SKKN Ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trang bị tri thức, phương pháp phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu đặt lên hàng đầu mục tiêu dạy học mơn tốn Việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT theo chương trình phổ thơng năm 2018 yêu cầu giáo viên trình dạy học cần phát triển lực đặc thù mơn tư lập luận tốn học, giải vấn đề toán học, giao tiếp toán học, mơ hình hóa tốn học, sử dụng cơng cụ phương tiện toán học Dạy toán trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Dạy giải tập tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh Đối với học sinh yêu cầu có kỹ vận dụng kiến thức vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo tư biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu Trong việc dạy giải tập Toán việc quan trọng hàng đầu phải rèn luyện kỹ giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, cách hệ thống dạng tập theo chủ đề Trong chương trình tốn học phổ thơng nói chung chương trình tốn 12 nói riêng, phần kiến thức khối đa diện phần kiến thức khó, đòi hỏi học sinh khả tư trừu tượng cao muốn giải tập phần em không hiểu mặt kiến thức mà cịn phải có kỹ vận dụng, vẽ hình, phân chia, lắp ghép hồn thành tập Tuy nhiên trình dạy học phần giáo viên biết tìm cho hướng phù hợp để dẫn dắt em vào chuỗi hoạt động học tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp em hình thành kiến thức phát triển lực cách nhẹ nhàng Để đạt điều giáo viên cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy, thay truyền thụ kiến thức cho em giáo viên cần tạo tình để em hoạt động, từ giúp em chiếm lĩnh tri thức Bên cạnh đó, yêu cầu đổi kiểm tra đánh giá theo chương trình phổ thơng đòi hỏi phải phát huy lực người học mà cụ thể với phần tập khối đa diện biết cách nhận dạng khối đa diện cịn phải biết tính thể tích, khơng tính theo cơng thức thể tích túy thể tích khối chóp, khối lăng trụ mà cịn phải biết phân chia, lắp ghép để tính thể tích khối phức tạp, đa hình dạng Với lí tác giả lựa chọn đề tài: “Ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện” 1.2 Mục đích nhiệm vụ đề tài +) Nghiên cứu sở lý luận tư sáng tạo +) Nghiên cứu phát triển, sáng tạo phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện +) Tạo hệ thống tập theo chủ đề nhằm rèn luyện kỹ giải tốn phần thể tích khối đa diện cho học sinh, cho giáo viên dạy học theo chủ đề, ơn thi tốt nghiệp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng 1.3 Đối tượng nghiên cứu Q trình dạy học nội dung Hình Học 12 – phần thể tích khối đa diện 1.4 Giới hạn đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp kĩ thuật phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện 1.5 Phương pháp nghiên cứu +) Phương pháp nghiên cứu lí luận +) Phương pháp điều tra quan sát +) Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.6 Bố cục đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, đề tài trình bày chương Chương Cở sở lí luận thực tiễn Chương Ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Chương Thực nghiệm sư phạm 1.7 Thời gian thực Năm học 2020-2021 PHẦN II NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận Trong chương trình hình học lớp 12, chương I giới thiệu khối đa diện thể tích khối đa diện, chương nối tiếp với phần hình học khơng gian tổng hợp học lớp 11 Thực tế chương mặt kiến thức có tính chất hàn lâm phần kiến thức phía trước đa dạng hình thù khối đa diện, khái niệm thể tích khái niệm trìu tượng, học sinh làm tập theo hình thức máy móc mà khơng hiểu chất vấn đề Trong khái niệm thể tích khối đa diện, sách giáo khoa xây dựng theo phương pháp lắp ghép khối đa diện, cụ thể là: “Nếu khối đa diện  H  phân chia thành hai khối đa diện  H1   H  V H   V H   V H  ”, trình giảng dạy giáo viên chưa khai thác nghĩa khái niệm dẫn đến trình dạy học tập rời rạc, thiếu tính liên kết dẫn dắt gây khó hiểu cho học sinh q trình học tập thiếu liền mạch tiết dạy giáo viên Vấn đề sách giáo khoa không đề cập cụ thể số ví dụ tập thể điều (làm rõ mục 2.2.1), giáo viên hệ thống xây dựng nên thành phương pháp học sinh vận dụng tạo phương pháp giải tốn hiệu 1.2 Cơ sở thực tiễn Để xác định sở thực tiễn đề tài, sử dụng phương pháp điều tra nghiên cứu cách tiến hành thăm dò 20 giáo viên dạy trường THPT khu vực lận cận với nội dung: - Câu hỏi 1: Giáo viên có quan tâm đến toán “ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện khơng? - Câu hỏi 2: Giáo viên có sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép vào tốn tính thể tích khối đa diện q trình dạy học khơng? - Câu hỏi 3: Giáo viên nhận thấy trình dạy học có sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép có hiệu so với khơng sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép? Kết thu thập được: Câu hỏi Câu hỏi Câu hỏi Kết 18 giáo viên quan tâm giáo viên không quan tâm 12 giáo viên thường xuyên sử dụng giáo viên sử sử dụng giáo viên không sử dụng 10 giáo viên trả lời hiệu giáo viên trả lời hiệu giáo viên trả lời không hiệu Tỉ lệ % 90% 10% 60% 25% 15% 50% 30% 20% Như đa số giáo viên có biết đến phương pháp phân chia lắp lắp ghép để tính thể tích khối đa diện nhiên số lượng giáo viên sử dụng cịn chưa thấy hiệu phương pháp Hơn phần lớn giáo viên chưa hình thành phương pháp riêng chưa có đề tài đề cập đến nội dung phương pháp nên có sử dụng phương pháp trình dạy học đúc rút từ kinh nghiệm thân Bởi trình dạy-học giáo viên học sinh gặp nhiều khó khăn mà nguyên nhân do: +) Học sinh có trí tưởng tượng khơng gian chưa tốt +) Do đặc thù mơn học có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu sử dụng kiến thức hình học khơng gian vấn đề khó học sinh +) Học sinh quen với hình học phẳng nên dễ nhầm lẫn sử dụng tính chất hình học phẳng mà khơng hình học khơng gian +) Vẫn cịn số học sinh chưa xác định động học tập nên chưa chăm học chưa ý học làm tập +) Do giáo viên chưa có phương pháp phù hợp với lực học sinh Từ vấn đề đưa cho thấy việc xây dựng phổ biến đề tài cấp thiết, đáp ứng nhiều yêu cầu trình dạy học 1.3 Mục tiêu đề tài - Xây dựng phương pháp tính thể tích đơn giản, hiệu - Giúp học sinh hệ thống hóa mạch kiến thức, phát triển lực tư - Giúp giáo viên hình thành tốn tương tự, tốn mới, khái qt hóa vấn đề từ xây dựng chủ đề khối đa diện hoàn chỉnh Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Một số kiến thức a) Khái niệm khối đa diện, lưu ý phân chia lắp ghép khối đa diện +) Hình đa diện hình khơng gian tạo hữu hạn đa giác thỏa mãn tính chất: - Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung - Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác +) Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể phần hình +) Lưu ý phân chia lắp ghép khối đa diện: - Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ,  H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H  , hay lắp ghép hai khối đa diện  H1   H  với để khối đa diện  H  - Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện b) Các công thức tính thể tích khối đa diện lưu ý +) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B , chiều cao h là: V  Bh +) Thể tích khối chóp có diện tích đáy B , chiều có h là: V  Bh +) Nếu hai khối đa diện  H1   H  V H   V H  +) Nếu khối đa diện  H  phân chia thành hai khối đa diện  H1   H  thì: V H   V H   V H  +) Tỉ số thể tích (Bài tập 4-sgk-trang 25-Hình học 12) Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với điểm S , ta có: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC 2.2 Phân tích phương pháp, kĩ thuật phân chia lắp ghép khối đa diện qua số tốn chương trình hành 2.2.1 Phân tích tốn sách giáo khoa hình học lớp 12 Bài (Ví dụ-sgk-trang 24-Hình học 12-Khái niệm thể tích khối đa diện) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' Gọi E F trung điểm cạnh AA ' BB ' Đường thẳng CE cắt đường thẳng C ' A ' E ' Đường thẳng CF cắt đường thẳng C ' B ' F ' Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V b) Gọi khối đa diện  H  phần lại khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' sau cắt bỏ khối chóp C.ABFE Tính tỉ số thể tích  H  khối chóp C.C ' E ' F ' Lời giải: a) Ta có: VABC A' B 'C '  S A' B 'C ' d (C, ( A ' B ' C '))  V 1 VC A ' B 'C '  S A ' B 'C ' d (C , ( A ' B ' C '))  V 3  VC ABB ' A '  VABC A ' B 'C '  VC A ' B 'C ' V  V  V 3 C A E E' B F A' Mặt khác VC ABB ' A '  S ABB ' A ' d (C , ( ABB ' A ')) C' B' F' 1 VC ABFE  S ABFE d (C , ( ABFE )) , S ABFE  S ABB ' A ' ( EF đường trung bình hình bình hành ABB ' A ' ) d (C, ( ABFE ))  d (C, ( ABB ' A ')) 2 3 Suy ra: VC ABFE  VC ABB ' A '  V  V 2 b) Theo kết câu a) ta có: V H   VABC A' B 'C '  VC ABFE  V  V  V Lại có: AC || A ' E '  EC EA    E trung điểm CE ' EE ' EA ' Tương tự F trung điểm CF ' , đó: E ' F ' || EF || A ' B ' E ' F '  EF  A ' B '  CE ' F ' CA ' B '  SCE ' F '  4SC ' A ' B ' V H  4 VC C ' E ' F '  SC ' E ' F ' d (C , (C ' E ' F '))  SC ' A ' B ' d  C , (CA ' B '   V Vậy: VC C ' A ' B ' 3 V 3  V Nhận xét: +) Đối với câu a) thực chất phân chia khối lăng trụ thành ba khối chóp C.C ' A ' B '; C.EFB ' A ' C.ABFE tích nhau, để tính thể tích khối C.ABFE cần phải tính qua thể tích hai khối C.C ' A ' B ' C ABB ' A ' +) Đối với câu b) rõ ràng khơng có cơng thức để trực tiếp tính thể tích cho mà phải tính gián tiếp thơng qua khối chóp C.ABFE Như hình dung phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện giống cách làm gián tiếp Bài (Bài tập 2-sgk-trang 25-Hình học 12) Tính thể tích khối bát diện cạnh a Phân tích: Dễ dàng nhận thấy khơng có cơng thức tính thể tích cho khối bát diện nên để tính thể tích khối bát diện cạnh a cần phân chia thành hai khối chóp tích Xét khối bát diện SABCDS ' ta có: S VSABCDS '  2VS ABCD Với S ABCD khối chóp tứ giác Gọi O tâm đáy ABCD AO  a AC  2 D A O B C a a SO  SA  AO  a   2 2 S' 1 a a3 a a Vậy: VSABCDS '  VS ABCD  S ABCD SO  a   3 6 Bài (Bài tập 3-sgk-trang 25-Hình học 12) Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Tính tỉ số thể tích khối hộp thể tích khối tứ diện ACB ' D ' Lời giải: Gọi V thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Chia khối hộp thành khối tứ diện ABCB '; ACDD '; A ' AB ' D '; C ' CB ' D ' ACB ' D ' Xét khối tứ diện ABCB '; ACDD '; A ' AB ' D '; C ' CB ' D ' , khối có diện tích mặt đáy nửa diện tích đáy khối hộp chiều cao chiều cao khối hộp nên thể tích khối 6 C B A D B' C' V Do đó: VACB ' D '  V  V  V A' D' V V Vậy tỉ số thể tích bằng: ABCD A' B 'C ' D '  3 VACB ' D ' V Nhận xét: Hình dung cách giải có phần trái ngược lập luận Bài muốn tính thể tích khối ban đầu cần tính thể khối nhỏ sau ghép chúng lại để thể tích khối lớn, cịn ngược lại để tính thể tích khối nhỏ từ khối ban đầu chia nhỏ trừ thể tích khối biết thể tích khối cần tính Có thể gọi cách giải phương pháp lắp ghép cách giải phương pháp phân chia, toán đề tài làm rõ vấn đề Bài (Bài tập 10-sgk-trang 27- Hình học 12) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ' B ' C ' có tất cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A ' BB ' C b) Mặt phẳng qua A ' B ' trọng tâm tam giác ABC , cắt AC BC E F Tính thể tích hình chóp C '.A ' B ' FE Lời giải: a) Chia khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' thành khối tứ diện A ' ABC; CA ' B ' C ' A ' BB ' C Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: 3 a Thể tích khối A ' ABC; CA ' B ' C ' là: 1 VA ' ABC  VCA ' B 'C '  S ABC AA '  V 3 Vậy: VA' BB 'C  V  V  V  a3 3 12 A' C' B' V  S ABC AA '  A C B b) Cách 1: Tính trực tiếp Ta có EF A ' B ' giao tuyến  A ' B ' FE  với hai mặt đáy  ABC  ,  A ' B ' C ' song song với nên EF || A ' B ' || AB Do hình chóp C '.A ' B ' FE có đáy hình thang cân Gọi P trọng tâm tam giác ABC M , N trung điểm AB, A ' B ' EC FC EF CP     AC BC AB CM 2 1 a a  EF  AB  a , MP  CM   3 3 A' C' N H B' A C E P M F B A ' B '  CN , A ' B '  MN  A ' B '   CMNC '   A ' B '  NP hay NP đường cao hình thang A ' B ' FE a MP Xét tam giác vng MNP có: tan MNP    MN a  S A ' B ' FE 12 MN a 13  NP    a 13 12 12  tan MNP MNP cos 1 12 13 1  13 39   A ' B ' EF  NP   a  a  a a 2  12 36  cos MNP    Mặt khác, kẻ C ' H  NP H , A ' B '   CMNC '  A ' B '  C ' H , C ' H   A ' B ' FE  hay C ' H đường cao khối chóp C ' A ' B ' FE 2 2 Ta có SC ' NP  CN d  P, CN   SC 'CMN  C ' N MN  a Lại có: SC ' NP 3 a a 2SC ' NP a 13  C ' H NP  C ' H    a NP 13 13 a 12 39 13 3 a a a 36 13 36 Vậy: VC ' A' B ' FE  S A' B ' FE C ' H  Cách Sử dụng phương pháp lắp ghép Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' Khi VABC A' B 'C '  S ABC CC '  3 a Gọi I giao điểm CC ' mặt phẳng  A ' B ' FE  Khi ba đường thẳng CC ', A ' E, B ' F đồng quy điểm I IC IF IE EF     IC ' IB ' IA ' A ' B ' VI CEF IC IE IF    VI C ' A ' B ' IC ' IA ' IB ' 27 A' C' B' Ta có: A E P M 1 VI C ' A ' B '  S A ' B 'C ' IC  S A ' B 'C ' 3CC '  S A ' B 'C ' CC '  V 3  VI CEF  V 27 Do thể tích khối chóp cụt EFC.A ' B ' C ' 19 VEFC A ' B 'C '  V  V  V 27 27 Mặt khác: VEFC A' B 'C '  VC ' A' B ' FE  VC '.CFE 1 4 Trong đó: VC '.CFE  SCFE CC '  SCAB CC '  V 3 27 19  VC ' A ' B ' FE  VEFC A ' B 'C '  VC '.CFE  V  V  V 27 27 5 3 Vậy: VC ' A ' B ' FE  a3  a 36 B C F I Nhận xét: +) Đây toán hay đòi hỏi tư sáng tạo học sinh +) Ở câu a) thấy khối tứ diện A ' BB ' C có cách sử dụng hai mặt phẳng  A ' BC   CA ' B ' để chia khối lăng trụ ban đầu thành ba khối tứ diện tính hai khối liên quan +) Ở câu b) nhận thấy học sinh giỏi phán đốn dùng cách tính trực tiếp để tính thể tích khối chóp C '.A ' B ' FE dài Với cách giải thứ hai ta sử dụng cách ghép thể tích khối cần tính với khối chóp để sử dụng cơng thức tỉ số thể tích đưa cách giải dễ hiểu ngắn gọn Ngoài phương pháp lắp ghép khối đa diện, với tốn giải theo phương pháp phân chia khối đa diện, xin trình bày tốn đề xuất phía sau +) Như q trình dạy học ngồi dạy cho cách em cách giải toán trực tiếp cần phát triển lực giải theo tư phân chia lắp ghép khối đa diện để tạo nhiều hướng giải cho toán Bài (Bài tập 11-sgk-trang 27-Hình học 12) Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh BB ' DD ' Mặt phẳng  CEF  chia khối hộp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện Phân tích: Việc xác định thiết diện hình hộp dẫn đến hướng giải cho toán Nếu dựng thiết diện theo quan hệ song song nghĩ đến dùng phép biến hình, dựng theo giao điểm đường mặt hướng đến phương pháp phân chia lắp ghép Lời giải: Cách 1: (Sử dụng phép biến hình) Gọi O tâm hình hộp, O trung điểm A ' C nên trung điểm EF , tứ giác A ' ECF hình bình hành Suy A ' E || CF , A ' F || CE Mặt khác mặt phẳng  AA ' B ' B   CC ' D ' D  ;  ADD ' A '  BCC ' B ' cặp mặt phẳng song song nên giao với mặt phẳng  CEF  đường thẳng song song hay  CEF    AA ' B ' B   A ' E;  CEF    CC ' D ' D   CF B C E A D O B' C' F A' D' Gọi  H  hình đa diện có đỉnh A, B, C, D, A ', E, F  H ' đa diện lại Phép đối xứng tâm O biến đỉnh A, B, C, D, A ', E, F tương ứng thành đỉnh C ', D ', A ', B ', C, F , E , từ biến hình  H  thành hình  H ' Do hình  H  hình  H ' tích Vậy V H  V H ' 1 Cách 2: Sử dụng phương pháp lắp ghép B C E A M B' O D C' F A' D' N Trên  BCC ' B ' gọi M  CE  B ' C ' ,  CDD ' C ' gọi N  CF  C ' D ' Suy MN giao tuyến  CEF   A ' B ' C ' D ' 10 Nhận xét chung: Có thể phát triển toán theo nhiều hướng khác phương pháp phân chia lắp ghép phương pháp có hiệu để tính thể tích dạng tập 2.3.4 Kẻ thêm hình phụ cho tốn Đặt vấn đề: Trong mục đề tài đưa toán để minh họa cho nội dung thể việc kẻ thêm hình phụ đa dạng khơng tạo nên hình chóp tốn mục trước mà tạo nên hình lăng trụ Bài tốn Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC tất cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh AA BB Đường thẳng CE cắt đường thẳng CA G , đường thẳng CF cắt đường thẳng CB H Tính thể tích khối đa diện EFABGH B Lời giải: Theo giả thiết B ' F , A ' E đường trung B bình hai tam giác CHC, CGC nên ta có A A C CH  CG  2a F Ta dựng khối lăng trụ tam giác CA1B1.C GH có cạnh đáy 2a cạnh bên H E a Thể tích khối ABC.ABC B' 1 V1  a2 a3 a  4 G A' C' Khối CA1B1.CGH khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 2a chiều cao a nên tích V2  SCGH  2a  a  a  a 3 a a a3   V1 2 12 3 Thể tích khối C.ABFE V3  a a3 a3  3 Thể tích khối CEFCAB V4  V1  Khối C.CGH V5  SCGH a  V2  a3  Vậy thể tích khối EFABGH V5  V4  a3 a3 a3 a3   6 Nhận xét: Thực tế đa số tốn có sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện kẻ thêm đường phụ hình phụ Tuy nhiên đề tài lựa chọn toán để thấy việc kẻ hình phụ đa dạng, kẻ để tạo thành hình chóp mục trình bày phía hình lăng trụ bao hàm hình đa diện cần tính thể tích kẻ thêm để tạo 36 thành hình nằm khối đa diện Mỗi cách kẻ hình cho ta phương pháp giải phù hợp miễn đến kết toán nhanh Nhận xét chung chương 2: Qua chương ta thấy dạng tốn tính thể tích khối đa diện dạng tốn khó áp dụng phương pháp phân chia lắp ghép dễ dàng tính thể tích chúng Chương đề tài làm sáng tỏ phương pháp phân chia phương pháp lắp ghép, đồng thời đưa số hệ thống tập chương trình hành có sử dụng hai phương pháp Bên cạnh chương cịn xây dựng thêm hệ thống tập khái quát dựa ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép, phát triển thêm dạng phù hợp với nội dung kì thi nước Đối với giáo viên trình giảng dạy cần áp dụng phương pháp để xâu chuỗi kiến thức cho em, hình thành thói quen nhìn tốn tính thể tích theo phương pháp để tiếp cận tiếp thu kiến thức tốt Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đưa đề tài ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện 3.2 Đối tượng thực nghiệm Tại trường THPT Diễn Châu 4, huyện Diễn Châu, Tỉnh Nghệ An chọn lớp 12C1 làm lớp thực nghiệm lớp 12C10 làm lớp đối chứng 3.3 Tiến hành thực nghiệm *Nội dung thực nghiệm Chúng tiến hành dạy thực nghiệm dạy học theo chủ đề bài: “ Luyện tập thể tích khối đa diện – tiết 7,8 PPCT Hình học 12 bản” Lớp dạy: 12C1 - Trường THPT Diễn Châu I Mục tiêu *Về kiến thức : Nắm kiến thức khối đa diện cơng thức tính thể tích khối đa diện *Về kỹ năng: : Biết tính xác định diện tích đáy chiều khối chóp, khối lăng trụ để tính thể tích khối quen thuộc Biết vận dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác để tính thể tích Biết phân chia lắp ghép khối đa diện thành khối chóp, lăng trụ để tính thể tích *Về thái độ: Yêu cầu học sinh nghiêm túc học tập, cẩn thận vẽ hình làm bài, tính tốn lập luận phải xác * Về lực hướng tới : Phát triển lực tư cá nhân : So sánh, phân tích, tổng hợp Phát triển lực hợp tác theo nhóm, theo cặp II Chuẩn bị phương tiện dạy học Thực tiễn: Học sinh chuẩn bị số mơ hình khơng gian Phương tiện: Chuẩn bị dụng cụ dạy học thước kẻ, phấn màu, máy chiếu III Phương pháp dạy học: Chủ yếu vận dụng phương pháp dạy học vấn đáp gợi mở, đan xen hoạt động nhóm 37 ( GV chia lớp thành 04 nhóm cố định theo vị trí cặp bàn liên tục theo dãy) IV Tiến trình học hoạt động: Tiết : Mục tiêu : Về kiến thức : Thể tích khối đa diện với tốn tỷ số thể tích, phân chia lắp ghép Về kỹ : Biết cách áp dụng cơng thức tính tỷ số cơng thức tính thể tích Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện Về lực: phát triển lực tư duy, hợp tác, giải vấn đề, mơ hình hóa Tiến trình 1) Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số, kiểm tra tác phong học đường 2) Kiểm tra cũ: Hoạt động 1: Kiểm tra cũ Câu hỏi: (giao cho học sinh chuẩn bị nhà) 1) Cho tam giác ABC , M điểm cạnh BC Chứng minh S ABM BM  S ABC BC 2) Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm khác A ' B ', C ' khác với S Chứng minh VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - GV vẽ hình đồng thời yêu cầu d  A, BM  BM S BM học sinh đứng chỗ nêu cách 1) ABM   S ABC BC chứng minh ý d  A, BC  BC d  A, BM   d  A, BC  A B C M - GV vẽ hình mời học sinh lên 2) Gọi H , H ' hình chiếu bảng giải nhanh ý C , C ' lên mặt phẳng  SAB  Vì S , C , C ' thẳng hàng nên S , H , H ' thẳng hàng CH / /C ' H ' S A' H' C' A C H B' B GV cho học sinh lớp nhận xét, sau chốt vấn đề: ý 1) toán C ' H ' S C ' H ' SC ' VS A ' B 'C ' SA ' B '    ; VS ABC CH SC S SAB CH SA '.SB '.sin A ' SB '.C ' H ' SA ' SB ' SC '   SA SB SC SA.SB.sin ASB.CH 38 mặt phẳng tỉ số diện tích ý 2) tốn khơng gian tỉ số thể tích Hai tốn tương tự hình thức, cách chứng minh ý 1) gợi ý cho cách chứng minh ý 3) Bài Hoạt động Hình thành phương pháp phân chia lắp ghép mơ hình đơn giản Bài tốn 1: Cho khối chóp S ABC , cạnh SA, SB, SC lấy điểm A ', B ', C ' cho SA '  k1SA; SB '  k2 SB; SC '  k3 SC ;   k1 , k2 , k3  1 Gọi V thể tích khối chóp S ABC Tính thể tích khối chóp S.A ' B ' C ' khối đa diện  H  tạo đỉnh A, B, C, A ', B ', C ' Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - GV chiếu đề hình vẽ, mời học Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có: VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' sinh đứng chỗ nêu lời giải toán   k k k VS ABC S SA SB SC Vậy: VS A ' B 'C '  k1k2 k3 VS ABC  k1k2 k3V C' A' V H   V  VS A' B 'C '  V 1  k1k2 k3  A C B' B - H1: Hãy cho biết cách tính thể tích khối  H  bạn trực tiếp hay gián tiếp Hãy rút nhận xét phương pháp tính - Gián tiếp - Để tính thể tích khối đa diện  H  ta sử dụng thể phân chia khối tứ diện ban đầu thành khối  H  khối chóp S.A ' B ' C ' , sau tính thể tích khối  H  dựa vào thể tích khối ABCD S A ' B ' C ' Bài toán Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng   song song với AB CD cắt cạnh AD; DB; BC; CA M , N , P, Q Giả sử khối tứ diện thành hai phần Tỉ số thể tích MA  , mặt phẳng   chia MD V1 hai khối đa diện ABMNPQ V2 CDMNPQ bằng: Hoạt động giáo viên GV vẽ hình, sau vấn đáp để học sinh tìm phương pháp giải Hoạt động học sinh Dựng lăng trụ BNP.HMQ Khi HA  HB Ta có V1  VABMNPQ  VA.HQM  VBNP.HMQ H  AB cho 39 VA.HMQ A VA.BDC M VBNP.HMQ Q VABCD N B 1 1   3 27 D P 3 S BNP d  Q,  BNP   SABC d  A;  BCD   d  Q;  BNP    S BNP S ABC d  A;  BCD   C H1 Có cách để quy tốn cách giải phương pháp tỉ số không? H2: Để áp dụng cách giải theo toán tỉ số toán 1, cạnh AB lấy thêm điểm H , nên chọn H có vị trí áp dụng tỉ số thể tích nhanh nhất? H3: Chia khối đa diện có đỉnh A, B, M , N , P, Q thành khối AMQH MQH NPB , tính thể tích khối nào? S 1 Ta có: BNP      S ABC   d  Q;  BNP   d  Q;  ABC   CQ    d  A;  BCD   d  A;  BCD   CA 2   VABCD 9 VABMNPQ VA.HQM  VBNP.HMQ      VABCD VABCD 27 27 V Vậy  V2 20  VBNP.HMQ H4: Qua toán này, thấy phương pháp áp dụng để tính thể tích khối đa diện? GV chốt vấn đề: Bài toán áp dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện (giải thích kĩ cho học sinh) Phương pháp phân chia lắp ghép: +) Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1  ,  H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H  , hay lắp ghép hai khối đa diện  H1   H  với để khối đa diện  H  +) Nếu khối đa diện  H  phân chia thành hai khối đa diện  H1   H  thì: V H   V H   V H  Như để tính thể tích khối đa diện  H  cần tính khối  H1   H  ngược lại để tính khối  H1   H  cần biết thể tích hai khối 40 Hoạt động Học sinh hoạt động theo nhóm tiến hành áp dụng phương pháp phân chia lắp ghép vào giải tốn tính thể tích khối đa diện GV chia lớp thành nhóm yêu cầu nhóm 1, giải tốn 3, nhóm 3,4 giải tốn phương pháp phân chia lắp ghép Bài toán Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình hình bình hành thể tích khối chóp S ABCD 18 Biết điểm M , N trung điểm SA, SB Tính thể tích khối đa diện ABCDMN Bài toán Cho tứ diện ABCD có AB; AC; AD đơi vng góc Biết AB  2a; AC  5a; AD  9a Gọi M , N , P tương ứng trung điểm BC; CD; DB Tính thể tích khối AMNP Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung - GV trình chiếu đề - HS nhận nhiệm Bài S bài, phát phiếu học vụ tập cho nhóm - GV tính thời gian hồn thành 10P 2P trình bày kết - HS phân công nhiệm vụ M N B - HS thảo luận - GV theo dõi, quan sát - GV gợi ý cần +) Đối với tập 1: Do khơng có cơng thức tỉ số thể tích cho khối chóp tứ giác nên chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác để áp dụng cơng thức tỉ số thể tích +) Đối với tập 2: Phân chia khối tứ diện ABCD thành khối để tính thể tích khối AMNP - HS trình bày giải bảng phụ - HS cử đại diện lên bảng thuyết trình để trình bày giải A D C VS MNC SM SN SC 1    VS ABC SA SB SC 2 1  VS MNC  VS ABC  VS ABCD VS MCD SM SC SD   VS ACD SA SC SD 1  VS MCD  VS ACD  VS ABCD  VS MNCD  VS MNC  VS MCD 1  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD 8 Vậy VABCDMN  VS ABCD  VS MNCD 5 45  VS ABCD  18  8 Bài 41 - GV yêu cầu nhóm khác nhận xét - GV trình bày lời giải chi tiết - GV yêu cầu nhóm cho điểm - GV nhận xét cho điểm VDANP  DN DP VDABC  VDABC DC DB - HS nhận xét kết Tương tự ta có nhóm khác - HS theo dõi kết xác giải VBPAM  VDABC ;VCAMN  VDABC 4 VDNAP  VBAPM  VCAMN  VAMNP  VABCD  VAMNP  VABCD Ta có - HS đánh giá cho điểm VABCD  1 AB AC AD  2a.5a.9a  15a 6 Suy VA.MNP  VA.BCD  15 a Hoạt động Hoạt động củng cố Bài toán 5: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi M , N , P điểm cạnh SA , SC , SB cho SM  2MA , SN  3NC , SP  4BP Mặt phẳng  MNP  chia khối chóp cho thành hai phần, tính thể tích phần tích nhỏ Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - GV vẽ hình, yêu cầu học sinh suy Gọi O  AC  BD , O  SO  MN , nghĩ tìm hướng giải Q  PO  SD Khi Q giao điểm SD với  MNP  mặt phẳng S  MNP  chia khối chóp cho thành hai phần khối chóp S.MPNQ khối đa diện MPNQABCD Q M Vì O trung điểm AC BD nên O' SB SD SO SA SC SO  2  2 D SP SQ SO SM SN SO O SA SC SB SD B C    Từ suy SM SN SP SQ - H1: Hãy xác định giao điểm của SD SA SC SB 19 SD với mặt phẳng  MNP  ?         SQ SM SN SP 12 SM SN SP - H2: Mặt phẳng  MNP  chia khối chóp VS MPN  SA SC SB VS ABC  V thành khối đa diện nào? SM SN SQ VS MNQ  VS ACD  V 19 SA SC SD 34 - H3: Hãy xác định mối liên hệ V V  V S MPNQ  VS MPN  VS MNQ  95 tỉ số điểm M , N , P, Q P A N cạnh SA, SB, SC, SD ? - H4: Nêu cách so sánh thể tích hai khối đa diện chia mặt phẳng Vậy phần tích nhỏ khối chóp S.MPNQ tích 34 V 95 42  MNP  ? 4) Củng cố học Qua học, học sinh cần nắm phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Làm cịn lại ôn tập chương I Tiết Mục tiêu Kiến thức : PP phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích nâng cao Kỹ : Biết tính thể tích khối đa diện cơng thức tỉ số Về lực: phát triển lực tư duy, hợp tác, giải vấn đề, mơ hình hóa Tiến trình 1) Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số, kiểm tra tác phong học đường 2) Kiểm tra cũ: Hoạt động Câu hỏi : (Giao cho học sinh chuẩn bị trước nhà) Tính thể tích khối bát diện cạnh a Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - GV nêu câu hỏi, yêu cầu học sinh Xét khối bát diện SABCDS ' ta có: VSABCDS '  2VS ABCD chuẩn bị - GV vẽ hình, mời học sinh lên Với S ABCD khối chóp tứ giác bảng trình bày nhanh giải Gọi O tâm đáy ABCD S AO  D A a AC  2 SO  SA2  AO  a  O B C S' - GV mời lớp nhận xét giải a2 a  2 a a3 VS ABCD  S ABCD SO  a  3 a a Vậy: VSABCDS '   - GV nhận xét cho điểm 3) Bài : Hoạt động PP phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện nâng cao Bài tốn 1: (Bài tập 11-sgk-trang 27-Hình học 12) Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh BB ' DD ' Mặt phẳng  CEF  chia khối hộp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - GV vẽ hình yêu tất học sinh - HS suy nghĩ tìm lời giải tìm phương pháp giải cho toán dựa vào số gợi ý giáo viên - HS trình bài giải theo hướng dẫn giáo viên 43 B + Giải theo phương pháp lắp ghép (tham khảo mục 2.2.1-bài 5) C E A B' O D B E F A M A' C C' D O B' C' F D' H1: Xác định giao điểm đường AA ' với mặt phẳng  CEF  dựa vào tính chất song song hai mặt phẳng, từ xác định thiết diện khối hộp với mặt phẳng  CEF  H2: Để tính khối  H  cần chia theo khối đa diện mặt phẳng nào? A' N + Giải thep phương pháp phân chia (tham khảo mục 2.2.1-bài 5) B C E A GV Hướng dẫn học sinh theo phương pháp lắp ghép B' O D C' F A' GV hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp phân chia D' D' GV chốt vấn đề: Với phương pháp phân chia lắp ghép nói chung ta tích thể tích cho khối đa diện cách ghép thêm khối đa diện tính thể tích để tạo thành khối đặc biệt chia khối đa diện thành khối tính thể tích Hoạt động Học sinh hoạt động theo nhóm tiến hành rèn luyện kĩ sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Bài tốn 2: Khối lăng trụ đứng ABC.ABC tích V  12 Gọi D; E; M trung điểm AC; CC BC Mặt phẳng  DEM  chia khối lăng trụ thành khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện khơng chứa đỉnh A Bài tốn 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện  ABCD  thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung - GV trình chiếu đề - HS nhận nhiệm Bài bài, phát phiếu học vụ tập cho nhóm 44 - GV tính thời gian hồn thành 10P 2P trình bày kết - HS phân cơng nhiệm vụ - HS thảo luận - GV theo dõi, quan sát - GV gợi ý cần - HS trình bày giải bảng phụ - HS cử đại diện lên bảng thuyết trình để trình bày giải Trong  ACC A  , DE  AC  L DE  AA  K Trong  ABC  , LM  AB  G GK  AB  H Ta có KA  CE E trung điểm 1 CC   KA  CC   AA  AA  KA 2 KA  KA  KA  AA  3KA  KA 3 KA KD AD //AL    , KA  KA KA KL VK AGL 3   VK AGL  VA AGL VA AGL Kẻ CN //AC  GBM  NCM  g.c.g   CN  BG  BG CN  AG AG CN //AG CE //AK  CN LC LE    AG LA LK BG   AG  3BG  AG  AB AG SAGL GA AL 3      SABC BA AC V KA SAGL  K AGL    VABC ABC  AA SABC  16  - GV yêu cầu nhóm khác nhận xét - HS nhận xét kết nhóm khác - GV trình bày lời giải chi tiết - GV yêu cầu nhóm cho điểm - HS theo dõi kết xác giải Từ ta có: VK AHD KA KH KD     VK AGL KA KC KL 27 26  VAHD AGL  VK AGL 27 Tương tự: VL.ECM  VK AGL 27 Thể tích phân không chứa điểm A là: 26 24 VK AGL  VK AGL  VK AGL  27 27 27 Bài 3: (Xem mục 2.2.3) 45 A M P B D E - GV nhận xét cho điểm - HS đánh giá cho điểm N Q C V  VABCD  V1  2a3 2a3 11 2a3   12 216 216 Hoạt động Hoạt động củng cố Bài toán 4: Cho khối chóp S ABC có diện tích đáy chiều cao Gọi M , N , P trọng tâm mặt bên SAB, SBC, SCA Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C, M , N P Hoạt động giáo viên - GV vẽ hình, yêu cầu lớp suy nghĩ lời giải GV gợi ý theo câu hỏi: - Xác định giao điểm cạnh SA, SB, SC với mặt phẳng  MNP  ? - Chia khối chóp chụt ABC.EFG thành khối cần tìm khối nào? - So sánh thể tích khối với thể tích khối chóp S ABC GV nhận xét Hoạt động học sinh - HS suy nghĩ HS trả lời câu hỏi HS trình bày lời giải ( Tham khảo thêm mục 2.3.3) 4) Củng cố học Qua học, học sinh cần nắm phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Vận dụng giải tập lại ôn tập chương I 3.4 Xử lí kết thực nghiệm Để kiểm chứng kết đề tài, tiến hành cho học sinh thực hai kiểm tra 15p hai lớp 12C1 12C10 trường THPT Diễn Châu lớp 12C1 học tiết luyện tập khối đa diện có sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép cịn lớp 12C10 khơng sử dụng phương pháp Đề : (Thực trước học thực nghiệm) 46 Cho khối lăng trụ ABC ABC Gọi E trọng tâm tam giác ABC F trung điểm BC Tính tỉ số thể tích khối B.EAF khối lăng trụ ABC ABC Lời giải: M trung điểm BC nên S EAF  S AAMF d  B,  AAMF    d  B,  AEF   B A C F Vì VB AAMF  VABF ABM  VB ABF  VABF ABM  VABF ABM VABF ABM Suy VBEAF  VB AAMF 2 1  VABF ABM  VABC ABC   VABC ABC  3  B' A' E M C' Đề 2: (Thực sau học thực nghiệm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có M , N , P trung điểm cạnh BC, C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , tính thể tích khối tứ diện AMNP Lời giải: NP  CD  E Đặt DC  2d , BC  2r S EMA  S ECBA  S EMC  S ABM  5dr  dr  dr  dr 2 1 VNEAM  S EMA d ( N , ( EMA))  S EMA CC '  4dr.CC ' 3 24  VABCD A ' B ' C ' D '  30 Vậy: VNPAM  VNEAM  15 24 Kết thực nghiệm: Lớp Sĩ Đề Giỏi số SL % 12C1 40 10 25 15 37,5 12C10 42 9,5 11,9 Khá TB Yếu SL % SL % SL % 20 50 10 25 2,5 24 60 2,5 0 23 54,8 14 33,3 2,4 25 59,5 12 28,6 2,4 Kém SL % 0 0 0 0 Nhận xét: Qua kết thực nghiệm nhận thấy sau học xong hai tiết luyện tập, kết kiểm tra lại hai lớp cao nhiên học sinh học hiểu ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép làm nhanh hơn, hiệu Tại lớp 12C1 số học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên rõ rệt, số học sinh trung bình yếu giảm xuống lớp 12C10 rõ ràng phương pháp phân chia lắp ghép kết thay đổi so với ban đầu Nhận xét chung chương 3: Trong chương tiến hành thực nghiệm ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép vào tiết dạy thực tế đánh giá tính hiệu 47 áp dụng phương pháp Từ chúng tơi nhận thấy sử dụng phương pháp cách rộng rãi để giáo viên áp dụng thực theo phương pháp dạy học theo hướng phát huy lực học sinh đồng thời giúp học sinh lĩnh hội kiến thức logic hệ thông tập, giúp em hứng thú với mơn học MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA 48 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Quá trình nghiên cứu Đề tài nghiên cứu cách nghiêm túc, cẩn thận Trong trình giảng dạy, yêu cầu cần phải thay đổi phương pháp để đón đầu xu thế, thực tế cho thấy việc dạy học theo chủ đề khối đa diện mang tính chất rập khn nên thân tơi suy nghĩ cần định hướng để tìm đường dạy học phù hợp Ngoài thân tự nghiên cứu tơi cịn tham khảo ý kiến từ đồng nghiệp học sinh để đúc rút kinh nghiệm phục vụ trình nghiên cứu Ý nghĩa đề tài Qua thời gian nghiên cứu đề tài áp dụng vào thực tiễn q trình dạy học tơi nhận thấy đề tài đạt nhiều ứng dụng hiệu chương trình phổ thơng nói chung mơn tốn nói riêng, cụ thể là: - Đề tài xây dựng phương pháp phương pháp giải tốn chủ đề thể tích khối đa diện chương trình hình học lớp 12 - Đề tài giúp giáo viên có cách nhìn hệ thống kiến thức hình học thể tích khối đa diện, khái qt hóa số dạng tốn, phục vụ cho q trình dạy học - Đề tài giúp học sinh xâu chuỗi kiến thức học chủ đề thể tích khối đa diện, giúp em cảm nhận phần kiến thức khơng phải q khó, cần biết phương pháp giải áp dụng nhuần nhuyễn học tốt - Đề tài tiếp cận với nội dung chương trình thi tốt nghiệp Bộ Giáo Dục nên dùng để làm tài liệu cho giáo viên học sinh q trình ơn tập - Đề tài góp phần vào phát triển chung xu toán học, đưa nội dung kiến thức toán đến gần gũi với người học người dạy Tuy nhiên bên cạnh ưu điểm đề tài số vấn đề cần bổ sung khái qt hóa số tốn thành dạng tổng quát, phát triển thêm việc sử dụng phép đồng dạng để tính nhanh kết quả, … hạn chế mặt thời gian quy định số trang sáng kiến, mong đóng góp ý kiến từ quý thầy cô giáo đồng nghiệp em học sinh để đề tài hoàn thiện Kiến nghị Nhà trường cần có định hướng để đưa nội dung ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép nghiên cứu đề tài phổ biến vào chương trình dạy học, khuyến khích giáo viên nghiên cứu phát triển thêm Tổ môn nên đưa chủ đề xây dựng đề tài vào sinh hoạt chuyên mơn để nâng cao hiệu q trình giảng dạy thành viên Giáo viên cần quan tâm đến phương pháp nêu đề tài để vào phục vụ trình dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp theo hướng tiếp cận phát triển lực người học Diễn Châu, tháng năm 2021 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] SGK hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên, Nhà xuất giáo dục [2] SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất giáo dục [3] Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc Ban-Tạ Mân, Nhà xuất giáo dục [4] Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 12, ThS Lê Hồnh Phị, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Phương pháp giải tốn hình học không gian, Trần Quang Minh, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [6] Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn Tốn tập 2, Trịnh Khắc Tuấn, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] Rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian, Nguyễn Mạnh Hùng, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [8] Tốn nâng cao hình học THPT tập 2, Phan Huy Khải, Nhà xuất Hà Nội [9] Phân dạng phương pháp giải chuyên đề hình học 12, Nguyễn Phú Khánh, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [10] Đề thi thpt Quốc gia, thi tốt nghiệp từ năm 2017 đến [11] Tuyển tập đề thi thử Thpt Quốc gia trường nước [12] Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh thành phố 50 ... phương pháp phân chia phương pháp lắp ghép phương pháp chung phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện Hiểu theo nghĩa phương pháp phân chia cần tính thể tích khối đa diện  H  chia nhỏ khối. .. đề khối đa diện hoàn chỉnh Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Một số kiến thức a) Khái niệm khối đa diện, lưu ý phân chia lắp ghép khối đa diện. .. đến toán ? ?ứng dụng phương pháp phân chia lắp ghép để tính thể tích khối đa diện khơng? - Câu hỏi 2: Giáo viên có sử dụng phương pháp phân chia lắp ghép vào toán tính thể tích khối đa diện q trình