File vip 6

PHẦN V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  I KIẾN THỨC CƠ BẢN z Hệ tọa độ không gian  Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc k gọi hệ trục tọa độ không gian     Kí hiệu Oxyz (O, i, j , k ) với i, j , k vecto đơn vị   j O nằm trục i Điểm O gọi gốc tọa độ x Trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung, trục Oz gọi trục cao 2 2   2 y  Ta ý rằng: i  j  k 1 i j i.k  j.k 0 Tọa độ điểm    Ta có M ( x, y, z )  OM x.i  y j  z.k Chú ý: ta có kết quả:  M∈(Oxy)  z=0, tức M(x,y,0)  M∈(Oxz)  y=0, tức M(x,0,z)  M∈(Oyz)  x=0, tức M(0,y,z)  M∈Ox  y=0 z=0, tức M(x,0,0)  M∈Oy  x=0 z=0, tức M(0,y,0) z  M∈Oz  x=0 y=0, tức M(0,0,z) Tọa độ vectơ     A3  Ta có: v( x; y; z )  v  x.i  y j  z.k Chú ý: A    Cho vectơ v tồn điểm A cho v OA O ' Gọi A1 , A2 , A3 , A theo thứ tự hình chiếu vng góc A lên trục Ox,Oy,Oz mặt phẳng Oxy Ta  có:    A2 A1 A'   x OA OA'  A' A OA1  OA2  OA3 suy x, y, z tọa độ tương ứng điểm A1 , A2 , A3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz     v ( x ; y ; z ) x  v i ; y  v j ; z  v k Nếu   Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ v1 ( x1 , y1 , z1 ) v2 ( x2 , y2 , z2 ) ta có kết sau: y a b c d e  x1  x2    v1 v2   y2  y2  z z   a.v1 (a.x1 ; ay1 ; az1 ) với a  R   a.v1  b.v2 (a.x1  a.x1; ay1  b y2 ; az1  b.z2 ) với a, b  R   v1.v2  x1.x2  y1 y2  z1.z2   v1  v1  x12  y12  z12   cos v1 , v2    f x1.x2  y1 y2  z1.z2 x12  y12  z12 x22  y22  z22    v g  v2  v1.v2 0  x1.x2  y1 y2  z1.z2 0 Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm hai mút hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) ta có kết sau:  a AB ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )  AB  AB  ( xB  x A )  ( yB  y A )  ( z B  z A ) b   c Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức MA k MB ) có tọa độ  x A  kxB y A  ky B z A  kz B  ; ;   1 k 1 k   1 k  x A  xB y A  y B z A  z B ; ; 2  d Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ  Tích có hướng (hay tích vectơ) hai vectơ        Định nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ) hai vectơ v1  x1 ; y1 ; z1  v2  x2 ; y2 ; z2  kí hiệu  v1 , v2  vectơ xác định bởi:    y  v1 , v2      y2 z1 z1 ; z z2 x1 x1 ; x2 x2 y1   y2  Các tính chất: Ta có:      a  v1 , v2  0 hai vectơ v1 v2 phương     b Vectơ  v1 , v2  vng góc với hai vectơ v1 v2       c  v1 , v2   v1 v2 sin   góc hai vectơ v1 v2 Diện tích tam giác: Diện tích ABC có đỉnh cho công thức  1     S ABC   AB, AC   AB AC sin AB, AC 2   Điều kiện đồng phẳng ba vectơ     v1 , v2  v3 0      v1 , v2 v3 đồng phẳng khi:    Định lý: Điều kiện cần đủ để ba vectơ v1 , v2 v3 đồng phẳng là:    Như vậy, với v1  x1 ; y1 ; z1  , v2  x2 ; y2 ; z2  v3  x3 ; y3 ; z3  y1 y2 z1 z x3  z2 z2 x1 x y3  x2 x2 y1 z 0 y2 Thể tích hình hộp: Thể tích hình hộp cho công thức:    V   AB, AC  AD Thể tích tứ diện: Thể tích tứ diện cho cơng thức:    V   AB, AC  AD 6 Phương trình mặt cầu Định lí: Trong không gian Oxy , mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  bán kính R có phương trình:  S  :  x  a 2   y  b    z  c  R  1 Phương trình  1 gọi phương trình tắc mặt cầu Vậy, ta được:  S :  Tâm I  a; b; c   C :   Bán kính R  x  a 2   y  b    z  c  R Chú ý: Ta có: Mặt cầu tâm O bán kính R có phương trình x  y  z R Mặt cầu đơn vị có phương trình x  y  z 1 Định lý: Trong khơng gian Oxy , mặt  S  có phương trình  S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0  2 với a  b  c  d  phương trình mặt cầu tâm I  a; b; c  bán kính R  a  b  c  d Phương trình   gọi phương trình tổng quát mặt cầu II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , gốc O có tọa độ là: A  0; 0;  Câu 2: Câu 5: Câu 6: Câu 7: D  0; 0; 1 B  1; 0;  C  0; 1;  D  0; 0; 1  Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vectơ j có tọa độ là: A  0; 0;  Câu 4: C  0; 1;   Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vectơ i có tọa độ là: A  0; 0;  Câu 3: B  1; 0;  B  1; 0;  C  0; 1;  D  0; 0; 1  Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vectơ k có tọa độ là: A  0; 0;  B  1; 0;  C  0; 1;  D  0; 0; 1     Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vectơ u i  j  3k có tọa độ là: A  1;  2; 3 B  1; 2; 3 C   1; 2;  3    Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , vectơ u 3 j  2k có tọa độ là: D   1;  2; 3 A  0;  3;  B  0; 3;  D  0; 3;   C  0;  3;      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ u 3i  k có tọa độ là: A  3;0;1 B  3;0;  1 C   3;0;  1 D   3;0;1 Câu 8: Đáp số trắc nghiệm B     Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ u k  4i  j có tọa độ là: Câu 9: A  4;  2;1 B  1; 4;   C   2; 4;1 D   1;  4;  Đáp số trắc nghiệm A Chú ý: Để không bị nhầm lẫn xác định tọa độ vectơ thông qua biểu thức chứa ba vectơ sở       i , j , k em viết lại dạng xi  yj  zk (theo thứ tự)     Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ u  2; 1;  1 v  2; 1; a  Để u v điều kiện là: A a 0 B a 1 C a  D Vô nghiệm Đáp số trắc nghiệm D Lời giải tự luận: Ta có điều kiện là:  a , vô nghiệm   Vậy không tồn a để u v     Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , vectơ u  0;1;   v  0; a; b  Để u v điều kiện là: A a b 1 B a b 5 C a 1 b  D a  b 1 Đáp số trắc nghiệm C   Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , cho hai vectơ u1  3;  4;   u2  1; 0;  3 Vectơ    u 3u1  2u2 có tọa độ là: A  11;  12;  12  Đáp số trắc nghiệm A B  11; 12; 12  C   11; 12; 12  D   11;  12;  12    Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , cho hai vectơ u1   1;  3;6  u2  2;1;   Vectơ    u 2u1  5u2 có tọa độ là: A  12; 11;  37  B   12;  11; 37  Đáp số trắc nghiệm B Giải theo hướng tự luận:   u1   1;  3;6   2u1   2;  6;12    u2  2;1;     5u2   10;  5; 25      u 2u1  5u2   12;  11;37  C  12; 11; 37  D   12;  11;  37    Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , cho ba vectơ a   2;3;1 , b  5;  7;    c  3;  2;  Vectơ u 2a  b  4c có tọa độ là: A  11; 7; 14  B  11; 7;  14  C   11; 7;  14  D   11;  7;  14  Đáp số trắc nghiệm C  Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO FX-570 MS: Bằng cách thực theo thứ tự:  Thiết lập mơi trường làm việc với vectơ cho máy tính cách ấn: MODE MODE MODE   Để nhập tọa độ cho vectơ a ta ấn: SHIFT VCT 1 = () = = = =   Để nhập tọa độ cho vectơ b ta ấn: SHIFT VCT 1 = = () = =   Để nhập tọa độ cho vectơ c ta ấn: SHIFT VCT 1 = = () = =     Để tính u 2a  b  4c ta ấn  Vậy ta u   11; 7;  14  , ứng với đáp án C Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho tốn thì: + Trong cách lựa chọn đáp án băng việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS chúng sử dụng chức  tính vecto máy tính để tìm tọa độ vecto u Tuy nhiên, hầu hết em học sinh lần đầu đọc cách làm có chung nhận định “quá phức tạp” nhiều thời gian cách giải tự luận Điều hoàn tồn sai, với vecto có tọa độ lẻ  1  Oxyz u Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ , vecto  ; ;2  có độ dài là: 2  A 217 B 207 C Lời giải 217 D 217 Chọn A 2   1  4 217 + Lời giải tự luận: Ta có u        22   2  3 + Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn: Do ta chọn A     1   3 2 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vecto u1  ;  3;  , u2  1; ;  Vecto u 3u1  2u2 3 2   có độ dài là: A 5209 B 5409 C 5609 D 5809 Lời giải Chọn D    1 2 + Lời giải tự luận: Ta có u 3u1  2u2 3  ;  3;   3 2      35   1; ;    ; ;5      2      35  5809 Ta suy u          5   2   + Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn: Do ta chọn D   2    3 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vecto a  1; ;   , b  ;  5;  Gía trị a.b là: 2  3 3  13 17  17 13 A B C D 6 6 Lời giải Chọn A   13 + Lời giải tự luận: Ta có a.b 1    5   32 + Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn: Do ta chọn A    Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vecto a   2;3;1 , b  5;  7;0  , c  3;  2;  Gía    trị a b  c là:   A  39 B  33 C 33 D 39 Lời giải Chọn A    a + Lời giải tự luận: Ta có b  c   2;3;1   5;  7;    3;  2;    39   + Lựa chọn đáp án việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn: Do ta chọn A    Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vecto a  2;  1;3 , b  1;  3;2  , c  3;2;   Vecto     thỏa mãn a v  5, v b  5, c v 20 có tọa độ là: v A  2;3;  B  2;3;   C  2;  3;   Lời giải Chọn B + Lời giải tự luận kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS:  Gỉa sử v  x; y; z  ta biến đổi điều kiện dạng: 2 x  y  3z    x  3y  z  11  3 x  y  z 20   x 2   y   v  2;2;   cách ấn:   z   D   2;  3;   Do ta chọn B   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a  1;  3;  Vectơ b  2; y; z  phương với  vectơ a Câu 19 A y  z 4 B y  z 8 C y 6 z  D y 3 z  Lời giải Chọn B   3 Ta có : a // b     y z  y    b  2;  6;8    z 8  1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a   1;  ;  Vectơ 2   góc với vectơ a Câu 20 A 4a  3b  3c 0 B 4a  3b  3c 0 C 2a  3b  3c 0   a 3c  b   ; b;  vuông 2  D 2a  3b  3c 0 Lời giải Chọn D     a 3b 3c  0  2a  3b  3c 0 Ta có : a  b  a b 0   4 Nhận xét: Như vậy, qua 20 toán sử dụng kiến thức vectơ không gian để thực chúng Tiếp theo quan tâm tới toán tọa độ điểm không gian Câu 21 1   5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  9;  ;   B  8; ;  4   4   A AB  17;1;1 AB  291    3 217 B AB   1; ;  AB  2    C AB   17;  1;  1 AB  291    3 217 D AB   1; ;   AB    Lời giải Chọn B  1  3  Ta có : AB   9;  ;     1; ;  , 3 4  2   AB  2 16 217   1            3  2 Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  3;  1;  , B   5;3;   , C  1; 2;   Tọa độ trọng tâm ABC là: 1  A  ; ;  1 3    B   ; ;  1  3    C   ; ;1  3  1  D  ; ;1 3  Lời giải Chọn B   1    2      ; ; Trọng tâm G ABC có tọa độ: G     ; ;  1 3 3     Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  9;0;0  , B  0;9;0  , C  0;0;9  Tọa độ hình chiếu vng góc H O lên (ABC) là: A  9;9;9  B  9; 6;3 C  3;3;3 D  3;6;9  Lời giải Chọn C Nhận thấy O.ABC hình chóp nên H trọng tâm tam giác ABC, nên có tọa độ: G  3;3;3 Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M  1; 2;3 , N   1;0;  , P  2;  3;1 Q  2;1;  Cặp vectơ phương là:     A MN PQ B MP NQ   C MQ NP D Không tồn Lời giải Chọn C Lựa chọn đáp án phép thử 1: (từ trái qua phải) : Ta đánh giá:      Với đáp án A thì: MN   2;  2;1 PQ  0; 4;1  MN PQ không phương    Đáp án A bị loại     Với đáp án B thì: MP  1;  5;   NQ  3;1;    MP NQ không phương  Đáp án B bị loại     MQ 1;  1;  Với đáp án C   NP  3;  3;  3  MQ NP phương  Chọn đáp án C Nhận xét : Như vậy, để lựa chọn đáp án cho toán sử dụng phép thử:   Trong cách lựa chọn đáp án phép thử 1, cần thực ba phép thử Trong cách lựa chọn đáp án phép thử 2, cần thực hai phép thử Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M  2;0;0  , N  0;  3;0  P  0;0;  Nếu tứ giác MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Q là: A   2;  3;  B  3; 4;  C  2;3;  D   2;  3;   Lời giải Chọn C Cách : Giả sử Q  x; y; z  Khi đó, để MNPQ hình bình hành, điều kiện là:   MN //= PQ  MN QP    2;  3;0    x;  y;  z    x     y  0 4  z   x 2   y 3  Q  2;3;   z 4  Cách 2: Giả sử Q  x; y; z  Khi đó, để MNPQ hình bình hành, điều kiện MP NQ cắt trung điểm đường Gọi I, J theo thứ tự trung điểm MP NQ, ta có: I  1; 0;   x y z J ; ; ,  2 2 x  1  y I J    0  z  2   x 2   y 3  Q  2;3;   z 4  Lựa chọn đáp án phép thử 1.1: (từ trái qua phải) : Để MNPQ hình bình hành,    điều kiện MN QP , với MN   2;  3;0     Ta đánh giá:  Với đáp án A QP  2;3;0  nên đáp án A bị loại  Với đáp án B QP   3;  4;  nên đáp án B bị loại   Với đáp án C QP   2;  3;0  MN nên chọn đáp án C Lựa chọn đáp án phép thử 1.2: (từ trái qua phải) : Để MNPQ hình bình hành,