27 hsg8 2019 việt yên

28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VIỆT YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Đề thi có 01 trang Ngày thi: 01/03/2019 Thời gian làm 120 phút Câu (5,0 điểm) x   (1  x )  x M     x  x  2x   Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị lớn M a  b3  c  3abc P a  b  c  ab  ac  bc Cho a  b  c 2019 Tính giá trị biểu thức: Câu (4,0 điểm) 3 2 Cho hai số hữu tỷ a, b thỏa mãn: a b  2a  ab  2b  2a b  0 Chứng minh rằng:  ab bình phương số hữu tỷ 2 Tìm số nguyên x, y biết: y  2( x  1) 2 y ( x  y )2 Câu (4,0 điểm) (2018  x)  (2018  x)( x  2019)  ( x  2019) 19  2 49 Giải phương trình (2018  x)  (2018  x)( x  2019)  ( x  2019) 5 Cho hai số a, b  Z Chứng minh ( a b  ab ) 30 Câu 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M kẻ ME vuông góc với AB ( E  AB ) MF vng góc với AC ( F  AC ) a Chứng minh rằng: FC.BA  EB.CA  AB chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vàovị trí điểm M b Chứng tỏ đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Đường thẳng qua P vng góc với CP cắt cạnh AC CB theo thứ tự điểm M N AP BP CP   1 Chứng minh AB AC BA.BC CB.CA Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 3x y  yz  z 1010  Tìm giá trị Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực thỏa mãn điều kiện lớn nhỏ biểu thức Q  x  y  z 2 Hết Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu x   (1  x )  x M    x  x  2x    1a ĐKXĐ x 1 M M ( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  1) (1  x) (1  x) ( x  1)( x  1) 2 x  x   x  x  ( x  1)2 ( x  1)2 ( x  1)( x  1) 2  2x ( x  1) ( x 1) M ( x  1)( x  1) 2 M  x( x  1)  x  x Với x 1 M  x  x 1b 1 M  x  x  ( x  x   )  4 Dấu " " xảy 1 M max  x Vậy x   1 x           1  x   2  (Thỏa mãn ĐKXĐ) 2.Ta có a  b3  c  3abc (a  b )3  c  3a 2b  3ab  3abc (a  b  c )   a  b   (a  b)c  c   3ab(a  b  c )   (a  b  c)   a  b   (a  b)c  c  3ab    ( a  b  c )(a  b  c  ab bc  ca)  P (a  b  c)(a  b  c  ab  ac  bc ) a  b  c  ab  ac  bc Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  P a  b  c  P 2019 Vậy P 2019 Câu Ta có a 3b  2a  ab3  2b  2a 2b  0  ( a 3b  2a 2b  ab3 )  (2a  2b)  0  ab(a  2ab  b )  2(a  b)  0  a 2b (a  2ab  b )  2ab(a  b)  ab 0  a 2b (a  2ab  b )  2ab(a  b)  1  ab   ab(a  b)  1 1  ab   ab bình phương số tự nhiên (Đpcm) Ta có y  2( x  1) 2 y ( x  1)  y  2x   2xy  y 0  4x  4xy  y  y  y  0  (2x  y )2  ( y  2) 0 (1) Vì (2x  y ) 0 ; ( y  2) 0 (2x  y ) 0   ( y  2)    Nên (1) 2x - y=0    y  0  x 1   y 2 Vậy phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2) Câu Đặt a 2018  x  x  2019  a  Phương trình cho trở thành a  a ( a  1)  ( a  1)2 19  a  a( a  1)  ( a  1) 49 a  a  19   3a +3a  49  49a  49a  49 57a +57a  19  8a  8a  30 0  4a  4a  15 0  4a  4a+1-16=0 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  (2x 1)  0  (2a  5)(2a  3) 0 5  a    a 3  5 5 *a   2018  x   x 2020 2 3 *a   2018  x   x 2016 2  2a  0    2a  0 1  x  2020 ; 2016  2  Vậy phương trình cho có hai nghiệm 5 2 Ta có A (a b  ab ) ab(a  b)(a  b)(a  b ) + Nếu a, b lẻ a  b ; a  b chẵn nên A2 + Nếu a b chẵn A2 Suy A2 với a, b  Z (1) + Nếu a3 b 3  A3 + Nếu a b khơng chia hết cho ( a  b) 3 (a  b)3  A3 Suy A3 với a, b  Z (2) + Nếu a5 b 5  A5 + Nếu a, b chia cho có số dư ( a  b) 5  A5 2 + Nếu a, b chia cho khác số dư ( a  b) 5 ( a  b )5  A5 Suy A5 với a, b  Z (3) Do 2; 3; đôi nguyên tố nên từ (1); (2) (3) suy A(2.3.5)  A30 (Đpcm) Câu   a) ABC vuông cân A  AB  AC B C 45  BEM CFM vuông cân E F    Xét tứ giác AEMF có A E F 90  AEMF hình chữ nhật  ME  AF BE  FC AB  EB.CA FC AB  AF AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  AB.( FC  AF )  AB AC  AB AB  AB (Đpcm) Chu vi tứ giác AEMF ( ME  MF ).2 ( BE  AE).2 2 AB không đổi Vậy chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Dựng hình vng ABDC  D cố định Gọi K giao điểm MF BD G giao điểm ME DC  KMGD hình chữ nhật tứ giác BEMK ; CFMG hình vng Xét GDM MEF có  D FME  MG 90 MG MF DG ME  D MF  E  GDM MEF(c.g.c)  GM   Gọi H giao điểm MD EF  HME =GMD (hai góc đối đỉnh)   E  HME MF    HME MFE(g.g)  EHM = EMF  Mà EMF 90   EHM 90  MH  EF Suy đường thẳng qua M vng góc với EF qua điểm D cố định    APC 180  ( A  C ) 90  B 2 Ta có     Mà APC  APM  MPC  APM  90  B   APM  PBA Xét MAP PAB có APM  ABP (cmt )   MAP PAB ( gt )  MAP PAB( g g )  AP AB   AP  AM AB AM AP Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com AP AM AB AM    AB AC AB AC AC Kẻ MK  MN ( K  AB ); NT  MN (T  AB ) AP KM AM AM KM   ( )   MK / / DC (cùng vuông góc với MN ) AC DC (hệ định lí ta-lét) AB AC DC AC BP NT  Chứng minh tương tự ta có AB.BC DC CMN Có CP vừa đường cao vừa phân giác nên CP đồng thời trung tuyến PM PN Tứ giác MKTN hình thang ( MK / /TN ) có DP đường trung bình nên KM  NT 2DP AP BP KM  NT 2DP 2SAPB      AB AC AB.BC DC DC S ABC (1) 2S BP CP   APC S ABC Chứng minh tương tự ta AB.BC AC.BC 2S CP AP   BPC AC.BC AB AC S ABC (2) (3)  SAPB SAPC SBPC   AP BP CP         2  AB AC BA.BC CB.CA  S ABC S ABC S ABC    Cộng vế (1); (2) (3) ta  AP BP CP   1 AB AC BA.BC CB.CA (Đpcm) Câu Ta có y  yz  z 1010  3x 2  y  yz  z 2020  3x  x  y  z  2xy  yz  2xz 2020  x  2xy  y  z  2xz - x  ( x  y  z ) 2020  ( x  y )  ( x  z ) 2020   2020  x  y  z  2020  x  y  z nhỏ  2020 x  y  z lớn 2020 x  y z  x  y z  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  2020 2020 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC