Microsoft Word HH9 C1 CD5 M? r?ng TÍNH DI?N TÍCH TAM GIÁC, DI?N TÍCH T? GIÁC NH? S? D?NG CÁC T? S? LU?NG GIÁC docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com CHUYÊN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ[.]
CHUN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một cơng thức rất quen thuộc là S ah, trong đó a là độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng để xây dựng thêm các cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vng tại H có CH AC.sin Diện tích ABC là S 1 AB.CH Do dó S AB AC.sin 2 Lưu ý: Nếu 900 , ta có ngay S AB AC Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC m, BD n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo cơng thức S mn sin Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC Vẽ AH BD, CK BD Ta có AH OA sin ; CK OC sin và OA OC AC 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Diện tích tứ giác ABCD là: 1 BD AH BD.CK 2 1 BD( AH CK ) BD(OAsin OC sin ) 2 1 BD sin (OA OC ) AC.BD sin mn sin 2 S S ABD SCBD Lưu ý: • Nếu AC BD ta có ngay S 1 AC.BD mn 2 • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác khơng có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a 2cm, b 5cm, c 7cm Giải Theo định lí cơsin ta có: a b c 2bc cos A Do đó Suy ra cos A 52 2.5.7.cos A sin A cos A 25 1 Vậy diện tích tam giác ABC là: S bc sin A 5.7 14 cm 2 Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A Ta cũng có thể vận dụng định lí cơsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cos C rồi suy ra sin C ) Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có AC BD 12cm Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45 Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. AOD 45 Giả sử Diện tích tứ giác ABCD là: S 1 2 AC.BD.sin 45 AC.BD AC.BD 2 AC BD Theo bất đẳng thức Cơ‐si, ta có: AC.BD 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AC BD 2 Do đó S cm Vậy max S 2cm2 khi AC BD 6cm A 60 Vẽ đường phân giác AD. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng: 1 AB AC AD Giải Ta có S ABD 1 AB AD.sin 300 AB AD 2 S ACD 1 AC AD sin 30 AC AD 2 S ABC 1 AB AC sin 60 AB AC 2 Mặt khác S ABD S ACD S ABC nên 1 1 AB AD AC AD AB AC 2 2 2 Do đó AD AB AC AB AC Suy ra AB AC 1 hay AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm Giải C , khi đó A 60 và sin A A B Giả sử Diện tích tam giác ABC là: S 1 AB AC.sin A 4.4 6,92 cm 2 Nhận xét: Do vai trị các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A B C , từ đó suy ra A 60, dẫn tới sin A 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Tính diện tích Bài 1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 0 45 Chứng minh rằng diện tích Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC a và BAC của hình chữ nhật ABCD là S a sin 2 Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho S OA OB m, n Chứng minh rằng AOB m.n OC OD SCOD Bài 4. Tam giác nhọn ABC có BC a, CA b, AB c Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh rằng S b2 c2 a Áp dụng với a 39, b 40, c 41 và A 45 Tính S. cot A Bài 5. Cho góc xOy có số đo bằng 45 Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA OB 8cm Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 1 AM AB, BN BC , CP CA Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn diện tích tam giác ABC. Bài 7. Cho đoạn thẳng AB 5cm Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA 2cm Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vng góc với AB. Một góc vng đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC. a) Chứng minh rằng KAH ABC , từ đó suy ra KH AC sin B; 60 Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH. b) Cho AB a, BC b và B • Chứng minh các hệ thức A 60 Đường phân giác ngồi tại đỉnh A cắt đường thẳng Bài 9. Cho tam giác ABC ( AB AC ), 1 BC tại N. Chứng minh rằng: AB AC AN Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng: a) 1 AM AN AB b) 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 AM AN AC A 900 Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: Bài 11. Cho tam giác ABC , 1 AB AC cos AD Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 30 Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. Tính giá trị của tổng 1 OB OC Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. • Tính số đo góc. Tính độ dài Bài 14. Tam giác nhọn ABC có AB 4, 6cm; BC 5, 5cm và có diện tích là 9, 69cm Tính số đo góc B (làm trịn đến độ). 90 Biết AB 4cm, BC 3cm và diện tích của hình bình Bài 15. Cho hình bình hành ABCD, B hành là 3cm Tính số đo các góc của hình bình hành. A 90 Trên hai cạnh AB và AC lần lượt Bài 16. Cho tam giác ABC có diện tích S 50cm2 , lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là S1 S Chứng minh rằng DE 10 tan cm Bài 17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB 4, 7cm, AC 5,3cm và A 72 Tính độ dài AD (làm trịn đến hàng phần mười). A 120 Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài Bài 18. Cho tam giác ABC , AB 6cm, AC 12cm, AD. Bài 19. Cho tam giác ABC , AB 5cm, BC cm, CA 8cm Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. Bài 20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết 1 , tính số đo góc BAC. AB AC AD HƯỚNG DẪN 90 Bài 1. Xét hình bình hành ABCD, D Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vng tại H, ta có: AH AD.sin 5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Diện tích hình bình hành ABCD là: S CD AH CD AD.sin Vậy S AD.DC.sin Bài 2. Xét ABC vng tại B có AB AC cos a cos ; BC AC sin a sin Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S AB.BC a cos a sin a sin cos a sin cos a sin 2 2 1 Bài 3. Tacó S AOB OA.OB sin ; SCOD OC OD sin 2 OA.OB sin S AOB OA OB Do đó m.n SCOD OC.OD sin OC OD Bài 4. Vì ABC nhọn nên theo định lí cơsin ta có a b c 2bc cos A cos A b2 c2 a2 2bc Ta có cot A cos A b c a b c a (vì S bc sin A) sin A 2bc sin A 4S b2 c2 a Do đó S . cot A Áp dụng: Với a 39, b 40, c 41 và A 45 ta có: S 402 412 392 440 (đvdt) cot 450 Bài 5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S. 1 Ta có S OA.OB sin O OA.OB sin 45 2 2 OA.OB OA.OB 2 OA OB Nhưng OA.OB 16 2 2 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Do đó S 16 cm khi OA OB 4cm Vậy max S 2cm2 Bài 6. Tacó AM AB BM AB; 4 BN BC CN BC ; 3 1 CP CA AP CA 2 Ta đặt S AMP S1 ; S BMN S ; SCNP S3 và S ABC S Khi đó: S1 1 1 1 AM AP sin A AB AC.sin A AB AC.sin A S 2 8 S2 1 1 1 BM BN sin B AB BC.sin B BA.BC.sin B S 2 4 1 1 1 S3 CN CP sin C CB .CA.sin C CB.CA.sin C S 2 3 17 17 1 1 Vậy S1 S S3 S S S Do đó S MNP S S 24 24 24 8 3 S MNP S S S 24 24 Cách giải khác: (khơng dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có BM đỉnh N nên S S NAB 1 Xét các tam giác ABN và ABC có BN BC nên S ABN S 3 1 Từ (1) và (2) suy ra S S S 4 1 Chứng minh tương tự ta được S3 S ; S1 S 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AB và chung chiều cao vẽ từ 4 1 1 Do đó S MNP S S S S S 24 24 8 3 ) (cùng phụ với BOE Bài 7. Ta có AOD BEO AOD thì BEO Ta đặt Xét AOD vng tại O, ta có: OD Xét BEO vng tại B, ta có: OE OA cos cos OB sin sin Diện tích tam giác DOE là: 1 S OD.OE * 2 cos sin sin cos Áp dụng bất đẳng thức x y xy ta được: sin cos sin cos hay 2sin cos Thay vào (*) ta đươc: S sin cos (dấu “=” xảy ra khi sin cos 45) Vậy S 6cm khi 45 Nhận xét: Việc đặt AOD giúp ta tính được các cạnh góc vng của DOE , từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc Do đó việc tìm S đưa về tìm max sin cos đơn giản hơn. Bài 8. a) Ta có AB / /CD mà AH CD nên AH AB K 90; • ADH và ABK có: H B (hai góc đối của hình bình hành). D Do đó ADH ∽ ABK (g.g). Suy ra AD AH AB AK Do đó AK AH AH (vì AD BC ) AB AD BC ); B (cùng phụ với BAK • KAH và ABC có KAH AK AH AB BC Do đó KAH ∽ ABC (c.g.c). 8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra KH AK AC AB AK AB Xét ABK vng tại K có sin B Vậy KH sin B hay KH AC.sin B AC b) Diện tích tam giác ABC là S 1 ab (đvdt). AB.BC sin B ab.sin 60 2 Vì S KAH ∽ S ABC nên Suy ra S KAH S KAH AK sin B S ABC AB 3 ab 3 3ab (đvdt) S ABC 4 16 Ta có S ABCD ab sin 60 ab (dvdt) S ABK 1 BA.BK sin 60 BA BA cos 60 sin 60 2 1 a2 (đvdt) a.a 2 S ADH 1 DA.DH sin 60 DA DA cos 60 sin 60 2 1 b2 b (đvdt) 2 Mặt khác S AKCH S ABCD S ABK S ADH Nên S AKCH ab a b 3 4ab a b (đvdt) 8 NAB 1800 600 : 600 Bài 9. Ta có NAx AN AC.sin 60 S ANB AN AB.sin 60 S ABC AB AC.sin 60 S ANC Vì S ANC S ANB S ABC 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com nên 1 AN AC.sin 60 AN AB.sin 60 AB AC.sin 60 2 Do đó AN AC AB AB AC Suy ra AC AB 1 1 hay AB AC AN AB AC AN 5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM AN S ABM 1 ; AB AM sin 450 AB AM 2 S ABN 1 ; AB AN sin 450 AB AN 2 S AMN AM AN (vì AMN vuông tại A). Mặt khác, S ABM S ABN S AMN nên: 2 1 AB AM AB AN AM AN 2 2 2 AM AN Do đó AB AM AN AM AN AM AN AB 2 hay 1 ; + AM AN AB b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45 Ta có S ANC 1 AC AN sin 45 AC AN ; 2 S AMC 1 AC AM sin 45 AC AM ; 2 S AMN AM AN (vì AMN vng tại A). Mặt khác, S ANC S AMC S AMN nên AM AN Do đó AC AN AM Suy ra AN AM AM AN 2 AC AN AC AM AM AN 2 2 AC 2 hay 1 AM AN AC 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 11. • Trường hợp góc A nhọn A Ra đặt Ta có S ABD S ACD AB AD.sin 2 AC AD.sin ; S ABC AB AC.sin 2 Mặt khác, S ABD S ACD S ABC nên AB AD.sin AC AD.sin AB AC.sin 2 2 Suy ra AB AD.sin (vì sin sin AC AD.sin AB AC.2.sin cos cos ) 2 Do đó AD AB AC AB AC.2.cos AB AC Suy ra AB AC 2.cos dẫn tới AD AB AC 2.cos AD • Trường hợp góc A tù thì BAx 180 Ta đặt BAC là góc nhọn. Khi đó BAx Ta có S ABD S ACD S ABC Do đó AB AD.sin AC AD.sin AB AC.sin 180 2 2 180 180 AB AC.2.sin 90 cos 90 cos AB AC.2.sin 2 2 2 2 AB AC.2.cos sin 2 Suy ra AD AB AC AB AC.2.cos AB AC Do đó AB AC 2.cos hay AB AC AD 2.cos AD 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 A 90 thì ta chứng minh được Nhận xét: Nếu 1 , vẫn phù hợp với kết luận của AB AC AD bài toán. Bài 12. Ta có S AOB OA.OB.sin150 S AOC OA.OC sin150 S BOC OB.OC.sin 300 Mặt khác, S AOB S AOC S BOC 1 nên OA.OB.sin15 OA.OC sin15 OB.OC sin15 cos15 2 Do đó OA OB OC 2OB.OC cos15 Suy ra 1 OB OC cos15 hay OB.OC OA OB OC 6 a.4 Bài 13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta đặt OC OA x, OD OB y , AD m, CD n AOD ADC 90 Giả sử Xét OCD có AOD là góc ngồi nên C D AOD C D Mặt khác D ADC Suy ra C 1 Ta có S ADO 1 ; S m y sin D n.x sin C DCO 2 Mặt khác S ADO S DCO nên m y n.x Do đó x m 2x m AC AD hay y n 2y n BD DC Bài 14. Ta có S sin B AB.BC sin B 2S 2.9, 69 sin 500 AB.BC 4, 6.5,5 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6 2a 50 Vậy B Bài 15. Ta có S AB AC.sin B sin B S 3 sin 60 AB.BC 4.3 60 D 60; A C 120 Vậy B Bài 16. Ta đặt AD x, AE y Khi đó diện tích ADE là S1 x y sin ; S1 S 25cm Ta có DE x y xy cos Mặt khác x y xy (dấu “=” xảy ra khi x y ) Do đó DE xy xy cos xy 1 cos 2 xy sin 1 cos 4S1 1 cos 100.2sin 100 tan sin sin 2sin cos 2 Vậy DE 100 tan 10 tan A Bài 17. Ta có AB AC cos AD (bài 5.11) 1 cos 360 10 cos 360 Do đó 4, 5,3 AD 4, 7.5,3 AD Suy ra AD 4, 7.5,3.2.cos 360 4, cm 10 A Bài 18. Ta có AB AC cos AD 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 cos 600 1 AD cm Do đó 12 AD AD Bài 19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC Ta thấy AC AB BC (vì 82 52 ) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cơsin ta có: BC AB AC 2bc cos A 52 82 2.5.8 cos A Do đó cos A Ta có: A 600 A cos 300 AB AC AD 1 13 AD 40 cm AD 40 AD 13 Ta có Bài 20. Ta đặt BAC AB AC Mặt khác AD 1 AB AC AD cos Do đó cos cos cos 600 AD AD 2 Suy ra Do đó cos cos 600 1200 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Tốn Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện? ?tích? ?các? ?tam? ?giác? ?ABD và? ?tam? ?giác? ?ACD bằng diện? ?tích? ?tam? ?giác? ?ABC. Ví dụ 6.? ?Tam? ?giác? ?ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng? ?tam? ?giác? ?này có diện tích? ?nhỏ hơn 7cm... • Phương pháp? ?tính? ?diện? ?tích? ?của tứ? ?giác? ?trong ví dụ này là chia tứ? ?giác? ?thành hai? ?tam? ?giác? ? khơng có điểm trong chung, rồi? ?tính? ?diện? ?tích? ?của từng? ?tam? ?giác. Ví dụ 3. Cho? ?tam? ?giác? ?nhọn ABC. Gọi độ dài? ?các? ?cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c.? ?Tính? ?diện ... Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA OB 8cm ? ?Tính? ?diện? ?tích? ?lớn nhất của? ?tam? ?giác? ?AOB. Bài 6. Cho? ?tam? ?giác? ?nhọn ABC. Trên? ?các? ?cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy? ?các? ?điểm M,N, P sao cho 1 1 AM AB,