File đáp án CHUYÊN ĐỀ TOÁN

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÍCH KHỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC   ABC  lên mặt phẳng góc A lăng trụ cho A B trung điểm M BC  C Lời giải AM  , hình chiếu vng 3 Thể tích khối D Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A vng góc với AA ta thiết diện tam giác AB1C1 có cạnh AB1 1 ; AC1  ; B1C1 2  Suy tam giác A B1C1 vuông A trung tuyến AH tam giác Gọi giao điểm AM AH T  MH   H 30 Suy MA ; AH 1 Ta có: AM  AA    MAA 60 cos MAA Do  Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  thể tích khối lăng trụ A B1C1 AB2C2 AM  V  AA.S AB1C1   2 Trang Câu (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M 2 Thể tích khối lăng trụ cho A C Lời giải B D Chọn D AA1 1; AA2  3; A1 A2 2 Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề 2 Do AA1  AA2  A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A AA AH  1 A A Gọi H trung điểm 2 Lại có MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) cos( MH , AM ) cos HMA  S ABC  S AA1 A2 MH  AM 1 Thể tích lăng trụ V  AM S ABC 2 Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S ' S cos  Suy Câu cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , Trang A'M  15 Thể tích khối lăng trụ cho TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 15 C Lời giải D 15 Chọn C Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1;  AI 1 , AK 2 A'M  15 15  AF  3 Gọi F trung điểm BC AI  BB '    BB '   AIK   BB '  IK Ta có BB '  AK  Vì CC '  BB '  d (C , BB ') d ( K , BB ') IK   AIK vuông A  EF   AIK   EF  AE Gọi E trung điểm IK  EF  BB ' AM   ABC   ABC   AIK  góc EF AM Lại có Do góc hai mặt phẳng  15 AE  cos FAE    AME FAE  30 AF  FAE góc Ta có  AIK  AIK nên ta có: Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng S AIK  S   S ABC  ABC S ABC cos EAF 15  AM  3 AF tan AMF   AM  AM Xét AMF vuông A : 2 15 VABC A ' B 'C '   3 Vậy Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB Trang , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC  , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng khối lăng trụ cho A B 15  ABC  trung điểm M BC  AM  Thể tích C Lời giải 15 D Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB CC  , H hình chiếu vng góc C lên BB AJ  BB  1 Ta có AK  CC   AK  BB BB   AJK   BB  JK  JK //CH  JK CH  2 Xét AJK có JK  AJ  AK 5 suy AJK vuông A Từ  1  2  2 suy AF  JF FK  Gọi F trung điểm JK ta có Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vng ANF ta có: AF  cos NAF    NAF 60 ( AN  AM  AN //AM AN  AM ) AN S  S ABC  AJK   2 1 cos 60 SAJK  AJ AK  1.2 1  S   S cos 60 AJK ABC 2 Vậy ta có 15      Xét tam giác AMA vng M ta có MAA  AMF 30 hay AM  AM tan 30 15 15   V  AM S ABC 3 Vậy thể tích khối lăng trụ Câu Trang (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy tam giác vuông   A , AB 2 , AC  Góc CAA 90 , BAA 120 Gọi M trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ cho TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 A V   33   33 V B V   33 C Lời giải   33 V D Chọn C AC   ABBA AB   ABBA Do AC  AB , AC  AA nên Mà nên AC  AB AB   AMC   AB  AM Có AB  AC , AB  CM nên         AM  AB  BM  AB  AA x   Ta có AB  AB  AA Đặt AA  x          AB  AA  AB  AA  AB  AA2  AB AA     2 Suy AB AM 1   22  x  2.x.cos120  x  x   AB  AA2  AB AA.cos BAA 2 2 2   1  33     x  x  0  x  2 Do AB  AM nên AB AM 0      33   2  33 sin120  S ABB A  AB AA.sin BAA 2 Lại có (đvdt)  33  33 1 V  AC S   C ABB A ABB A AC   ABBA 3 2 Do nên (đvtt) VC AB C   VABC AB C   VC ABB A VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3 Mà   3  33  33 VABC AB C   VC ABB A   2 Vậy (đvtt) Trang Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông ABC  ABC  cân C , AB 2a góc tạo hai mặt phẳng   60 Gọi M , N lần AMN  lượt trung điểm AC  BC Mặt phẳng  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ 3a A 24 B 6a 6a C 24 Lời giải D 3a 3 Chọn A AB   CIC  C AB  ABC  CI , C I  Gọi I trung điểm AB , suy nên góc   góc  ,  suy C IC 60  IC  AB tan 60 a C C CI tan C Tam giác C IC vuông C nên S ABC  AB CI a 2 Diện tích tam giác ABC  Thể tích khối lăng trụ V CC S ABC a a a ACC A Trong  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC 2CC  2a 1 1 VO ACN  S ACN OC   S ABC 2CC   V 3 Thể tích khối chóp 1 1 VO.C ME  SC ME OC    S ABC  OC   V 3 24 Thể tích khối chóp Do Trang VC EM CAN VO ACN  VO.C ME 1 7 3a  V V  V  a  24 24 24 24 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vậy phần thể tích nhỏ Câu VC EM CAN  3a 24 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA 2 Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE 21 A 21 B 21 C Lời giải 21 D 27 Chọn D SO   ABC  Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có     1     1 AE SE  SA  SC  SA BD SD  SB  SA  SB 2 Ta có ;    Đật ASC BSC  ASB  1        SA  SB   SC  SA  0   2   BD  AE  BD AE 0        1  SASC  SA  SB.SC  SA.SB 0 2  cos    cos   cos  0  cos   Áp dụng định lý hàm số cơsin tam giác SAC , ta có: AC SA2  SC  2SA.SC.cos    AC  3 Diện tích tam giác ABC S ABC  3 2 2 AO   SO  SA2  AO  3 ; Trang 1 21 V  SO.S ABC   3 3 27 Thể tích khối chóp S ABC Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng  BC A , cạnh BC 2a ABC 60 Biết tứ giác BCC B hình thoi có B nhọn Mặt phẳng  BCCB  ABC  vng góc với lăng trụ ABC ABC  A 7a3 mặt phẳng a3 B  ABBA tạo với a3 C Lời giải  ABC  D góc 45 Thể tích khối 7a3 21 Chọn B B' C' A' B H C K A  BCC B   ABC    BCC B   ABC  BC Do  BCCB kẻ BH vng góc với BC H Có  BH   ABC  Trong Ta có hay BH chiều cao hình lăng trụ  ABC  AB   BHK  kẻ HK vuông góc với AB K Khi  ABBA   ABC   AB   BHK   AB   BHK    ABBA BK ,  BHK    ABC  KH  Góc  ABBA  ABC  góc BK KH   KH BHK vng H nên B góc nhọn Do BKH 45  KH 45  BHK BHK vng H có B vng cân H  BH KH Xét hai tam giác vuông BBH BKH , ta có  BH KH  sin ABC sin 60  BH BH BH 1 21   BH   cos B  BH    sin B  1     BB  tan BBH   1  BH BB 21 2a 21  7 (vì BCC B hình thoi có cạnh BC 2a ) 1 S ABC  AB AC  BC.cos 600 2 Ta có  Trang  BH  tan B  1 a2 BC.sin 600  2a .2 a  2 2  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy Câu VABC ABC  BH S ABC  2a 21 a 3 a  7 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác Mặt ABC  phẳng  tạo với đáy góc 30 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Gọi I trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC  lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC ABC  khối lăng trụ Do ta có: AB  AC Suy tam giác ABC cân A  AI  BC Mặt khác: tam giác ABC  AI  BC Suy BC   AIA   ABC  Vậy góc mặt phẳng  mặt đáy góc AIA 30 Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác ABC mặt đáy nên S ABC S ABC cos  8.cos 300 4 Đặt AB  x Ta có: AI   S ABC  x2 4  x 4 x 2  AA  AI tan AIA 2  Suy ra: VABC ABC   AA S ABC 2.4 8 Trang Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB a, BC 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng trụ cho bằng: 3a A B 3a  BCB ' C '  ABC  60 Thể tích khối lăng 3a C Lời giải a3 D 16 Chọn C Ta có BC a Từ H kẻ HI vng góc với BC HI HC AB.HC a   HI   BC Ta có HIC BAC nên AB BC Gọi K trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vng góc với B’C’ Tứ giác KMIH hình bình hành nên KM IH  a Gọi N điểm B’C’ cho M trung điểm C’ N  A ' N 2 KM  a  A ' H   ABC   A ' NIH    ABC  Mà A ' N  HI nên HIN Do nên góc tù Suy   HIN 1200  A ' NI 600 Gọi H ’ hình chiếu I lên A’N suy H ’ trung điểm A’N 3a  A ' H IH '  NH '.tan 600   V  A ' H S ABC  Trang 10 3a a 3 3a  Chọn A  A ' H   ABC  + Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC + AM  BC AH  BC  BC   AA ' M  + Trong tam giác AA ' M , kẻ MN  AA ' N A MN  BC M BC   AA ' M  a  MN   MN đoạn vng góc chung AA ' BC B + Tam giác AA ' M có SAA ' M c b a M 1  A ' H AM  MN AA ' 2 C  A ' H AM MN AA '  A ' H AM MN A ' H  AH  A' H  MN A ' H  AH  AM 2a 3 a A' H    3  a 2 a 3 A' H      2 a 3 a  A ' H  A ' H     A ' H    Vậy thể tích khối lăng trụ Câu 15 VABC A' B 'C '  A ' H SABC a a a3   12  ABC  (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực 0 BC góc 30 45 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A Trang 14 VS ABC  a3 B VS ABC  a3 C VS ABC  a3 D VS ABC a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A  AM  BC SA  BC  BC   SAM    SAM  trung điểm M mặt phẳng trung trực cạnh BC   SAM  = góc SB SM = BSM 450 Góc SB mặt phẳng   ABC  = góc SB AB = SBA 300 Góc SB mặt phẳng BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC SM a + Tam giác vuông cân SBM có BM a, SB a  BC 2 BM 2a Tam giác vng SAB có sin 300  SA a a  SA a  AB  SB 2 ; a 6 a 2 AM  AB  BM     a    Tam giác vng ABM có Vậy thể tích khối chóp S ABC Câu 16 (Chu Văn An - VS ABC Hà 1 a a a3  SA.SABC  2a  3 2 Nội BC BD  AC  AD 1,  ACD    BCD  2019) Cho  ABD    ABC  tứ diện ABCD có Thể tích tứ diện ABCD A B 27 C 27 Lời giải 2 D 27 Chọn B Trang 15 Gọi H , K trung điểm cạnh CD, AB AH  x,  x   Đặt  ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng  ACD    BCD    ACD    BCD  CD  AH   BCD    ACD   AH  CD AH  BH  1 Do ACD BCD  c.c.c  AH BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H  AB  AH  x (3)  Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD  CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB 2 AK 2 AC  CK 2    x  (4) Từ (3), (4) ta có: x 2    x   x 4  x  1  x2   x  3  x  0 CD 2.HD 2  AH  3 1 6 3 VABCD  AH S BCD   3 3 27 Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) 10 Thể tích khối chóp S ABCD 3 3 A 3a B 9a C 4a D 12a Lời giải Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m HA , n SH Do tam giác SAH vuông H nên m  n 11a Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D( m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z   1 Khi phương trình mặt phẳng ( SBC ) là: m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng  ( SBC ) n1 (n; n; m) x y z   1 Khi phương trình mặt phẳng ( SCD) là:  m m n hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng  ( SBC ) n2 (n;  n;  m)   |n1 n2 |  10 | n1 | | n2 | hay ( SBC ) ( SCD ) Do cosin góc hợp hai mặt phẳng 10 nên m2  2 2n  m 10 mà n 11a  m m2 m2     m 2a  m a  SH 3a 2 2 22a  m 10 Vậy 2n  m 10 m HA a nên AB 2a , Chiều cao hình chóp SH 3a Diện tích hình vng S ABCD 4a 1 V  S ABCD SH  4a 3a 4a 3 Thể tích khối chóp S ABCD là: Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A  SBC  đến 15 SCA    SAB  là , từ B đến 10 , từ C đến Trang 17 30 20 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối VS ABC chóp A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h SH h  VS ABC  h  12 Đặt AP  Ta có S SAB 6VS ABC h 30 2S SAB   : h 10 AB 20 d  C ;  SAB   Tương tự, tính HM 2h, HN h  PH  SP  SH 3h Ta có Vậy Câu 19 S ABC S HAB  S HAC  S HBC  VS ABC  3  HP  HM  HN   3h   h  12 3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a   SAB SCB 900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 3a 12 Chọn B Trang 18 B V 3a V C Lời giải 3a 3 D V 3a 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Vì SAB SCB 90  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC   SH   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI J , ta có J trọng tâm SAB JND    MBC  BC   JND  Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, nên  NE   MBC  d N ; MBC    NE Kẻ NE  JD , ta có Do   AD AD    d  A,  MBC   AD AD   d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD Ta có 10a d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Suy ra, 1 10a   NJ   OI  NJ 5a 2  SH 10a ND NJ nên Xét JND có NE Vậy Câu 20 VSABC 1 a 3a  SH S ABC  10a  3 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA BC 3 ; SB  AC 4 ; SC  AB 2 Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C Lời giải 390 D 390 Trang 19 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' SA '2  SC '2  2.SB  64 + Khi SB  AC BA ' BC ' 4 nên SA ' C ' vuông S (1)  SA '  SB ' 80 (2)  2  SB '  SC ' 36 (3) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S 1; ; + Từ       ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 1 390 VS A ' B ' C '  SC ' .SA '.SB '  390 VS ABC  VS A ' B ' C '  4 (đvtt) + Ta tính      Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB CSB 60 , ASC 90 , SA SB a , SC 3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C 12 Lời giải Chọn A Cách 1: SM  SC a Gọi M điểm nằm SC cho Ta có: 2 Tam giác SAM vng S  AM  SA  SM a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM SB BM a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA SB  AB a 2 Vậy AB  BM  AM  Tam giác ABM tam giác vuông B Trang 20 a3 D