do phương trình bậc ba có ít nghiệm), suy đáp án A không thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì:  Trong cách giải tự luận chúng ta lần lượt thử từ trái qua phải cho các hàm số việc thực theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Đánh giá y để xét tính đồng biến của nó  Tới hàm số B chúng ta thấy thỏa mãn nên dừng lại ở đó Trong trường hợp trái lại, chúng ta tiếp tục hàm số ở C, tại nếu C thỏa mãn thì chúng ta lựa chọn đáp án C cịn khơng khẳng định D là đúng  Trong cách giải tự luận chúng ta lần lượt thử từ phải qua trái cho các hàm số  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử chúng ta loại trừ dần việc thực theo hai bước: Bước 1: Sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu D là phải xác định D, chúng ta loại bỏ được các đáp án c và D bởi các hàm số này không xác định  Bước 2: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, để loại bỏ được đáp án A Câu Hàm số nào sau là hàm số nghịch biến  ? A y  x  x  x  B y  x  x  C y cos x  x  D y   x Lời giải Chọn C  Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt:  Với hàm số y  x  x2  x  xác định  thì: y  x2  x  , y 0   3x  x  0  x  hoặc x 1 Do đó, đáp án A bị loại  Với hàm số y  x  x  xác định  thì: y  x  x ,   y 0   x  x 0   x x  0   x 0 hoặc x 1 Do đó, đáp án B bị loại  Với hàm số y cos x  x  xác định  thì: y  sin x    sin x  1 0 x   Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại  Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt:  Với hàm số y   x xác định   1;1 nên đáp án D bị loại  Với hàm số y cos x  x  xác định  thì: y  sin x    sin x  1 0 x   Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại  Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá:  Trước tiên, hàm số nghịch biến  thì phải xác định  Do đó, đáp án D bị loại Tới ta chỉ phải lựa chọn A, B và C  Vì B là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể âm (do phương trình bậc ba có ít một nghiệm), suy đáp án B không thỏa mãn  Với hàm số y  x  x  x  xác định  thì: y  x2  x  1, y 0   3x  x  0  x  hoặc x 1 Do đó, đáp án A bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn Câu Hàm số y  x  x  x  đồng biến các khoảng: A   ;1 và  3;   B   ;1 và  3;   C   ;1 và  3;   D   ;1 và  3;  Lời giải Chọn B  Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:  Tập xác định D   Đạo hàm: y x  x    x 3 Hàm số đồng biến khi: y 0  x  x  0    x 1 Vậy, hàm số đồng biến các khoảng   ;1 và  3;    Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đồng biến y ’ 0 đó có hai nửa đoạn (dấu ngoặc vuông “[, ]”) nên các đáp án A, C và D bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì:  Trong cách giải tự luận chúng ta thực theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện để hàm số đồng biến, từ đó rút được các khoảng cần tìm  Trong cách lựa chọn đáp án phép thử chúng ta loại trừ được các đáp án A, C và D thông qua việc đánh giá sự tồn tại của các dấu ngoặc vuông Trong trường hợp các đáp án được cho dưới dạng khác, chúng ta có thể đánh giá thông qua tính chất của hàm đa thức bậc ba - Bài toán sau minh họa cho nhận xét này Câu Hàm số y  x  x  nghịch biến các khoảng: A   ;  1 và  0;   B   ;  và  1;   C   1;  D  0;1 Lời giải Chọn C  Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:  Tập xác định D   Đạo hàm: y ' x  x  Hàm số nghịch biến khi: y ' 0  x  x 0    x 0 Vậy hàm số nghịch biến   1; 0  Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét rằng: Hàm số nghịch biến y ' 0 đó có hai nửa đoạn ( dấu ngoặc vuông “  ,  ”) nên đáp án D bị loại   Hàm đa thức bậc ba với a  nghịch niến đoạn nằm giữa hai nghiệm của phương trình y 0 nên các đáp án A và B bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn  Chú ý: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng phép thử các em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm đa thức bậc ba và dấu tam thức bậc hai Câu Hàm số y  x  x  đồng biến các khoảng: A   ;1 và  1;   B   1;  và  1;   C   ;  1 và  0;1 D   1;1 Lời giải Chọn B  Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có:  Tập xác định D    x 0 3 Đạo hàm: y ' x  x , y ' 0  x  x 0    x 1  Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số đồng biến   1;  và  1;    Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có:  Tập xác định D   3 Đạo hàm: y ' x  x , y ' 0  x  x 0  x    1;    1;   Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó, suy hàm số đồng biến   1;  và  1;   Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì:  Có khoảng đồng biến chứa  nên các đáp án C và D bị loại  Có khoảng đồng biến chứa   nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án đúng cho bài toán thì:  Trong cách giải tự luận chúng ta thực theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thay vì thiết lập điều kiện y ' 0 chúng ta giải phương trình y ' 0 rồi lập bảng biến thiên cho trực quan (bởi việc giải bất phương trình bậc ba dễ gây nhầm dấu)  Trong cách giải tự luận chúng ta thực theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện y ' 0 chúng ta xác định được nghiệm của bất phương trình việc xét dấu trục số ( miền ngoài dấu hệ số a và sau đó đan dấu)  Trong các lựa chọn đáp án phép thử, các em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm bậc bốn dạng trùng phương Câu Hàm số y x  x  nghịch biến các khoảng: A   ;  1 và  1;   B   ;  1 và  0;1 C   1;  và  1;   D   1;1 Lời giải Chọn B  Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có:  Tập xác định D   x 0 3  Đạo hàm: y ' 4 x  x , y ' 0  x  x 0    x 1  Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số nghịch biến   ;  1 và  0;1  Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có:  Tập xác định D   Đạo hàm: y ' x  x , y ' 0  x  x 0  x    ;  1 và  0;1 Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó suy hàm số nghịch biến   ;  1 và  0;1  Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì:  Có khoảng nghịch biến chứa   nên các đáp án C và D bị loại  Có khoảng nghịch biến không chứa  nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn Câu Hàm số y  A   ;1 2x nghịch biến khoảng: x C  \ 1 B  1;  D  Lời giải Chọn C  Lời giải tự luận: Ta lần lượt có :  Tập xác định D  \ 1  Đạo hàm: y '  2  x  1   hàm số nghịch biến D Vậy hàm số nghịch biến  \ 1  Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán Chú ý: Như vậy, để lựa chọn đáp án phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất hàm phân thức bậc bậc Câu 8: Hàm số y  x đồng biến khoảng: x  A   ;  1 B   1;  C   ;  1   1;   D  Lời giải Chọn C  Lời giải tự luận: Ta có:  Tập xác định D  \   1  Đạo hàm y  x   0, x   hàm số đồng biến khoảng TXĐ   D Vậy hàm số đồng biến   ;  1   1;    Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến ln nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán