Vectơ ngẫu nhiên hai chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU Giáo viên hướng dẫn : TS Tôn Thất Tú Sinh viên thực : Dương Tâm Thảo Lớp : 19ST2 MSSV : 3110119069 Đà Nẵng, năm 2023 LỜI CẢM ƠN Lời em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Tôn Thất Tú – thầy trực tiếp bảo tận tình hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu để em hồn thiện khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng truyền đạt kiến thức, rèn luyện kỹ tạo điều kiện tốt để em thực khóa thực tập tốt nghiệp Do kiến thức thân hạn chế thiếu kinh nghiệm thực tiễn nên nội dung nghiên cứu khó tránh thiếu sót Em mong nhận góp ý, dạy thêm từ quý thầy Cuối cùng, em kính chúc q thầy thật nhiều sức khỏe tràn đầy nhiệt huyết để tiếp tục dẫn dắt nhiều hệ sinh viên theo ngành học cao quý thiêng liêng Em xin chân thành cảm ơn! Dương Tâm Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hệ tiên đề Kolmogorov 1.2 Xác suất có điều kiện 1.3 Công thức nhân xác suất 1.4 Biến cố độc lập 1.5 Biến ngẫu nhiên 1.6 Kỳ vọng phương sai 1.5.2 Kì vọng 1.5.2 Phương sai 10 1.7 Một số phân phối xác suất 10 1.6.1 Phân phối nhị thức 10 1.6.2 Phân phối chuẩn 11 Chương VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Phân bố xác xuất vectơ ngẫu nhiên 13 2.2.1 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 13 2.2.2 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều liên tục 17 2.2.3 Hàm phân phối xác suất đồng thời 20 2.3 Phân bố xác suất có điều kiện kì vọng có điều kiện 21 2.3.1 Phân phối đồng thời rời rạc 21 2.3.2 Phân phối đồng thời liên tục 22 2.4 Hiệp phương sai, hệ số tương quan 25 2.4.1 Hiệp phương sai 25 2.4.2 Hệ số tương quan 26 2.5 Hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục 29 2.6 Phân phối chuẩn hai chiều 34 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngành Toán học, nghiên cứu tượng ngẫu nhiên quy luật ngẫu nhiên Từ ứng dụng trò chơi may rủi, lý thuyết xác suất phát triển thành ngành khoa học có vai trị quan trọng sống Ngày nay, lĩnh vực xác suất phát triển mạnh mẽ, chặt chẽ lý thuyết có ứng dụng sâu rộng khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế nhiều ngành khác Trong lý thuyết xác suất, để mô tả đại lượng nhận giá trị biến thiên phép thử ngẫu nhiên ta dùng khái niệm biến ngẫu nhiên Tổng quát hơn, ta có khái niệm vectơ ngẫu nhiên, giúp ta mô tả đồng thời nhiều đại lượng biến thiên phép thử Với mong muốn tìm hiểu kỹ quy luật phân phối tính chất vectơ ngẫu nhiên hai chiều, hướng dẫn thầy giáo TS Tôn Thất Tú, định chọn đề tài: “Vectơ ngẫu nhiên hai chiều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Hệ thống khái niệm bản, nghiên cứu tìm hiểu quy luật phân phối tính chất liên quan đến vectơ ngẫu nhiên hai chiều Đối tượng nghiên cứu Phân bố xác xuất vectơ ngẫu nhiên, phân bố xác suất có điều kiện kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan vectơ ngẫu nhiên hai chiều Phạm vi nghiên cứu Vectơ ngẫu nhiên hai chiều: quy luật phân phối, khái niệm liên quan tính chất Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức Lý thuyết xác suất - Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến phân bố xác xuất vectơ ngẫu nhiên, phân bố xác suất có điều kiện kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan - Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm - Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài mình Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ, trình bày số kiến thức Lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Gồm mục: - 1.1 Xác suất có điều kiện 1.2 Công thức nhân xác suất 1.3 Biến cố độc lập 1.4 Biến ngẫu nhiên 1.5 Kỳ vọng phương sai 1.6 Một số phân phối xác suất Chương VECTƠ NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU bao gồm mục: - 2.1 Định nghĩa 2.2 Phân bố xác xuất vectơ ngẫu nhiên 2.3 Phân bố xác xuất có điều kiện kì vọng có điều kiện 2.4 Hiệp phương sai, hệ số tương quan 2.5 Hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục 2.6 Phân phối chuẩn hai chiều Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương dành cho việc trình bày số kiến thức Lý thuyết xác suất Các khái niệm tính chất chương trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Hệ tiên đề Kolmogorov • Tiên đề thứ Với tập 𝐸 ∈ 𝐹, nghĩa với biến cố E, 𝑃(𝐸) ≥ Nghĩa là, xác suất biến cố số thực không âm • Tiên đề thứ hai 𝑃(𝛺) = Nghĩa là, xác suất biến cố sơ cấp tập mẫu xảy Cụ thể hơn, khơng có biến cố sơ cấp nằm ngồi tập mẫu Điều thường bị bỏ qua số nhầm lẫn tính tốn xác suất; ta khơng thể định nghĩa xác tồn tập mẫu định nghĩa xác suất tập • Tiên đề thứ ba Một chuỗi đếm gồm biến cố đôi không giao 𝐸1 , 𝐸2 , … thỏa mãn 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … ) = ∑ 𝑃(𝐸𝑖 ) Nghĩa là, xác suất tập biến cố hợp tập không giao tổng xác suất tập Đó gọi σ-cộng tính (σadditivity) Quan hệ khơng có hai tập giao 1.2 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) hai biến cố 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ với 𝑃(𝐵) ≠ Xác suất A với điều kiện B xảy ra, kí hiệu 𝑃(𝐴|𝐵), xác định 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Tính chất 1.1 1) 𝑃(∅|𝐵) = 0, 𝑃(𝐵|𝐵) = 1, 𝑃(Ω|𝐵) = 2) 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴̅|𝐵) = 3) Nếu (𝐴𝑖 ; ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) biến cố đơi xung khắc thì: 𝑛 𝑛 𝑃 (⋃ 𝐴𝑖 |𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 |𝐵) 𝑖=1 𝑖=1 4) Nếu 𝑃(𝐵) ≠ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵) Nếu 𝑃(𝐴) ≠ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) 5) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑛ế𝑢 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) ≠ 1.3 Công thức nhân xác suất Định lí 1.1 Cho 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 biến có không gian mẫu Ω thỏa mãn 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) ≠ Khi đó: 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 |𝐴1 )𝑃(𝐴3 |𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 |𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) 1.4 Biến cố độc lập Định nghĩa 1.2 Hai biến cố A B gọi độc lập 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.3 Một tập hữu hạn biến cố {𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 } (n ≥ 2) gọi độc lập với k (2 ≤ k ≤ n) biến cố 𝐴𝑛1 , 𝐴𝑛2 … , 𝐴𝑛𝑘 , ≤ 𝑛1 < 𝑛2 < ⋯ < 𝑛𝑘 ≤ 𝑛, ta có: 𝑃(𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 … 𝐴𝑛𝑘 ) = 𝑃(𝐴𝑛1 )𝑃(𝐴𝑛2 ) … 𝑃(𝐴𝑛𝑘 ) Dễ thấy rằng, tập biến cố tập hữu hạn biến cố độc lập độc lập Trường hợp n = 3, ba biến cố A, B, C độc lập thỏa mãn đẳng thức sau: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵𝐶) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐶), 𝑃(𝐶𝐴) = 𝑃(𝐶)𝑃(𝐴), 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶) Định lí 1.2 Nếu A B độc lập A 𝐵, 𝐴 B, 𝐴 𝐵 cặp biến cố độc lập Nhận xét 1.2 Từ Định lí 1.2, ta có: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 biến cố độc lập biến cố 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 , 𝐵𝑖 𝐴𝑖 𝐴𝑖 , độc lập Định nghĩa 1.4 Một tập hữu hạn biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 (n ≥ 2) gọi đôi độc lập với 𝑖 ≠ 𝑗 ta có: 𝑃(𝐴𝑖 𝐴𝑗 ) = 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐴𝑗 ) Nhận xét 1.3 Các biến cố 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 độc lập chúng độc lập đơi Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không 1.5 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.5 Cho không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) Ánh xạ X : Ω → ℝ gọi biến ngẫu nhiên với 𝐴 ∈ 𝓑(ℝ): 𝑋 −1 (𝐴) = {𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋(𝜔) ∈ 𝐴} ∈ ℱ Tập tất giá trị X gọi miền giá trị X kí hiệu 𝑋(Ω) 1.6 Kỳ vọng phương sai 1.5.2 Kì vọng Định nghĩa 1.6 Cho biến ngẫu nhiên X xác định khơng gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) có hàm phân phối xác suất 𝐹𝑋 (𝑥) Khi đó, ∫ |𝑥|𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) < +∞, ℝ (trong tích phân vế phải tích phân Lebesgue - Stieltjes) giá trị ∫ 𝑥𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) ℝ gọi kỳ vọng biến ngẫu nhiên X, kí hiệu 𝐸(𝑋), tức là: 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) ℝ Tính chất 1.2 1) Nếu X = C số E(C) = C 2) Nếu a, b ∈ R X, Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) thì: 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏 𝑣à 𝐸(𝑋 ± 𝑌 ) = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌 ) Định lí 1.3 1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất 𝑝(𝑥) thì: 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑘 𝑝(𝑥𝑘 ) 𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺) 2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) thì: +∞ 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ Định lí 1.4 Cho X biến ngẫu nhiên g(x) hàm Borel ℝ cho ∫ |𝑔(𝑥)|𝑑𝐹𝑋 (𝑥) < ∞ ℝ Khi đó: 1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p(x) thì: 𝐸(𝑔(𝑋)) = ∑ 𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺) 𝑔(𝑥𝑘 )𝑝(𝑥𝑘 ) 2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) thì: +∞ 𝐸(𝑔(𝑋)) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ 1.5.2 Phương sai Định nghĩa 1.7 Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 xác định không gian xác suất (Ω, ℱ, 𝑃) Khi đó, tồn kỳ vọng 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋)) giá trị gọi phương sai biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝑉(𝑋) (𝑉𝑎𝑟(𝑋), 𝐷(𝑋)), tức là: V(X) = E(X − E(X)) Tính chất 1.3 1) 𝑉(𝑋) ≥ 0, 𝑉(𝑋) = P(X = C) = (C - số) 2) (𝑉 𝑋) = 𝐸(𝑋 ) − (𝐸(𝑋))2 3) 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 𝑉(𝑋) với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Định lí 1.5 1) Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 có hàm xác suất 𝑝(𝑥) thì: 𝑉(𝑋) = ∑ 𝑥𝑘2 𝑝(𝑥𝑘 ) − ( ∑ 𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺) 𝑥𝑘 𝑝 (𝑥𝑘 )) 𝑥𝑘 ∈ 𝑋(𝛺) 2) Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) thì: +∞ 𝑉(𝑋) = ∫ +∞ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − (∫ −∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥) −∞ 1.7 Một số phân phối xác suất 1.6.1 Phân phối nhị thức Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 gọi có phân phối nhị thức với tham số 𝑛 𝑝(𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑣à < 𝑝 < 1) 𝑋 có miền giá trị 𝑋(Ω) = {0, 1, , 𝑛} hàm xác suất: 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑋(𝛺) 𝑝(𝑘) = { 0, 𝑘 ∉ 𝑋(𝛺) 10 𝐷(𝑋) = 𝐸(𝑋 ) − (𝐸𝑋)2 = ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖2 − 2,22 = 0,76 𝐷(𝑌) = 𝐸(𝑌 ) − (𝐸𝑌)2 = ∑ 𝑝𝑖 𝑦𝑖2 − 1,62 = 0,24 Suy ra: 𝜌(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) √𝐷(𝑋)𝐷(𝑌) = −0,02 √0,76 0,24 = −0,0468 2.5 Hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục Cho hàm hai biến liên tục 𝑔(𝑥, 𝑦) (𝑋, 𝑌) vectơ ngẫu nhiên có phân phối đồng thời liên tục với hàm mật độ đồng thời 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) Khi đó, kỳ vọng 𝐸𝑔(𝑋, 𝑌) tính: ∞ ∞ 𝐸𝑔(𝑋, 𝑌) = ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞ Ví dụ 2.8 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ đồng thời : 𝑥 + 𝑦, 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = { 0, 𝑛ế𝑢 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑛ế𝑢 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖 Tìm 𝐸(𝑋𝑌 ) Giải Ta có: ∞ ∞ 1 𝐸(𝑋𝑌 ) = ∫ ∫ (𝑥𝑦 )𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑥𝑦 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞ 1 0 1 17 = ∫ ∫ 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( 𝑦 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 = 72 0 Nếu 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌) ta có hàm phân phối sau: 𝐹𝑧 (𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 𝑃(𝑔(𝑋, 𝑌) ≤ 𝑧) = ∬ 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 29 Khi {(𝑥, 𝑦)|𝑔(𝑥, 𝑦) < 𝑧}, để tìm hàm mật độ xác suất Z, ta lấy vi phân 𝐹𝑧 (𝑧) Ví dụ 2.9 Cho X Y hai biến độc lập có phân phối đoạn [0, 1] 𝑍 = 𝑋𝑌 Tìm hàm mật độ hàm phân phối xác suất đồng thời Z Giải Trước tiên ý tập giá trị 𝑍 𝑅𝑧 = [0,1] Như vậy, 𝐹𝑧 (𝑧) = 0, 𝑣ớ𝑖 𝑧 ≤ 0, 𝐹𝑧 (𝑧) = 1, 𝑣ớ𝑖 𝑧 ≥ Với < 𝑧 < 1, ta có: 𝐹𝑧 (𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 𝑃(𝑋𝑌 ≤ 𝑧) 𝑧 Có cách để tính 𝑃 (𝑋 ≤ ) với < 𝑧 < Cách thứ ta cần lấy 𝑌 𝑧 tích phân 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) với 𝑥 ≤ Ta có: 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝑃 (𝑋 ≤ ) = ∫ ∫ 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑌 0 𝑧 𝑚𝑖𝑛(1, ) 𝑦 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑚𝑖𝑛 (1, ) 𝑑𝑦 𝑦 ∫ 0 𝑧 Chú ý ta để 𝑔(𝑦) = 𝑚𝑖𝑛 (1, ), thì: 𝑦 1, 𝑔(𝑦) = { 𝑧 , 𝑦 𝑣ớ𝑖 < 𝑦 < 𝑧 𝑣ớ𝑖 𝑧 ≤ 𝑦 ≤ Vì thế, 𝑧 𝑧 𝑧 𝑃 (𝑋 ≤ ) = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑦 = 𝑧 − 𝑧ln𝑧 𝑌 𝑦 0 𝑧 𝑧 Cách thứ hai để tìm 𝑃 (𝑋 ≤ ) sử dụng công thức xác suất tồn phần 𝑌 Ta có, X Y độc lập nên 1 𝑧 𝑧 𝑧 𝑃 (𝑋 ≤ ) = ∫ 𝑃 (𝑋 ≤ |𝑌 = 𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑃 (𝑋 ≤ ) 𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 𝑌 𝑌 𝑌 0 30 Chú ý rằng, 1, 𝑧 𝑃 (𝑋 ≤ ) = { 𝑧 , 𝑌 𝑦 𝑣ớ𝑖 < 𝑦 < 𝑧 𝑣ớ𝑖 𝑧 ≤ 𝑦 ≤ Vì thế, 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 𝑃 (𝑋 ≤ ) = ∫ 𝑃 (𝑋 ≤ ) 𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑦 = 𝑧 − 𝑧ln𝑧 𝑌 𝑌 𝑦 0 𝑧 Như vậy, ta thu được: 0, 𝑧≤0 𝐹𝑍 (𝑧) = {𝑧 − 𝑧ln𝑧, < 𝑧 < 1, 𝑧≥1 Ta có 𝐹𝑍 (𝑧) hàm liên tục Để tìm hàm mật độ xác suất, ta lấy đạo hàm hàm phân phối Ta có: 𝑓𝑍 (𝑧) = { −ln𝑧, < 𝑧 < 0, 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑙ạ𝑖 Phương pháp biến đổi: Định lí 2.10: Cho X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục Đặt (𝑍, 𝑊) = 𝑔(𝑋, 𝑌) = (𝑔1 (𝑋, 𝑌), 𝑔2 (𝑋, 𝑌)), 𝑔: ℝ2 ↦ ℝ2 hàm - (khả nghịch) liên tục với đạo hàm riêng liên tục Đặt ℎ = 𝑔−1 , tức là, (𝑋, 𝑌) = ℎ(𝑍, 𝑊) = (ℎ1 (𝑍, 𝑊), ℎ2 (𝑍, 𝑊)) Sau 𝑍 𝑊 liên tục hàm mật độ xác suất kết hợp chúng, 𝑓𝑍𝑊 (𝑧, 𝑤), cho (𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅𝑧𝑤 đưa bởi: 𝑓𝑍𝑊 (𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑋𝑌 (ℎ1 (𝑧, 𝑤), ℎ2 (𝑧, 𝑤))|J|, Tại J định thức Jacobian h định nghĩa bởi: 𝜕ℎ1 𝐽 = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝜕𝑧 𝜕ℎ2 𝜕𝑧 𝜕ℎ1 𝜕𝑤 ] = 𝜕ℎ1 𝜕ℎ2 − 𝜕ℎ2 𝜕ℎ1 𝜕ℎ2 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑤 Các ví dụ sau cho thấy cách áp dụng định lý 31 Ví dụ 2.10 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên chuẩn tắc chuẩn độc lập Xét hai biến ngẫu nhiên 𝑍, 𝑊: 𝑍 = 2𝑋 − 𝑌 { 𝑊 = −𝑋 + 𝑌 Tìm 𝑓𝑍,𝑊 (𝑧, 𝑤) Giải Vì X Y độc lập nên hàm mật độ xác suất đồng thời chúng cho bởi: 𝑥2 + 𝑦2 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑒𝑥𝑝 {− } , 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥, 𝑦𝜖ℝ 2𝜋 Ở đây, hàm g xác định bởi: (𝑧, 𝑤) = 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑔1 (𝑥, 𝑦), 𝑔2 (𝑥, 𝑦)) = (2𝑥 − 𝑦, −𝑥 + 𝑦) Giải cho x y, ta thu hàm ngược h: 𝑥 = 𝑧 + 𝑤 = ℎ1 (𝑧, 𝑤) { 𝑦 = 𝑧 + 2𝑤 = ℎ2 (𝑧, 𝑤) Ta có: 𝑓𝑍𝑊 (𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑋𝑌 (ℎ1 (𝑧, 𝑤), ℎ2 (𝑧, 𝑤))|J| = 𝑓𝑋𝑌 (𝑧 + 𝑤, 𝑧 + 2𝑤) |J|, 𝜕ℎ1 𝐽 = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝜕𝑧 𝜕ℎ2 𝜕𝑧 𝜕ℎ1 𝜕𝑤 ] = 𝑑𝑒𝑡 [1 1] = 𝜕ℎ2 𝜕𝑤 Vì vậy, ta kết luận 𝑓𝑍𝑊 (𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑋𝑌 (𝑧 + 𝑤, 𝑧 + 2𝑤) |J| (𝑧 + 𝑤)2 (𝑧 + 2𝑤)2 = 𝑒𝑥𝑝 {− } 2𝜋 2𝑧 + 5𝑤 + 6𝑧𝑤 = 𝑒𝑥𝑝 − { } 2𝜋 Ví dụ 2.11 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ kết hợp xác suất 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) Đặt 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 Tìm 𝑓𝑍 (𝑧) 32 Giải Áp dụng định lí 2.10, ta cần hai biến ngẫu nhiên Z W Chúng ta định nghĩa đơn giản 𝑊 = 𝑋 Như vậy, hàm 𝑔 đưa 𝑧 =𝑥+𝑦 { 𝑤=𝑥 Sau ta tìm hàm ngược: 𝑥=𝑤 {𝑦 = 𝑧 − 𝑤 Ta có: |J| = |𝑑𝑒𝑡 [ ]| = |−1| = 1 −1 Như vậy, 𝑓𝑍𝑊 (𝑧, 𝑤) = 𝑓𝑋𝑌 (𝑤, 𝑧 − 𝑤) Nhưng quan tâm đến hàm mật độ xác suất biên nên 𝑓𝑍 , nên: ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋𝑌 (𝑤, 𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 −∞ Lưu ý rằng, X Y độc lập nên 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥, 𝑦)𝑓𝑌 (𝑦) ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑤)𝑓𝑌 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 −∞ Tích phân gọi tích chập 𝑓𝑋 𝑓𝑌 , ∞ ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = 𝑓𝑋 (𝑧) 𝑓𝑌 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑤)𝑓𝑌 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 = ∫ 𝑓𝑌 (𝑤)𝑓𝑋 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 −∞ −∞ Tóm lại, Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục đồng thời 𝑍 = 𝑋 + 𝑌, thì: ∞ ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋𝑌 (𝑤, 𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 = ∫ 𝑓𝑋𝑌 (𝑧 − 𝑤, 𝑤)𝑑𝑤 −∞ −∞ Nếu X Y hai biến độc lập, thì: 33 ∞ ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = 𝑓𝑋 (𝑧) 𝑓𝑌 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑤)𝑓𝑌 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 = ∫ 𝑓𝑌 (𝑤)𝑓𝑋 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 −∞ −∞ Ví dụ 2.12 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc độc lập đặt 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 Tìm hàm mật độ xác suất Z Giải Ta có: ∞ 𝑓𝑍 (𝑧) = 𝑓𝑋 (𝑧) 𝑓𝑌 (𝑧) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑤)𝑓𝑌 (𝑧 − 𝑤)𝑑𝑤 −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −𝑤 −(𝑧−𝑤)2 −𝑧 −(𝑤−𝑧)2 −𝑧 2 2 = ∫ 𝑒 𝑒 𝑑𝑤 = 𝑒 ∫ 𝑒 𝑑𝑤 = 𝑒 2𝜋 √4𝜋 √𝜋 √4𝜋 2.6 Phân phối chuẩn hai chiều Theo tính chất ta biết tổng hai biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập tuân theo luật phân phối chuẩn Tuy nhiên, hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn khơng độc lập tổng chúng khơng thiết có phân phối chuẩn Đây phản ví dụ đơn giản: Ví dụ 2.13 Cho 𝑋 ∼ 𝑁(0,1) 𝑊 ∼ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 ( ) biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa biến ngẫu nhiên 𝑌 hàm X W: 𝑥, 𝑌 = ℎ(𝑋, 𝑊) = { −𝑥, 𝑛ế𝑢 𝑊 = 𝑛ế𝑢 𝑊 = Tìm hàm mật độ xác suất 𝑌 𝑋 + 𝑌 Giải 𝐹𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦|𝑊 = 0)𝑃(𝑊 = 0) + 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦|𝑊 = 1)𝑃(𝑊 = 1) 1 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑦|𝑊 = 0) + 𝑃(−𝑋 ≤ 𝑦|𝑊 = 1) 2 1 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑦) + 𝑃(−𝑋 ≤ 𝑦)(vì 𝑋 𝑊 độc lập) 2 34 1 = Φ(𝑦) + Φ(𝑦)(vì 𝑋 − 𝑋 𝑁(0,1)) 2 = Φ(𝑦) Do đó, 𝑌 ∼ 𝑁(0,1) Bây giờ, lưu ý 2𝑋 với xác suất 𝑍 =𝑋+𝑌 ={ với xác suất Như vậy, Z biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất cho bởi: 1 𝑓𝑍 (𝑧) = 𝛿(𝑧) + (hàm mật độ xác suất 2𝑋 𝑧) 2 1 𝑓𝑍 (𝑧) = 𝛿(𝑧) + (hàm mật độ xác suất 𝑁(0,4) 𝑧) 2 −𝑧 1 = 𝛿(𝑧) + 𝑒 4√2𝜋 Đặc biệt, lưu ý X Y có phân phối chuẩn tổng chúng khơng Bây giờ, ta sẵn sàng để định nghĩa phân phối chuẩn hai chiều Định nghĩa 2.8 Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi có phân phối chuẩn hai chiều 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 có phân phối chuẩn với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Trong định nghĩa trên, ta đặt 𝑎 = 𝑏 = 0, 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = Do đó, số biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình phương sai Nhận xét + Nếu X Y có phân phối chuẩn hai chiều, sau cách cho 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, ta kết luận X có phân phối chuẩn + Nếu X Y có phân phối chuẩn hai chiều, sau cách cho 𝑎 = 0, 𝑏 = 1, ta kết luận Y có phân phối chuẩn + Nếu 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ) 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 ) độc lập chúng có phân phối chuẩn hai chiều + Nếu 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ) 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 ) có phân phối chuẩn hai chiều 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇𝑋 + 𝜇𝑌 , 𝜎𝑋2 + 𝜎𝑌2 + 2𝜌(𝑋, 𝑌)𝜎𝑋 𝜎𝑌 ) 35 Ví dụ 2.14 Hãy để 𝑍1 𝑍2 hai độc lập có phân phối chuẩn tắc 𝑁(0,1) Định nghĩa 𝑋 = 𝑍1 𝑌 = 𝜌𝑍1 √1 − 𝜌2 𝑍2 , Trong 𝜌 số thực (−1,1) a) Chứng tỏ vectơ (𝑋, 𝑌) có phân phối chuẩn hai chiều b) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời X Y c) Tìm 𝜌(𝑋, 𝑌) Giải Đầu tiên, lưu ý 𝑍1 𝑍2 có phân phối chuẩn độc lập, chúng có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ xác suất đồng thời: 𝑓𝑍1 ,𝑍2 (𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑓𝑍1 (𝑧1 )𝑓𝑍2 (𝑧2 ) = 1 ⅇxp {− [𝑧12 + 𝑧22 ]} 2𝜋 a) Ta cần chứng minh 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 chuẩn tắc với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Ta có: 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 = 𝑎𝑍1 + 𝑏(𝜌𝑍1 √1 − 𝜌2 𝑍2 ) = (𝑎 + 𝑏𝜌)𝑍1 + 𝑏√1 − 𝜌2 𝑍2 , Với 𝑍1 𝑍2 tổ hợp tuyến tính chúng có phân phối chuẩn b) Ta dùng phương pháp phép biến đổi (Định lý 2.10) để tìm hàm phân phối xác suất kết hợp X Y Biến đổi nghịch đảo đưa 𝑍1 = 𝑋 = ℎ1 (𝑋, 𝑌), 𝑍2 = − 𝜌 √1 − 𝜌 𝑋+ √1 − 𝜌2 𝑌 = 𝑋 = ℎ2 (𝑋, 𝑌) Ta có: 𝑓𝑋𝑌 (𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑓𝑍1 ,𝑍2 (ℎ1 (𝑥, 𝑦), ℎ2 (𝑥, 𝑦))|𝐽| = 𝑓𝑍1 ,𝑍2 (𝑥, − 36 𝜌 √1 − 𝜌 𝑥+ √1 − 𝜌2 𝑦) |𝐽|, Trong đó, 𝜕ℎ1 𝐽 = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝜕𝑧 𝜕ℎ2 𝜕𝑧 𝜕ℎ1 𝜕𝑤 ] = 𝑑𝑒𝑡 [ 𝜌 − 𝜕ℎ2 √1 − 𝜌 𝜕𝑤 ]= √1 − 𝜌2 √1 − 𝜌2 Vì vậy, 𝑓𝑋𝑌 (𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑓𝑍1 ,𝑍2 (𝑥, − = = 𝜌 √1 − 𝜌 𝑥+ √1 − 𝜌2 𝑦) |𝐽| 1 1 (−𝜌𝑥 ⅇxp {− [𝑥 + + 𝑦) ]} 2𝜋 − 𝜌2 √1 − 𝜌2 2𝜋√1 − 𝜌2 ⅇxp {− 1 2] [𝑥 − 2𝜌𝑥𝑦 + 𝑦 } 2(1 − 𝜌2 ) √1 − 𝜌2 c) Để tìm 𝜌(𝑋, 𝑌), ý 𝑉(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑍1 ) = 1, 𝑉(𝑌) = 𝜌2 𝑉(𝜌2 ) + (1 − 𝜌2 )𝑉(𝑍2 ) = Vì vậy, 𝜌(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣 (𝑍1 , 𝜌𝑍1 + √1 − 𝜌2 𝑍2 ) = 𝜌𝐶𝑜𝑣(𝑍1 , 𝑍1 ) + √1 − 𝜌2 𝐶𝑜𝑣(𝑍1 , 𝑍2 ) = 𝜌 1√1 − 𝜌2 ⋅ = 𝜌 Ta gọi phân phối kết hợp cho X Y phân phối chuẩn hai chiều với hệ số tương quan 𝜌 Hai biến ngẫu nhiên X Y cho có phân phối chuẩn hai chiều với hệ số tương quan ρ hàm mật độ xác suất kết hợp chúng đưa 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 2𝜋√1 − 𝜌2 ⅇxp {− [𝑥 − 2𝜌𝑥𝑦 + 𝑦 ]}, 2(1 − 𝜌2 ) 𝜌 ∈ (−1,1) Nếu 𝜌 = 0, ta nói X Y có phân phối chuẩn tắc hai chiều 37 Bây giờ, muốn hai biến ngẫu nhiên chuẩn tắc kết hợp X Y cho 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ) 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 ), 𝜌(𝑋, 𝑌) = 𝜌, bạn bắt đầu với hai 𝑁(0,1) độc lập biến ngẫu nhiên, 𝑍1 𝑍2 , xác định 𝑋 = 𝜎𝑋 𝑍1 + 𝜇𝑋 { 𝑌 = 𝜎𝑌 (𝜌𝑍1 + √1 − 𝜌2 𝑍2 + 𝜇𝑌 Ta tìm thấy hàm mật độ xác suất kết hợp X Y Mặc dù hàm mật độ xác suất kết hợp có cơng thức lớn, ta thường khơng cần sử dụng cơng thức Thay vào đó, ta thường làm việc với thuộc tính biến ngẫu nhiên chuẩn tắc kết hợp giá trị trung bình, phương sai hiệp phương sai chúng Tổng quát hơn, ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.9 Hai biến ngẫu nhiên X Y cho có phân phối chuẩn hai chiều với tham số 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 , 𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 , 𝜌, hàm mật độ xác suất đồng thời chúng cung cấp bởi: 𝑥 − 𝜇𝑋 𝑦 − 𝜇𝑌 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = ⅇxp {− [( ) +( ) 2(1 − 𝜌2 ) 𝜎𝑋 𝜎𝑌 2𝜋𝜎𝑋 𝜎𝑌 √1 − 𝜌2 (𝑥 − 𝜇𝑋 )(𝑦 − 𝜇𝑌 ) − 2𝜌 ]} 𝜎𝑋 𝜎𝑌 𝜇𝑋 , 𝜇𝑌 ∈ ℝ, 𝜎𝑋 𝜎𝑌 > 𝜌 ∈ (−1,1) số Định lí 2.12 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai chiều, nghĩa hàm mật độ xác suất kết hợp chúng cho phương trình định nghĩa 2.9 Khi tồn hai biến ngẫu nhiên chuẩn tắc độc lập 𝑍1 𝑍2 cho 𝑋 = 𝜎𝑋 𝑍1 + 𝜇𝑋 { 𝑌 = 𝜎𝑌 (𝜌𝑍1 + √1 − 𝜌2 𝑍2 + 𝜇𝑌 Để chứng minh định lý, cần xác định 𝑋 − 𝜇𝑋 𝜎𝑋 −𝜌 𝑋 − 𝜇𝑋 𝑌 − 𝜇𝑌 𝑍2 = + √1 − 𝜌2 𝜎𝑋 √1 − 𝜌2 𝜎𝑌 𝑍1 = { 38 Bây tìm hàm mật độ xác suất đồng thời 𝑍1 𝑍2 sử dụng phương pháp biến đổi (Định lý 2.10), tương tự Ta thấy 𝑍1 𝑍2 độc lập có phân phối chuẩn tắc, theo định nghĩa thỏa mãn điều kiện Định lý 2.12 Ví dụ 2.15 Cho X Y biến ngẫu nhiên chuẩn với tham số 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 , 𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 , 𝜌 Tìm phân phối có điều kiện Y với điều kiện 𝑋 = 𝑥 Giải Sử dụng công thức hàm mật độ xác suất đồng thời (Định nghĩa 2.9) Vì 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 ), ta sử dụng 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦|𝑥) = 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑓𝑋 (𝑥) Một cách khác để giải sử dụng Định lý 2.12 Ta có: 𝑋 = 𝜎𝑋 𝑍1 + 𝜇𝑋 { 𝑌 = 𝜎𝑌 (𝜌𝑍1 + √1 − 𝜌2 𝑍2 + 𝜇𝑌 Do đó, cho 𝑋 = 𝑥, ta có: 𝑍1 = 𝑋 − 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋 𝑌 = 𝜎𝑌 𝜌 𝑋 − 𝜇𝑋 + 𝜎𝑌 √1 − 𝜌2 𝑍2 + 𝜇𝑌 𝜎𝑋 Ta có 𝑍1 𝑍2 độc lập 𝑍1 không cung cấp thông tin 𝑍2 Ta biết 𝑋 = 𝑥, Y hàm tuyến tính 𝑍2 , tn theo luật phân phối chuẩn Đặc biệt 𝐸[𝑌|𝑋 = 𝑥] = 𝜎𝑌 𝜌 𝑋 − 𝜇𝑋 + 𝜎𝑌 √1 − 𝜌2 𝐸[𝑍2 ] + 𝜇𝑌 𝜎𝑋 = 𝜇𝑌 + 𝜌𝜎𝑌 𝑋 − 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝜎𝑌2 (1 − 𝜌2 )𝑉𝑎𝑟(𝑍2 ) = (1 − 𝜌2 )𝜎𝑌2 Kết luận cho 𝑋 = 𝑥, Y phân phối chuẩn với giá trị 𝜇𝑌 + 𝜌𝜎𝑌 𝑋−𝜇𝑋 𝜎𝑋 phương sai (1 − 𝜌2 )𝜎𝑌2 39 Định lí 2.13 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên chuẩn với tham số 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 , 𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 , 𝜌 Khi đó, cho trước 𝑋 = 𝑥, Y có phân phối chuẩn với 𝐸[𝑌|𝑋 = 𝑥] = 𝜇𝑌 + 𝜌𝜎𝑌 𝑋 − 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝜌2 )𝜎𝑌2 Ví dụ 2.16 Cho X Y biến ngẫu nhiên chuẩn tắc với tham số 𝜇𝑋 = 1, 𝜎𝑋2 = 1, 𝜇𝑌 = 0, 𝜎𝑌2 = 4, 𝜌 = a) Tìm 𝑃(2𝑋 + 𝑌 ≤ 3) b) Tìm 𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑋 − 𝑌) c) Tìm 𝑃(𝑌 > 1|𝑋 = 1) Giải a) Với X Y chuẩn, biến ngẫu nhiên 𝑉 = 2𝑋 + 𝑌 phân phối chuẩn Ta có 𝐸𝑉 = 2𝐸𝑋 + 𝐸𝑌 = 2, 𝑉𝑎𝑟(𝑉) = 4𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 4𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = + + 4𝜎𝑋 𝜎𝑌 𝜌(𝑋, 𝑌) = + 4.1.2.12 = 12 Do đó, 𝑉 ∼ 𝑁(2,12) Vì thế, 𝑃(𝑉 ≤ 3) = Φ = ( 3−2 √12 ) = Φ( √12 ) = 0.6136 b) Lưu ý 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜎𝑋 𝜎𝑌 𝜌(𝑋, 𝑌) = Ta có 𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑋 − 𝑌) = 2𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) − 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 2𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) − 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑌) = − + − = −1 c) Sử dụng Định lý 2.13, kết luận 𝑋 = cho, Y phân phối chuẩn với 𝐸[𝑌|𝑋 = 2] = 𝜇𝑌 + 𝜌𝜎𝑌 − 𝜇𝑋 =1 𝜎𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝜌2 )𝜎𝑌2 = Như 40 𝑃(𝑌 > 1|𝑋 = 2) = − Φ ( 1−1 )= √3 Nhận xét: Nếu hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập, chúng khơng tương quan, nghĩa 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = Tuy nhiên, điều ngược lại không Trong trường hợp biến ngẫu nhiên chuẩn tắc, điều ngược lại Do đó, biến ngẫu nhiên chuẩn tắc, độc lập không tương quan tương đương Định lí 2.14 Nếu X Y hai biến chuẩn tắc khơng tương quan, chúng độc lập Chứng minh Với X Y không tương quan với nhau, ta có 𝜌(𝑋, 𝑌) = Theo Định lý 2.13, cho trước 𝑋 = 𝑥, Y phân phối chuẩn với 𝐸[𝑌|𝑋 = 𝑥] = 𝜇𝑌 + 𝜌𝜎𝑌 𝑋 − 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝜌2 )𝜎𝑌2 Do đó, 𝑓𝑌|𝑋 (𝑦|𝑥) = 𝑓𝑌 (𝑦) với 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Như X Y độc lập Một cách khác để chứng minh định lý đặt 𝜌 = phương trình định nghĩa 2.9 quan sát thấy 𝑓𝑋𝑌 (𝑦|𝑥) = 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦) 41 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, đề tài thu kết sau: Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết xác suất Trình bày khái niệm vectơ hai chiều, phân bố xác xuất vectơ ngẫu nhiên, phân bố xác xuất có điều kiện kì vọng có điều kiện, hiệp phương sai, hệ số tương quan, hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục, phân phối chuẩn hai chiều Trình bày hệ thống ví dụ đa dạng để minh họa cho kết lý thuyết Trình bày chứng minh chi tiết nhiều định lý nêu khóa luận 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Tạ Công Sơn (2022), Giáo trình Lý thuyết xác suất, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng (Lưu hành nội bộ) [2] Đinh Văn Gắng (2009), Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Phạm Xuân Kiều (2012), Giáo trình Xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [4] Hossein Pishro-Nik (2014), Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes, Kappa Research, LLC 43