Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC: 2017 – 2018 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x y x y b) ab(a b) bc(b c) ca (c a ) x2 10 x M : x 2 x x 3x x x2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M ; b) Tìm tất giá trị x để M Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x x 0 x x b) 4.3 27.2 108 0 Bài 4: (2,0 điểm) a) Xác định đa thức bậc ba f(x) khơng có hạng từ tự cho: f ( x) f ( x 1) x b) Chứng tỏ 12 22 32 (n 1) n n(n 1)(2n 1) ( với n ) Bài 5: (6, điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E , F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh: a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH.CD CB CK c) AB AH AD AK AC Bài 6: (4, điểm) P 4x x2 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: b) Cho tam giác ABC, O điềm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F OA OB OC 2 Chứng minh rằng: AD BE CF Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Cán coi thi không giải thích thêm! Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Năm học: 2017-2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) ab(a b) bc(b c) ca (c a ) a) x x y x y Lời giải a) x x y x y x ( x y ) ( x y ) ( x y )( x 1) x x 1 b) ab(a b) bc(b c) ca (c a ) ab[a c (b c)] bc(b - c) ca(c - a) bc(b c) ab(b c) ca(c a) ab(c a ) b(b c)(c a ) a(c a)(b c) (b a)(b c)(c a ) x2 10 x M : x x2 x x 3x x Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để M xác định rút gọn M ; b) Tìm tất giá trị x để M Lời giải a) Đkxđ: x 0; x 2 x2 10 x M : x x2 x x 3x x x2 x 10 x : x 2 x( x 2)( x 2) 3(2 x) x x b) 3x x ( x 2) x( x 2) 18 x x2 1 : x( x 2)( x 2) x x( x 2)( x 2) x M 0 1 0 x2 x ; x 0; x Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com a) x x x 0 x x b) 4.3 27.2 108 0 Lời giải a) x x x 0 x x x x x 0 ( x 1)( x 2) 0 x 0 x 0 x 1 x 2 S {1, 2} x x x b) 4.3 27 2 108 0 x 3x 3x 27 2 x 108 0 3x x 27 x 0 3x 27 (2 x 4) 0 x 3 x 2 S {2;3} Bài 4: (2,0 điểm) a) Xác định đa thức bậc ba f(x) khơng có hạng từ tự cho: f ( x ) f ( x 1) x b) Chứng tỏ 12 22 32 (n 1) n n(n 1)(2n 1) ( với n ) Lời giải a) Theo cho đa thức f ( x) có dạng f ( x ) ax bx cx Khi x 1 ta có a b c 1 Khi x 0 ta có a b c 0 Khi x 2 ta có 8a 4b 2c a b c 4 Từ (1),(2), (3) ta có hệ a b c 1 a b c 0 7a 3b c 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 1 1 a ;b ; c Giải hệ phương trình ta 1 f ( x) x3 x x Vậy đa thức b) Chứng tỏ pháp quy nạp 12 22 n n(n 1)(2n 1) (n N ) Chứng minh phương 1.(1 1)(2.1 1) 12 1 Với n 1 ta có Giả sử đẳng thức với n k 12 2 32 k k (k 1)(2k 1) Ta chứng minh đẳng thức với n k Thật với n k ta có k ( k 1)(2k 1) ( k 1) (k 1)( k (2k 1) 6( k 1)) ( k 1)(k 2)(2( k 1) 1) 6 12 22 32 k ( k 1) (k 1)( k 1 1)[2(k 1) 1] Bài 5: (6, điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E , F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh: a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH.CD CB CK c) AB AH AD AK AC Lời giải H B C F E A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D K TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh BEDF hình bình hành BAC DCA( g c.g ) BE DF ; BE / / DF ( vng góc AC) Xét tứ giác BEDF có BE DF , BE / / DF Nên BEDF hình bình hành b) HBC ∽ KDC BC DC CH CD CB.CK CH CK c) AEB∽ AHC AB AH AE.AC AD AK AF AC AB AH AD AK ( AE AF).AC Mà AF CE nên AE AF AE CE AB AH AD AK AC Bài 6: (4, điểm) P 4x x2 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: b) Cho tam giác ABC, O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F OA OB OC 2 Chứng minh rằng: AD BE CF Lời giải A E F O B D C a) Ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com 4x ( x 2) 0 x2 x2 P 0 x P 1 P 1 Dấu “=” xảy x 2 P 4 x 4 x 12 x (2 x 3) …0 x x2 3 x2 x 3 P 4 3 0 P x 3 OA SOAB SOAC SOAB SOAC AD S S S ABC DAB DAC b) OB SOAB SOBC OC SOBC SOAC BE S ABC CF S ABC ; OA OB OC S ABC 2 AD BE CF S ABC Cộng vế với vế ta = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC