TÀI LIỆU CỦA NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC PHỊNG GD&ĐT YÊN THÀNH TÀI LIỆU ĐỀ CHÍNH THỨCCỦA KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 NHĨM: CÁC DỰ ÁN DỤC MơnGIÁO thi: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) M 2 a b3 a b a) Cho a b 1 Tính 2020 b) Tìm dư phép chia đa thức f ( x) x cho đa thức g ( x) x x Bài 2: (4,0 điểm) x a) Giải phương trình: x x x 24 2 b) Tìm số thực a , b , c biết : a b c 9 vaa a b c 27 Bài 3: (3,0 điểm) 2 a) Cho số nguyên tố liên tiếp x , y , z thỏa mãn x y z x y z số nguyên 2 tố Chứng minh ( x 1) ( y 2) ( z 3) số nguyên tố x y 8 2 y x y xy b) Cho x , số thực thỏa mãn: Chứng minh: Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ) Đường phân giác AD ( D BC ) Kẻ DE vng góc với AB , kẻ DF vng góc với AC (E AB, F AC) BF cắt DE M , CE cắt DF N BD AB 4 cm, BC Tính diện tích tam giác ABC a) Biết EM BE b) Chứng minh MD EA c) Chứng minh MN//BC d) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi I giao điềm BF CE Chứng minh A, I, H thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ đến xếp theo thứ tự tùy ý Lấy số thứ trừ , lấy số thứ hai trừ , lấy số thứ ba trừ , …, lấy số thứ chín trừ Chứng minh tích chín số lập số chẵn = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Họ tên thí sinh………………………………………… SBD …………… Lưu ý: Cán coi thi không giải thích thêm Trang TÀI LIỆU CỦA NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ĐÁP ÁN KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TÀI LIỆU CỦA NĂM NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) M 2 a b3 a b a) Cho a b 1 Tính 2020 b) Tìm dư phép chia đa thức f ( x) x cho đa thức g ( x) x x Lời giải 3 2 a) Ta có (a b) a 3a b 3ab b a b3 (a b)3 3ab(a b) 1 3ab 2 (a b) a 2ab b a b (a b) 2ab 1 2ab Khi M 2 6ab 6ab 2020 x.( x ) 673 b) Ta có: f ( x ) x x.( x )673 x x x ( x )673 1 x 673 3 Do ( x ) 1x x ( x 1)(x x 1) 673 nên ( x ) 1x x 2020 Vậy dư phép chia đa thức f ( x) x cho đa thức g ( x) x x x Bài 2: (4,0 điểm) x x x x 24 a) Giải phương trình: 2 b) Tìm số thực a , b , c biết : a b c 9 a b c 27 Lời giải 2 x x x x 24 a) Giải phương trình: Đặt x x a Ta có phương trình : a (a 2) 24 a 2a 24 0 (a 6)( a 4) 0 a 6 a Với a x x x x 0 15 x 0 2 (Phương trình vơ nghiệm) Với a 6 x x 6 x x 0 ( x 2)( x 3) 0 x x 3 Trang TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC S 2;3 Vậy tập nghiệm phương trình 2 b) Tìm số a , b , c biết a b c 9 a b c 27 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN a b c 9 Ta có (a b c )2 81 GIÁO DỤC a b c 2ab 2bc 2ca 81 ab bc ca 27 2 Từ suy a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0 ( a b) (b c) (c a) 0 Vì ( a b) 0 với a , b ; ( a b) 0 với b ; c ( a b) 0 với a , c ; nên ( a b) (b c) (c a) 0 a, b, c Dấu " " xảy a b c Mà a b c 9 nên a b c 3 Bài 3: (3,0 điểm) 2 a) Cho số nguyên tố liên tiếp x , y , z thỏa mãn x y z x y z số nguyên 2 tố Chứng minh ( x 1) ( y 2) ( z 3) số nguyên tố x y 8 2 y x y xy Cho x , số thực thỏa mãn: Chứng minh: b) Lời giải 2 a) Với x 2 suy y 3, z 5 Khi x y z 38 hợp số 2 Với x 3 suy y 5, z 7 Khi x y z 83 số nguyên tố Với x suy y 3, z Khi x , y , z khơng chia hết cho 2 2 2 Do x ; y ; z chia cho dư x y z chia hết cho 2 2 2 mà x y z nên x y z la hợp số Vậy x 3, y 5, z 7 2 Suy (x 1) ( y 2) ( z 3) 29 số nguyên tố 2 b) Ta có: x y 4 xy x y 8 xy x y x xy y x y ( x y ) 2 Vì ( x y ) 0x, y nên ( x y) 8 (1) Dấu " " xảy x y 2 2 Lại có : x y 8 xy x y 8 x xy y Trang TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC x y ( x y ) 8 ) 0x, y nên ( x y ) 8 Vì ( x yTÀI LIỆU CỦA NHÓM: x2 y CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (2) Dấu " " xảy x y x y 8 Từ (1) (2) suy ra: Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ) Đường phân giác AD( D BC ) Kẻ DE vng góc với AB , kẻ DF vng góc với AC (E AB, F AC) BF cắt DE M , CE cắt DF N BD AB 4 cm, BC Tính diện tích tam giác ABC a) Biết EM BE b) Chứng minh MD EA c) Chứng minh MN//BC d) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi I giao điểm BF CE Chứng minh A, I, H thẳng hàng Lời giải BD BD DC a) Ta có: BC BD AB Xét tam giác ABC có AD phân giác nên DC AC AC 8cm hay AC 1 S ABC AB AC 4.8 16cm 2 Vậy b) Ta có: o Tứ giác AEDF có: A E F 90 nên tứ giác AEDF hình chữ nhật suy DF//AB, DF=AE BE EM DF//BE DF MD (Hệ định lí Talet) Vì DF//AB nên BE EM Mà DF AE nên AE MD Trang TÀI LIỆU CỦA NHÓM: NE CÁC AF DỰ ÁN GIÁO DỤC NC FC (Định lí Talet) c) Ta có FD//AB AF BD FC LIỆU DC ( DE//AB CỦA, NHĨM: Lại cóTÀI định lí Talet)CÁC BD BE DC AE ( DE//AC , định lí Talet) EM EN Suy MD NC DỰ ÁN GIÁO DỤC MN//BC (Định lí Talet đảo) d) Xét hình chữ nhật AEDF có AD phân giác nên hình vng AE AF DF EF 1 suy ra:FN FC FD 2 Ta có AE AC AB ( FD//AB , hệ định lí Talet) FN AF AF AB 1 2 FN FA Từ suy AF AB AFB FNA có: FAB AFN 90 Xét AF AB FN FA (chứng minh trên) Do AFB ∽ FNA(c.g.c) AFB ANF o Mà ANF NAF 90 nên AFB NAF 90 BF AN Chứng minh tương tự ta có: CE AM Từ suy I giao điểm hai đường cao xuất phát từ M N tam giác AMN nên AI MN mà MN//BC (câu c) nên AI BC Mặt khác AH BC ( AH đường cao tam giác ABC ) Suy A, I, H thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ đến xếp theo thứ tự tùy ý Lấy số thứ trừ , lấy số thứ hai trừ , lấy số thứ ba trừ , …, lấy số thứ chín trừ Chứng minh tích chín số lập số chẵn Lời giải Gọi chín số ban đầu là: a1 , a2 , a1 , a8 , a9 chín số là: a1 1; a2 2;; a8 8; a9 Để chứng minh tích chín số số chẵn, ta chứng tỏ tồn số số chẵn Thật vậy, giả sử chín số số lẻ tổng chúng số lẻ Do đó: ( a1 1) (a2 2) (a8 8) (a9 9) số lẻ nên ( a1 a2 a8 a9 ) (1 9) số lẻ Mặt khác ( a1 a2 a8 a9 ) (1 9) 0 nên suy số lẻ, vơ lí Vậy tích chín số lập số chẵn Trang TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang