Hình bình hành

HÌNH BÌNH HÀNH A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối A B song song ABCD ABCD hình hình hành    AB // CD, AD // BC D C - Chú ý: Hình bình hành hình thang đặc biệt có hai cạnh H1 bên song song Tính chất: Trong hình bình hành - Tính chất cạnh: Các cạnh đối - Tính chất góc: Các góc đối - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Mở rộng - Hai hình bình hành có đường chéo chung đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung A B K O D H C B BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F B trung điểm AB, CD Gọi M , N , P, Q lần E lượt trung điểm AF , CE, BF , DE A P CMR: Tứ giác MNPQ hình bình hành Q N I M C F D Lời giải Ta có QF , NF đường trung bình tam giác CDE QF // EC QF // NE  ;  NF // DE QE // NF  QFNE hình bình hành  QN , FE Cắt trung điểm đường Gọi I trung điểm EF  I trung điểm QN Chứng minh tương tự: Tứ giác MEPF hình bình hành  I trung điểm MP  dpcm Bài 2: Cho tứ giác ABCD điểm I thuộc miền M B tứ giác Gọi M , N , P, Q E A điểm đối xứng với I qua trung điểm I H cạnh AB, BC, CD, DA N F Q G D C Chứng minh MNPQ hình bình hành P Lời giải 2 Ta có MN / / FE; MN = 2FE; PQ / /GH ; PQ = 2GH ; HG / / AC; HG = AC; FE / / AC; FE = AC Bài 3: Cho tam giác ABC điểm I thuộc A miền tam giác Gọi M , N , P lần F lượt trung điểm BC, CA, AB Gọi E N P D, E , F điểm đối xứng với I I qua M , N , P Chứng minh đường M B C thẳng AD, BE, CF đồng quy D Lời giải +) Tứ giác ABIF hình bình hành (hai đường chéo cắt trung điểm đường  FA // = BI (1) +) Tứ giác BICD hình bình hành  BI // = CD(2) Từ (1)(2)  FA / / = CD(1)  FACD hình bình hành  AD, CF cắt trung điểm đường (3) Tương tự: ABDE hình bình hành  AD, BE cắt trung điểm đường (4) Từ (3)(4) ta có điều phải chứng minh Bài 4: Cho ABC , O điểm thuộc miền tam giác D, E , F A trung điểm AD, BC , CA L, M , N trung điểm L D OA, OB,, OC F O Chứng minh EL, FM , DN đồng quy N M B Lời giải   DF = MN = BC +) DMFN hình bình hành, do:   DF / / MN / / BC E C  DN , FM cắt trung điểm đường  MLFE : hbh  DLNE : hbh Tương tự:  Bài 5: Cho hình bình hành ACBD , ADC = 750 O E giao điểm hai đường chéo Từ D hạ DE, DF A E  AB, F  AC ) Tính C D F Lời giải +) Gọi O giao điểm AC BD Vậy O trung điểm AC, BD ABC = ADC = 750 Xét tam giác vuông BDE , có: AO = OD = OB = O vng góc với AB BC ( EOF B BD  Eˆ1 = Bˆ1 +) EOD = B1 + E1 = 2B1 (Gocngoai) +) FO = BD = OB = OD  B2 = F1  DOF = 2B2 Tương tự: EOF = EOD + FOD = 2( B1 + B2 ) = ABC = 1500 Bài 6: Cho ABC , có trung tuyến AD, BE, CF A Biết BE ⊥ CF Chứng minh rằng: AD2 = BE + CF E M F Sử dụng phương pháp dịch chuyển tức thời G B D C Lời giải  MC = BE  MC / / BE  MC ⊥ CF ( BE ⊥ CF ) Dựng hình bình hành BEMC    ME / / BC   FE / / CB(duongTB) Vậy M , E, F thẳng hàng +) FE = BC FM = ME + FE = BC + BC = BC (1) 2  AD = 3GD   AD = BC (2) Mặt khác:  BGC : GD = BC Từ (1)(2)   AD2 = FC + BE (dpcm) 2 2 Pytago : FM = FC + MC  MF = AD  MF = AD2 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Về phía hình bình hành dựng tia Ax, By, Cz, Dt tạo với AB, BC, CD, DA góc  Các tia cắt tạo thành tứ giác MNPQ Chứng minh AC , BD, MP, NQ đồng quy A B M 2 N Q 2 P D C Lời giải +) Đi chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành A1,2 = 750 = C1,2    C2 = A2  MN / / PQ (1) A1 = 750 = C1  Tương tự: B2 = D2  MQ / / NP (2)  MNPQ : hinhbinhhanh +) Thêm: AMCP hình bình hành  AM = CP ADM = CBP( gcg )    HBH  dpcm  AM // CP Bài 8: Cho tứ giác ABCD , E trung điểm A AD, F trung điểm BC G đỉnh B E hình bình hành CADG H đỉnh F I hình bình hành CABH J C D a Chứng minh BD / /GH H b HD = EF G Lời giải a Có DG / / BH DG = BH nên tứ giác BDGH hình bình hành  BD = GH (dpcm) b Gọi I trung điểm BD, J trung điểm BH  JI = DH (1)  A     EI = JF JE = CH     EIJF : hinhbinhhanh   EI / / JF AB = CH    EI =  JI = FE (2)  HD = 2FE (dpcm) Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi A ' đối xứng với A B' qua C , B ' đối xứng với B qua A , C ' đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến I A tam giác ABC , B ' M ' trung tuyến tam giác A ' B ' C ' M a Chứng minh tứ giác ABM ' M hình bình G J C C' B hành M' b G giao điểm BM B ' M ' Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC A' A' B 'C ' Lời giải 2 a BM ' = / / A ' C  BM ' = / / AC = AM  ABMM ' : hinhbinhhanh b Gọi I trung điểm B ' G, J trung điểm BG Suy  JI / / =  JI / / AB BB '    JI = AB  JI / / = MM '  JIMM ' : hinhbinhhanh IJ đường trung Suy G trung điểm IM ' GM ' = GI = IB ' MJ    G ABC , A ' B ' C ' GM = GJ = JB bình tam giác GBB ' Bài 10: Cho tam giác ABC , đường thẳng A song song với BC cắt AB, AC D E Gọi G trọng tâm tam giác ADE , I G trung điểm CD Tính số đo góc tam D K E giác BIG I C B Lời giải +) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt ED K +) CBDK hình bình hành nên KB cắt CD I +) DG = EG +) GDK = GDB = 1500 +) KEC  KC = KE   KE = BD  GEK = GDB(cgc)  GK = GB  GBK cân  KC = DB Suy GI trung tuyến, đường cao  GI ⊥ BK  GIB = 900 ; BGK = EDG = 1200 (AED : deu, G : trongtam)  GBK = GKB = 300 (GKB : cantaiG)  BGI = 600 Bài 11: Cho tam giác ABC , H trực tâm, I giao A điểm đường trung trực, K điểm đối xứng với H qua trung điểm BC P CMR K đối xứng với A qua I H N I B I' C M K Lời giải M trung điểm BC HK  BHCK hình bình hành  BH / /CK  ; BH ⊥ AC  CK ⊥ AC ; CH / / BK  BK / / CH  AB ⊥ BK  CH ⊥ AB Gọi I ' trung điểm AK  I ' N đường trung bình tam giác ACK  I ' N // CK ' I ' N ⊥ AC Gọi P trung điểm AB  I ' P đường trung bình tam giác ABK  I ' P / / BK  I ' P ⊥ AB Có: I ' N : trungtruc : AC    I  I '  K đối xứng với A qua I I ' P ⊥ AB  I ' P : trungtruc : AB  Bài 12: Cho ABC , phía tam giác vẽ E tam giác ABD, ACE Gọi I , M , N trung điểm DE, AB, AC A I Chứng minh IMN F M N D C B Lời giải Dùng phương pháp phóng to tam giác IMN  FE = AD = BD  DF = AE = CE Gọi F điểm đối xứng với A qua I  ADFE hình bình hành    BF = FC  F1 = B1 +) ADF = AEF  D1 = E1 (= 600 − ADF )  FEC = BDF (cgc)   +) BFC = 3600 − F1 − BFD − DFE = 3600 − DBF − BFD − DFE = 3600 − (1800 − BDF ) − (1800 − ADF ) = BDF + ADF = ADB = 600  BFC 2 +) MI = BF ; NI = FC; MN = BC  MI = NI = MN  MNI Bài 13: Cho hình bình hành ABCD , Gọi E , F lần D C lượt trung điểm AD, BC , đường chéo Q AC cắt BE , DF P Q , gọi R E O trung điểm đoạn thẳng BP CMR: P a) AP = PQ = QC A R B b) Tứ giác ARQE hình bình hành Lời giải a, Trong BCD có CO DF hai đường trung tuyến nên Q trọng tâm 1  OQ = QC = OC (1) Tương tự  ABD có P trọng tâm  OP = 1 AP = AO (2) Từ (1) (2) ta có AP = CQ Ta lại có: PQ = AC − AP − QC = AC − ( AP ) = AC − AO = AC − AC = AC = AP 3 Vậy AP = PQ = QC b) Vì P trọng tâm ABD nên EP = PB = PR Tứ giác ARQE có hai đường chéo cắt tịa trung điểm đường nên hình bình hành 10 Bài 14: Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , tia H D C phân giác góc D qua trung điểm I AB Kẻ AH vng góc với DC CMR: M a) AB = AD b) DI = AH I A B c) AC vng góc AD Lời giải a) ADI cân đỉnh A  AD = AI  AD = AI = AB b) Kẻ ⊥ AH ⊥ DC, AM ⊥ DI  ADM = ADH  AH = DM = DI c) ACD có D = 600  CD = AD  ADC vng A Bài 15: Cho hình bình hành ABCD , lấy hai điểm I A K BD E , F BD cho BE = DF  E a) Chứng minh AECF hình bình hành O b) Gọi K giao điểm CE AB , I D trung điểm AK , xác định vị trí điểm E F cho AI = IK = KB Lời giải a) Xét ABE CDF ta có: AB = CD, B1 = D1 BE = CF  ABE = CDF (cgc)  AE = CF Chứng minh tương tự AF = CE  AECF hình bình hành OA = OC  OI / / CK ,  AI = KI b) Ta có   BK = IK  E trung điểm OB   KE / / IO 11 C B Bài 16: Cho tam giác ABC , tia đối tia BC , I lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = BC = CE , Qua D kẻ đường K H thẳng song song với AB cắt AC H , qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt A AB K , chúng cắt I a) Tứ giác BHKC hình gì? B D b) Tia IA cắt BC M Chứng minh M C E MB = MC c) Tìm điều kiện ABC để tứ giác DHKE hình thang cân Lời giải a) Tứ giác BHKC hình bình hành có đường chéo BK HC cắt trung điểm đường b) Tứ giác AHIK hình bình hành nên AK / / IH AK = IH AB / / IH ; AB = IH  ABHI hình bình hành  IA / / HB  AM đường trung bình BCH  MB = MC c) Tứ giác DHKE hình thang HK / / DE để hình thang cân  D = E hay B = C  ABC cân A Bài 17: ( ) Cho hình thang vuông ABCD A = D = 900 , B A có CD = AB , gọi H hình chiếu D H AC , M trung điểm HC M Chứng minh BMD = 900 N D 12 C Lời giải Gọi N trung điểm HD , ta có MN đường trung bình  MN = DC, MN / / DC Mà AB / / DC, AB = DC nên AB / / MN AB = MN  ABMN hình bình hành  AN / / BM ADM có DH ⊥ AM , MN ⊥ AD, AN ⊥ DM Khi BMD = 900 Bài 18: Cho hình thang vng ABCD , A = D = 900 , B A CD = AB = AD Gọi H hình chiếu H D lên AC Gọi M , N , P trung a) P Q điểm CD, CH DH Chứng minh tứ giác ABMD hình D vuông tam giác BCD tam giác vuông M C cân b) Chứng minh DMPQ hình bình hành c) Chứng minh AQ ⊥ DP Lời giải a) Chứng minh tứ giác ABMD có cạnh nhau, lại có A = 900 nên ABMD hình vng BCD có MB = MC = MD nên tam giác vng, lại có BDC = 450 Do BCD tam giác vuông cân B b) Tứ giác DMPQ hình bình hành có PQ / / DM PQ = DM c) Chứng minh Q trực tâm ADP 13 Bài 19: Cho tam giác ABC có góc A tù, AC  AB , A H chân đường cao hạ từ A , phía N góc BAC , dựng D E cho AD vng I B góc với AB , AD = AB , AE vng góc với AC AE = AC , M C H D M trung điểm DE E CMR: A, H , M thẳng hàng F Lời giải Dựng hình bình hành DAEF  M trung điểm AF  AE = DF Mà AE ⊥ AC  DF ⊥ AC Ta có: DAE + BAC = DAE + BAD + DAC = 900 + 900 = 1800 Mà: DAE + ADF = 1800 = BAC = ADF ADF = ABC ( cgc )  B = DAF ; C = F Gọi FD cắt BC I , cắt AC N AF cắt BC H '   H ' IF = NIC ( d )   IH ' F = N = 900 ,  C = F Hay AF ⊥ BC H  A, F , H thẳng hàng  A, H , M thẳng hàng Bài 20: Cho hình bình hành ABCD có AB BD cắt O , Gọi ( d ) đường thẳng qua A không cắt đoạn BD , B' gọi B A BB ', CC ', DD ' khoảng cách từ B, C, D đến O' đường thẳng ( d ) , ( B ', C ', D ' nằm ( d ) ) C' Chứng minh rằng: BB '+ DD ' = CC ' O D' D 14 C Lời giải Vẽ OO ' ⊥ d ( O '  d ) Có OO ' đường trung bình nên 2OO ' = BB '+ DD ' (1) Tương tự ACC ' có OO ' đường trung bình nên 2OO ' = CC ' ( ) Từ (1) (2)  BB '+ DD ' = CC ' (đpcm) Bài 21: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng A B (d) nằm bên ngồi hình bình hành, Gọi A ' , O B ', C ', D ' hình chiếu A, B, C, D (d) C D CMR: AA '+ CC ' = BB '+ DD ' d A' D' O' B' C' Lời giải Vì ABCD hình bình hành Nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Gọi O giao hai đường chéo AC BD O ' hình chiếu O xuống ( d ) Khi ta có OO ' đường trung bình hình thang AA ' C ' C nên 2OO ' = AA '+ CC ' (1) Tương tự OO ' đường trung bình hình thang DD ' B ' B nên 2OO ' = DD '+ BB ' ( ) Từ (1) (2)  AA '+ CC ' = BB '+ DD ' Vậy HM ⊥ BN  BMN có MH vừa đường cao vừa trung tuyến nên MB = MN 15 Bài 22: Cho ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ), gọi A H trực tâm, O giao điểm đường trung trực tam giác, D điểm đối xứng H A qua O a) CMR: Tứ giác BHCD hình bình hành O b) Gọi M trung điểm BC B C M Chứng minh AH = 2MO D Lời giải a) Từ AO = OC = OD  chứng minh ACD = 900 , Ta có DC ⊥ AC, BH ⊥ AC ( H trực tâm ABC )  BH / /CD Chứng minh tương tự ta có CH / BD Vậy BHCD hình bình hành b) M trung điểm BC  M trung điểm DH Mà O trung điểm AD  OM đường trung bình ADH  OM = AH  AH = 2OM Bài 23: Cho hình bình hành ABCD , Các đường cao N A B AE AF , biết AC = 25cm, EF = 24cm Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H F H AEF D Lời giải Kẻ CN vng góc với AB 16 E C Tứ giác EHFC có EH / /CF , HF / /CF nên EHFC hình binh hành  AN = HF ( = EC ) Tứ giác ANFH có AN = HF , AN / / HF nên hình bình hành  AH / / NF Lại có AH ⊥ EF nên NF ⊥ EF EFN vuông F có EF = 24cm, NE = AC = 25cm  NF = NE − EF = 252 − 242 = 49  NF =  AH = 7cm Bài 24: Cho tam giác ABC đều, đường thẳng // A với BC cắt AB, AC D E , gọi D G trọng tâm tam giác ADE , I trung E D K điểm CD , Tính số đo góc tam giác BIG I B C Lời giải Qua C vẽ đường thẳng song song với BD , cắt DE K Ta có BDKC hình bình hành  B, I , K thẳng hàng Chứng minh BDG = GEK ( cgc ) Để BGK cân G có BGK = 1200 , góc BIG 900 , 600 ,300 Bài 25: Cho ABC , D AB, E AC cho P BD = CE , Gọi M , N trung điểm BC , DE , Vẽ hình bình hành BDNI A Q CENK D N a) CMR: I , M , K thẳng hàng b) MN cắt AC Q , cắt BA P B I 17 M E K C Chứng minh APQ cân Lời giải  BI / / DN  BI / / DE  BI = DN a) Tứ giác BDNI hình bình hành    KC / / NE  KC / / DE  KC = NE Tứ giác NECK hình bình hành   Từ ta có CK / / DE BI = CK  Tứ giác BICK hình bình hành có M trung điểm BC  M qua trung điểm IK  I , K , M thẳng hàng b) Ta có NI = BD, NK = CE mà BD = CE  NI = NK  NIK cân N Mà MN đường trung tuyến  NM phân giác  N1 = N2 Lại có NK / /CQ  N2 = Q2 (đồng vị) NI / / BD  N1 = P (đồng vị )  Q2 = P = Q1 = Q2 (đối đỉnh)  P = Q1 Vậy APQ cân A 18