28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2017 – 2018 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI HSG SỐ 105 Bài 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức P x x3 x3 x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để giá trị P lớn Bài 2: (4,0 điểm) 1 a) Giả sử x , y hai số thực phân biệt thỏa mãn x y xy P Tính giá trị biểu thức 1 x y xy 1 b) Giải phương trình sau với m tham số 1 x x 6m 1 Bài 3:(4,0 điểm) a) Tìm x , y để biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ B 1892 x y xy 10 x 14 y b) Tìm cặp số nguyên x, y 3 thỏa mãn: x x 3x y Bài 4:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF gặp H Gọi M , N hình chiếu H EF, ED a) Chứng minh tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH b) Chứng minh HM HN c) Gọi I , J , O, K hình chiếu F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , O, K thẳng hàng Bài 5: (2,0 điểm)Cho số a, b, c a b c 1 Chứng minh: 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG MƠN TỐN LỚP PHÒNG GD&ĐT QUẢNG XƯƠNG NĂM HỌC: 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức P x x3 x3 x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để giá trị P lớn Lời giải a) (2đ) 2 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 P x x x 1 x x 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 x x x 2 2x x x 1 x x x 2x 2x x 2 x x x x 1 b)(2đ) Vì với giá trị x x P 0 x 1 Suy Bài 2: (4,0 điểm) 1 a) Giả sử x , y hai số thực phân biệt thỏa mãn x y xy P Tính giá trị biểu thức 1 x y xy b) Giải phương trình sau với m tham số 1 x x 6m 1 Lời giải 1 1 1 0 x xy y xy a)Ta có x y xy xy y xy y 0 x 1 xy 1 y 1 xy 1 xy y y 1 xy y x 1 0 x y xy 1 0 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com xy 1 ( x y ) Suy P 2 b)(2đ) ĐK: x 2, x 6m PT 1 x x 6m *) Xét x x 6m x 6m Nếu Nếu m PT có vơ số nghiệm x 2 m PT vơ nghiệm x x 6m x 3m *) Xét 3m 2 m x 3m nghiệm PT 3m 6m Kết luận: *) Nếu *) Nếu m PT có vơ số nghiệm x 2 m PT có nghệm x 3m Bài 3:(4,0 điểm) a) Tìm x , y để biểu thức sau nhận giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ B 1892 x y xy 10 x 14 y b) Tìm cặp số nguyên x, y 3 thỏa mãn: x x 3x y Lời giải a) (2đ) B 1945 ( x x 4) ( y x) 14( y x) 49 B 1945 ( x 2) ( y x 7) Giả sử tồn cặp số x0 , y0 để B đạt giá trị nhỏ Bnn B0 1945 ( x0 2) ( y0 x0 7) *) Trường hợp Ta có x0 2 , xét x1 y0 x0 5, y1 y0 B1 B( x1 , y1 ) 1945 ( y0 x0 7) ( x0 1) 2 x0 x0 suy x0 x0 1 , suy B1 B0 Vì *) Xét trường hợp Ta có x0 , xét x2 y0 x0 5, y2 y0 B2 B( x2 , y2 ) 1945 ( y0 x0 7) ( x0 3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Vì x0 x0 0, suy x0 3 x0 , suy B2 B0 B B Như vậy, ta ln tìm giá trị B nhỏ , điều vơ lí giá trị nhỏ Vậy khơng tồn giá trị x , y để B có giá trị nhỏ b) (2đ) Từ x x x y 1 y x 2 x x y x 1 x 2 Ngoài y x Thay vào Suy 1 y 4 x x y x tìm x 1 x x, y 1;0 x, y 1; Bài 4:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF gặp H Gọi M , N hình chiếu H EF, ED a) Chứng minh tam giác BED đồng dạng với tam giác BCH b) Chứng minh HM HN c) Gọi I , J , O, K hình chiếu F AC , AD, BE , BC Chứng minh I , J , O, K thẳng hàng Lời giải A I E F M J H Q B a) BHD K N D C BCE có chung EBC D E 90 BH BD Suy BC BE Từ quy BDE HBC c.g c Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com FH HD b)(2đ) HFE EHF BHC (đối đỉnh) HE HC (do tam giác HBF đồng dạng với tam giác HCE) HBC c.g c Suy BEF BCH BED Suy EB tia phân giác DEF nên HM HN c) FI / / BE FJ / / BD AI AF AE AB AJ AF AI AJ IJ / / ED (1) AD AB Suy AE AD Chứng minh tương tự ta có FI / / BE FK / / AD Từ KQ / / DE CE CH CI CF CH CD KI / / DE 3 CF CK 1 , , 3 suy I , J , O, K thẳng hàng Bài 5:(2,0 điểm)Cho số a, b, c a b c 1 Chứng minh: 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab 2 2 Đặt x a 2bc, y b 2ac, x c 2ab Ta có x y z (a b c ) 1 1 1 A ( x y z ) x y z Xét x y y z x z 1 y x z y z x x y 2 Chứng mính bất đẳng thức phụ: Với x, y y x Suy A 3 9 , suy ĐPCM = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC