CHƯƠNG 4: TAM GIÁC BẰNG NHAU Bài 2: HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng Kí hiệu Khi kí hiệu hai tam giác, chữ tên đỉnh tương ứng viết theo thứ tự Tam giác ABC tam giác A’B’C’ Kí hiệu: ABC ABC ABC ABC AB AB, BC BC , CA C A A A, B B, C C Khi đó, hai tam giác có: Đỉnh A tương ứng với đỉnh A’ Đỉnh B tương ứng với đỉnh B’ Đỉnh C tương ứng với đỉnh C’ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết kí hiệu hai tam giác Phương pháp giải: - Xác định cặp đỉnh (góc) tương ứng hai tam giác - Viết kí hiệu theo thứ tự cặp đỉnh (góc) tương ứng Bước Sử dụng cặp góc để cặp đỉnh tương ứng với Bước Xác định cặp đỉnh tương ứng thông qua giả thiết cạnh (nếu có) Bước Viết kí hiệu hai tam giác Ví dụ: Cho hai tam giác nhau: tam giác ABC (khơng có hai cạnh nhau, khơng có hai góc nhau) tam giác có ba đỉnh M , N, P Biết AB MN , A M Hãy viết kí hiệu hai tam giác Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có A M nên đỉnh A, M hai đỉnh tương ứng với hai tam giác Mặt khác, ta có AB MN A , M hai đỉnh tương ứng với nên B N hai đỉnh tương ứng Vậy, hai đỉnh lại C P hai đỉnh tương ứng với Do ABC MNP Bài 1: Cho tam giác ABC tam giác tạo ba đỉnh M, T, H hai tam giác Biết tam giác khơng có hai cạnh nhau, khơng có hai góc Viết kí hiệu hai tam giác trường hợp sau: T A H a) B b) AB HT BC MT c) AC MT C M Lời giải T a) Theo giả thiết B A H nên ta có B, T hai đỉnh tương ứng; A H hai đỉnh tương ứng Vậy cặp đỉnh tương ứng lại C M Do ABC HTM b) Ta có AB HT BC MT nên hai đỉnh chung B, T hai đỉnh tương ứng Từ đó, ta có cặp đỉnh A H tương ứng với nhau; C M tương ứng với Do ABC HTM c) Ta có C M nên C M hai đỉnh tương ứng Mặt khác AC MT nên A T hai đỉnh tương ứng với Vậy hai đỉnh tương ứng cịn lại B H Do ABC THM Phân tích a) Từ hai cặp góc ta xác định hai cặp đỉnh tương ứng Cặp đỉnh lại hai tam giác tương ứng với b) Từ hai cặp cạnh nhau, ta xác định đỉnh chung hai cặp cạnh cặp đỉnh tương ứng Bài 2: Cho ABC tam giác tạo ba đỉnh H, I, K Biết AC IK , BC HI Cách viết sau đúng? A ABC KHI B ABC IKH C ABC HKI D ABC KIH Lời giải Xét ∆ABC ∆KHI có AC IK , BC HI nên C I hai đỉnh tương ứng Suy A K; B H hai cặp đỉnh tương ứng lại Vậy ABC KHI Bài 3: Hai tam giác hình vẽ có khơng? Nếu có viết kí hiệu hai tam giác Lời giải Áp dụng định lí tổng ba góc tam giác, ta có: +) ∆ABC có +) ∆MNP có 180 A B 180 60 65 55 C 180 P N 180 60 55 65 M AB MP; BC PN ; AC MN P 60 ; C N 55 A M 65 ; B Xét ∆ABC ∆MNP có Suy hai tam giác cho Ta có đỉnh A, M tương ứng với nhau; đỉnh B, P tương ứng với đỉnh C, N tương ứng với Suy ABC MPN Bài 4: Hai tam giác ABC tam giác tạo ba đỉnh M, N, P hai tam giác Biết tam giác khơng có hai cạnh nhau, khơng có hai góc Viết kí hiệu hai tam giác trường hợp sau: CA PN a) A P M b) B C P c) BC MN CA NP Lời giải a) Từ giả thiết, ta có +) A P nên A P hai đỉnh tương ứng với +) CA PN mà A tương ứng với đỉnh P nên hai đỉnh C N tương ứng với Khi B M cặp đỉnh tương ứng cịn lại Do ABC PMN M b) Do B nên B M hai đỉnh tương ứng Lại có C P nên C P cặp đỉnh tương ứng Suy A N cặp đỉnh tương ứng cịn lại Do ABC NMP c) Theo giả thiết ta có BC MN , CA NP Mà C đỉnh chung cặp cạnh BC, CA; N đỉnh chung cặp cạnh MN, NP Do C N hai đỉnh tương ứng Đồng thời ta có B M tương ứng với nhau; A P cặp đỉnh tương ứng lại Do ta có kí hiệu ABC PMN Dạng 2: Chứng minh cạnh, góc tương ứng Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Hai tam giác cạnh tương ứng góc tương ứng MN AB, NP BC , MP AC Ví dụ 1: MNP ABC M A; N B; P C Ví dụ 2: Cho DEF OPQ a) Tìm cạnh tương ứng với cạnh OP góc tương ứng với góc E b) Tìm cạnh nhau, tìm góc Hướng dẫn giải a) Cạnh tương ứng với cạnh OP cạnh DE góc tương ứng với góc E góc P DE OP, DF OQ, EF PQ DEF OPQ O ;E P ;F Q D b) Bài 1: Cho tam giác ABC tam giác MNP Khẳng định sau sai? B A P A AB MN C MP AC D B N Lời giải ABC MNP nên AB MN (A đúng); AC MP (C đúng); A M (B sai) B N (D đúng) Bài 2: Cho HIK HGF Viết cặp cạnh cặp góc Lời giải HI HG; HK HF ; IK GF HIK HGF ;K F ; IHK GHF I G Bài 3: Cho ABC PQR Biết A 50 B C 50 a) Chứng minh tam giác PQR tam giác vuông b) Chỉ cặp cạnh hai tam giác Lời giải a) Xét ∆ABC có A B C 180 Mà A 50 nên B C 180 50 130 130 50 90 B B C 50 Ta lại có: nên B 90 ABC PQR Q Do nên Vậy ∆PQR có Q 90 nên ∆PQR tam giác vuông Q b) Do ABC PQR nên ta có cặp cạnh gồm AB PQ, BC QR, CA RP Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi tam giác Phương pháp giải: Các nội dung cần lưu ý: +) Tính chất cạnh tương ứng, góc tương ứng hai tam giác +) Tổng số đo ba góc tam giác 180° +) Tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số Bước Xác định cặp góc tương ứng hai tam giác Bước Sử dụng tính chất góc để tính số đo góc tương ứng Ví dụ 1: Cho ABC MNP có A 45 , B :C 2 : Tính góc cịn lại hai tam giác Hướng dẫn giải Do ABC MNP nên A 45 ; N B ;P C M Xét ∆ABC có A B C 180 C 180 A 180 45 135 B B C Từ giả thiết, ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta C 135 B C B 27 3 2.27 54 ; C 3.27 81 B Do N B 54 ; P C 81 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC tam giác MNP Biết số đo góc hình vẽ sau Số đo góc MNP A 60° B 45° C 30° D 75° Hướng dẫn giải Xét ∆ABC có A B C 180 B 180 A C 180 75 60 45 Lại có ABC MNP B N 45 Chọn B Ví dụ 3: Cho ABC IHK , AB 5cm, HK 9cm IK 12cm Tính chu vi tam giác ABC Hướng dẫn giải Do ABC IHK nên ta có BC HK 9cm, CA IK 12cm Vậy chu vi tam giác ABC CABC AB BC CA 5 12 26 cm Nhận xét: + Hai tam giác có cặp cạnh tương ứng Do chu vi tam giác + Bằng việc vận dụng đặc điểm tương ứng hai tam giác, ta nhiều thơng số (chu vi, diện tích, đường phân giác, trung tuyến, đường cao, ) Bài 1: Khẳng định sau đúng? A Hai tam giác có góc tương ứng hai tam giác B Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng hai tam giác C Hai tam giác có góc tương ứng nhau, cạnh tương ứng hai tam giác D Hai tam giác có chu vi hai tam giác Lời giải Hai tam giác có góc tương ứng nhau, cạnh tương ứng hai tam giác Bài 2: Cho ABC IHK Biết AB 6cm, HK 5cm, CA 8cm Chu vi ∆ABC A 15 cm B 17 cm C 19 cm D 20 cm Lời giải Vì ABC IHK nên BC HK 5cm Chu vi ∆ABC AB BC AC 6 19 cm Bài 3: Cho tam giác ABC có chu vi 24cm, AB 8cm AC : BC 5 : Biết ABC DEF Độ dài cạnh EF A EF 9cm C EF 8cm B EF 6cm D EF 10cm Lời giải ∆ABC có chu vi 24 cm nên AB BC AC 24 BC AC 24 AB 24 16 AC : BC 5 : AC BC Lại có Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có AC BC AC BC 16 2 8 AC 5.2 10; BC 3.2 6 EF BC 6 cm Mà ABC DEF nên Bài 4: Cho hai tam giác ABC PQR Biết AB 8cm, BC 5cm, PR 2.QR Chu vi tam giác ABC A 18 cm B 23 cm C 20 cm D 21 cm Lời giải ABC PQR AC PR; BC QR AC 2 BC 2.5 10 cm Mà PR 2.QR nên Chu vi tam giác ABC AB BC AC 8 10 23 cm Bài 5: Cho ABC DEG Biết DE 15cm, E 70 A C 40 a) Tính số đo góc hai tam giác b) Tính độ dài cạnh AB Lời giải a) Do ABC DEG nên B E 70 Mà ∆ABC có A B C 180 nên A C 180 70 110 Do ta có A C 40 A C 110 A 40 110 75 , C A 40 75 40 35 Suy A 75 , B E 70 , G C 35 D Vậy b) Vì ABC DEG nên ta có AB DE (hai cạnh tương ứng) Mà DE 15cm nên AB 15cm Bài 6: MN 7cm, GK 9cm, AC BC Cho ABC MNP BAC GHK Biết Chỉ cạnh ba tam giác Tính chu vi tam giác Lời giải Theo giả thiết, ta có: BAC GHK ABC HGK Lại có ABC MNP Suy ABC MNP HGK Do ta có: AB MN HG 7cm, BC NP GK 9cm; MP HK CA 2 AC BC AC 6 cm MP HK CA 6 cm 3 Mặt khác Vì tam giác có chu vi nên chu vi tam giác ABC ; MNP; HGK AB BC CA 7 22 cm Bài 7: Cho tam giác ∆ABC tam giác tạo ba đỉnh H, I, K hai tam giác biết AC HK , BC IH (trong tam giác khơng có hai cạnh nhau, khơng có hai góc nhau) a) Viết kí hiệu hai tam giác b) Biết I : H : K 2 : : Tính số đo góc tam giác ABC Lời giải a) Theo giả thiết: AC HK , BC IH Mà C đỉnh chung cặp cạnh AC, BC H đỉnh chung cặp cạnh HK, IH Do C H hai đỉnh tương ứng Đồng thời A K tương ứng với nhau, B I hai đỉnh tương ứng lại Vậy ABC KIH b) Xét ∆IHK có I H K 180 (tổng số đo ba góc tam giác) I H K Từ giả thiết, ta có: K I H K I H 180 20 5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Suy ra: I 2.20 40 ; H 5.20 100 ; K 2.20 40 Theo ý a) ta có ABC KIH nên A K 40 ; B I 40 ; C H 100 Bài 8: Cho tam giác ABC tam giác tạo ba đỉnh K , N, P hai tam giác (trong tam giác khơng có hai cạnh nhau, khơng có hai góc nhau) Biết AB 6cm, BC 8cm , tam giác PNK có chu vi 24cm đồng thời độ dài cạnh PK; KN; NP tỉ lệ với ; ; a) Tính độ dài cạnh tam giác PNK b) Viết kí hiệu hai tam giác nêu Lời giải a) Vì chu vi ∆PNK 24cm nên PN NK KP 24cm PK KN NP 4 Từ giả thiết, ta có: PK KN NP PK KN NP 24 2 35 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: PK 2.3 6 cm ; KN 2.5 10 cm ; NP 2.4 8 cm Suy b) Theo kết câu a, ta có AB PK 6cm, BC NP 8cm Ta thấy B đỉnh chung cặp đoạn thẳng AB BC; P đỉnh chung cặp đoạn thẳng PK NP Do B P hai đỉnh tương ứng Suy A K hai đỉnh tương ứng với nhau; C N tương ứng với Vậy ta kí hiệu ABC KPN 10