Tứ giác

TỨ GIÁC A Kiến thức A Tam giác    - A  B +C = 180 (Tổng góc tam giác) - AB  AC  BC ( Bất đẳng thức tam giác) B - AB  AC  BC (Bất đẳng thức tam giác) B Tứ giác C C a Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC , CD, DA đoạn thẳng không A D nằm đường thẳng b Tứ giác lồi: Là tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác c Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích them, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác - Định lý: Tổng góc cảu tứ giác 3600  +C  +D  = 3600  A  B - Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng 360 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB  BC  CD  DA - Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác  - Ta có B1 góc ngồi đỉnh B B Bài tập Bài 1:   Cho tứ giác ABCD có BAD BCD 90 , A phân giác góc ABC cắt AD E phân giác góc ADC cắt BC F  B E D  Chứng minh BE / / DF C Lời giải 0   +) ABC  ADC 180     90 (1)    E 90 (2) +) Xét tam giác ABE , có:    E1    BE / / DF ovitridongvi +) Từ (1)(2)  (đpcm) Bài 2:   Cho tứ giác ABCD có ABC  BAD 180 B Phân giác góc BCD CDA A cắt E , biết CD 2CE Chứng E   minh ADC 2 BCD D Lời giải 0 o        +) Ta có: A  B 180  C  D 180  C1  D1 90  DEC 90 +) Gọi M trung điểm CD  EM MC MD  0      DEM D1 60  C1 30  D 2C (đpcm) Bài 3: CD 1 M C   Cho tứ giác ACBD , có BAD  BCD 180 , B C 1 DA DC chứng minh BD phân giác ABC A D E Lời giải +) Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE BC  E  (1)  B BCD EAD(cgc)    BED   DB  DE   +) cân D  E1 B2 (2)   Từ (1)(2)  B1 B2 (đpcm) Bài 4: Cho tứ giác ACBD có BD phân giác C E góc ABC , AD CD, AB  AC Chứng minh B   BAD  BCD 180 A D Lời giải +) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE BA +)  (1)  A1 E  BED BAD (cgc)    AD ED  ED CD  ECD    ED DA     Từ (1)(2)  A1  C1 E1  E2 180 Bài 1:   cân D  E2 C1 (2) Cho tứ giác ABCDD có: A : B  :C  :D   E 5 : :13 :10 a Tính góc tứ giác ABCD B b AB cắt CD E , AD cắt BC F Phân giác góc AED góc AFB cắt C  M 75 O , phân giác góc AFB cắt CD AB M O N N Chứng minh O trung điểm A D F MN Lời giải     a A 50 , B 80 , C 130 , D 100 0  0      b AED 180  A  D 30 ; AFB 180  A  B 50    B  750 ; ENM  EMN 1800  F 1800  750  300 750  EMN cân  O trung điểm MN 1 Bài 1:   Cho tứ giác ABCD có B  D 180 , AC A B phân giác góc A Chứng minh CB CD D 1 C Lời giải Dựng tam giác ACE cân C  CA CE  D  1800  B  B   D  1   B2  B1 180   Theo giả thiết ta có   A1 E   A  E    A1  A2   Lại có: E 1 CEB CAD có:   A2 E  C   CEB CAD( gcg )  CB CD C     D1 B1 HÌNH THANG, HÌNH THANG CÂN A HÌNH THANG A B D C H1 HÌNH THANG A C B A D B C D H2 THANG VUÔNG H3 THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song  ABCD la   ABCD hình thang (đáy AB, CD )  AB / / CD +) AB : đáy nhỏ +) CD : đáy lớn +) AD, BC : cạnh bên Nhận xét - Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên - Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song Dựa vào nhận xét ta có Hình thang A ABCD  AB / /CD  B , có: +) AD / / BC  AD BC ; AB CD D +) AB CD  AD / / BC ; AD BC C Hình thang vng hình thang có góc vng B HÌNH THANG CÂN A B D C H1 HÌNH THANG A C B A D H2 THANG VUÔNG B C D H3 THANG CÂN Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy  ABCD (là hình thang )      ABCD hình thang cân (đáy AB, CD ) C = D hoac A B Tính chất: Trong hình thang cân - Hai cạnh bên - Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân (Hình bình hành) C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tam giác ABCD đường thẳng d A qua trọng tâm G tam giác ABC cắt đoạn AB, AC Chứng minh tổng khoảng cách từ B C tới d khoảng F N K E G D cách từ A tới d B C M P Lời giải Ta có tứ giác BEFC hình thang ( BE / / CF ) Gọi N trung điểm EF , M trung điểm BC  MN   BE  CF 2 MN (1) BE  CF    MN  d +) Lấy P thuộc tia đối MG cho MP MG  GP GA   MN  PK NG  NK    PK  d  +) Lấy K thuộc d cho ADG PKG (ch  gn)  PK DA  MN  AD (2)  AD BE  CF Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G A đường thẳng d nằm tam giác Gọi D , P E , F , H hình chiếu A, B, C , D G lên đường thẳng d Chứng minh M B C AD  BE  CF 3GH E D Q H K F Lời giải +) Gọi M trung điểm BC +) P trung điểm AG +) K hình chiếu M lên d Ta có: BE  CF 2MK ; AD  GH 2 PQ; MK  PQ 2GH  MK  PQ  4GH ; BE  AD  CF 3GH (đpcm) Bài 1: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  , A CD BC  AD Hai đường phân giác hai B 2 góc A B cắt K Chứng minh C , D, K thẳng hàng C E D Lời giải   Trên CDD lấy điểm E cho CE CB  AD DE  CBE cân C  E1 B1     Mặt khác E1 B2 ( slt )  B1 B2       ADE cân D  A1 E2 mà  E2  A2 ( slt )  A1  A2    EA, EB phân giác A, B giao điểm hai đường phân giác góc A B cắt E thuộc BC  E K  D, K , C thẳng hàng Bài 1: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có A B đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC đồng thời DB tia phân giác ADC D a Tính góc hình thang cân ABCD b Biết BC 6cm , tính chu vi diện tích hình thang cân ABCD Lời giải K C  a) DBC ( B 90 ) có      BCD 2 BDC  ADC BCD 60 ; DAB CBA 120 b) Tính CD 2 BC ; PABCD 30cm Hạ đường cao BK , ta có BK 3 3cm  S ABCD 27 3(cm ) Bài 1: Cho tam giác ABC Từ điểm M nằm A bên tam giác ta vẽ tia gốc M song F song với BC cắt AB D , song song với D AC cắt BC E , song song với AB cắt M AC F Chứng minh chu vi tam giác B DEF tổng khoảng cách từ M đến C E ba đỉnh tam giác Lời giải Chu vi tam giác ABC DE  DF  EF Khoảng cách từ M đến đỉnh MA  MB  MC Ta cần chứng minh DE  DF  EF MA  MB  MC    +) Ta có hình thang BDME hình thang cân ( MD / / BE , B E C 60 )  DE MB Chứng minh tương tự ta có: DF MA; EF MC  DE  DF  EF MA  MB  MC (đpcm) Bài 1: Cho tam giác ABC cân A , điểm I thuộc A đường cao AH , BI giao với AC D , CI 12 D giao với AB E E I a Chứng minh AD  AE b Xác định dạng tứ giác BEDC 1 c Xác định I cho BE ED DC C H B Lời giải   a AIC AIB(cgc)  C1 B1  ACE ABD( gcg )  AE  AD b ADE , ACB cân A có chung góc A  DE / / BC 1800  Aˆ    ADE  AEB  ACB  ABC     dpcm  B  C   c DE / / BC  B2 D2  D   B  B     B   B2 D2   BE  ED   BED E Để cân   Chứng minh tương tự: C1 C2 Vậy CE BD giao điểm góc C B Vậy I giao điểm đường phân giác tam giác ABC Bài 1: Cho hình thang ABCD  AB / /CD  A tia phân E B giác góc C qua trung điểm M AD Chứng minh M a) MB  MC  MA  MB  MC b) BC  AB  CD D Lời giải a) Giả sử MC cắt AB E Khi CMD EMA  g.c.g   CM EM ; AD  AE    Xét BEC có: E C2 C1  BEC cân Mà BM đường trung tuyến  BM đường cao 10 C