02.2_Bai 2_Cuc Tri_Vd-Vdc-01_Hdg_Chi Tiết.pdf

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Page 55 C H Ư Ơ N G I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ – VD – VDC – 01 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (MĐ 101[.]

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ – VD – VDC – 01 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (MĐ 101-2022) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  x  2mx  64 x có ba điểm cực trị? A B C 12 D 11 Lời giải Chọn C Xét hàm số f  x   x  2mx  64 x  f   x   x3  4mx  64 Ta có f   x    x3  4mx  64   m  x  Đặt g  x   x  16 x 16 16  g x  2x   g x   x  x x Bảng biên thiên x  Xét phương trình f  x    x  2mx  64 x    x  mx  64   Suy x3  2mx  64   m  Đặt h  x   32 x  x 32 32 x   g   x   x   h  x    x  x x Bảng biên thiên Page 55 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Nhận xét: Số cực trị hàm số y  f  x  số cực trị hàm số y  f  x  số nghiệm bội lẻ phương trình f  x   Do u cầu tốn suy hàm số y  f  x  có cực trị phương trình f  x   có m  12 nghiệm bội lẻ   m  12 m  12 Vì tham số m nguyên dương nên m  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10;11;12 Vậy có 12 giá trị nguyên dương tham số m thoả mãn Câu 2: (MĐ 102-2022) Có giá trị nguyên âm tham số a để hàm số y  x  2ax  8x có ba điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D Xét hàm số f  x   x  2ax  x  f   x   x3  4ax  Ta có f   x    x  4ax    a   x  x Đặt g  x    x  2  g   x   2 x   g   x    x  x x Bảng biến thiên x  Xét phương trình f  x    x  2ax  x     x  2ax   Xét phương trình x3  2ax    a   x  x 4 Đặt h  x    x   h  x    x   h  x    x  x x Page 56 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên Nhận xét: Số cực trị hàm số y  f  x  số cực trị hàm số y  f  x  số nghiệm bội lẻ phương trình f  x   Do u cầu tốn suy hàm số y  f  x  có cực trị phương trình f  x   có a  3 nghiệm bội lẻ   a  3 a  3 Vì tham số a nguyên âm nên a  1; 2; 3 Vậy có giá trị nguyên âm tham số a thoả mãn Câu 3: (MĐ 103-2022) Có giá trị nguyên âm tham số a để hàm số y  x  ax  x có ba điểm cực trị? A B C 11 D 10 Lời giải Chọn B Xét hàm số f  x   x  ax  x ; f   x   x3  2ax  x  f  x     x  ax   Vì phương trình bậc ba ln có tối thiểu nghiệm nên để hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị phương trình f  x   có nghiệm phân biệt f   x   có nghiệm bội lẻ Đặt g  x   x3  ax   g   x   x  a Để g  x   có nghiệm  1 TH1: x  a  vô nghiệm có nghiệm kép  a  a   TH2: x  a  có hai nghiệm phân biệt   a x    Page 57 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ   a  a a a  g         a  8  a  3 a   ( sai )   3    1      a a a g   a   a  3 16   a  8      3 3 3   Suy a  3 16 Để f   x   có nghiệm bội lẻ   TH1: 12 x  2a  vơ nghiệm có nghiệm kép  a  a   TH2: 12 x  2a  có hai nghiệm phân biệt   a x      a  a a a  f          a  8  a  6   6  a   ( sai )          a a a  f    a    a  6   2a    4    6 6     Suy a  6 Vậy a  6 thỏa ycbt với a     a  6; 5; 4; 3; 2; 1 Cách 2: y  x  ax  x y  x  ax  x  x3  2ax   x  ax  x  x  x3  ax   x3  ax   x  ax  x Để hàm số y  x  ax  x có ba điểm cực trị  phương trình y  có nghiệm bội lẻ Vì x  khơng nghiệm phương trình x  ax   x3  ax   Khi x   x3  g  x Ta có x  ax    a  x g x  8  x3   x  3 x2 Page 58 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có x3  ax    a  h  x    x3  h  x x 4  x3   x  1 x2 Yêu cầu toán  a  6 với a   a  6; 5; 4; 3; 2; 1 Câu 4: (MĐ 104-2022) Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  x  mx  64 x có ba điểm cực trị? A 23 B 12 C 24 D 11 Lời giải Chọn C Xét f  x   x  mx  64 x Ta có f   x   x  2mx  64   m  x  Đặt g  x   x  32 x 32 32  g   x   x   g   x    x  2 x x Page 59 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x  Xét phương trình f  x    x  mx  64 x     x  mx  64  Xét x3  mx  64   m  x  Đặt h  x   x  64 x 64 64  h  x   x   h  x    x   32 x x Ta có số điểm cực trị hàm số y  f  x  tổng số điểm cực trị hàm số y  f  x  số nghiệm bội lẻ phương trình f  x   Suy yêu cầu toán trở thành hàm số y  f  x  có điểm cực trị phương trình f  x    m  24 có nghiệm bội lẻ   m  24 m  h  32  30, 23    Câu 5:  Vì m ngun dương nên có 24 giá trị thỏa yêu cầu toán (Tham khảo 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x  x  12 x  m có điểm cực trị? A 3 B C D Lời giải Chọn D y  f  x   x  x  12 x  m Ta có: f   x   12 x 12 x  24 x ; f   x    x  x  1 x  Page 60 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Do hàm số f  x có ba điểm cực trị nên hàm số y  f  x  có điểm cực trị Câu 6: m    m  Vậy có giá trị nguyên thỏa đề m  1; m  2; m  3; m   m    (Mã 101, Năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x5   m   x  đạt cực tiểu x  ? A C Lời giải B D Vô số Chọn C Ta có y  x8   m   x5   m   x   y  x   m   x   m   x3   y   x x   m   x  m    x    g  x   x   m   x   m    Xét hàm số g  x   x   m   x   m   có g  x  32x  5 m  2 Ta thấy g   x   có nghiệm nên g  x  có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g  x  có nghiệm x   m  m  2 Với m  x  nghiệm bội g  x  Khi x  nghiệm bội y  y  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy m  thỏa ycbt x   Với m  2 g  x   x  20 x    x3  Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  không điểm cực tiểu hàm số Vậy m  2 không thỏa ycbt + TH2: g  0   m  2 Để hàm số đạt cực tiểu x0  g  0   m    2  m  Do m nên m1;0;1 Câu 7: Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt (Mã 102, Năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8  (m1)x5 (m2 1)x4 1 đạt cực tiểu x  0? A B C Vô số D Page 61 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn B Ta có: y '  8x7  5(m1)x4  4(m2 1)x3 1  x  y'    8 x   m  1 x   m  1  *Nếu m   x x   m  1 x   m  1  (1) y '  8x7 , suy hàm số đạt cực tiểu x  x  x  *Nếu m  1 y '    , x  nghiệm bội chẵn nên  x  8 x  10 x   cực trị *Nếu m  1 : x  nghiệm bội lẻ Xét g ( x)  x   m  1 x   m  1 Để x  điểm cực tiểu lim g ( x)  4(m  1)   m      m  Vì x  0 Câu 8: m nguyên nên có giá trị m  Vậy có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu x  m  m  (Mã 103, Năm 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x   m  16  x  đạt cực tiểu x  A C B Vô số D Lời giải Chọn A Ta có y '  x   m   x   m  16  x3  x 8 x   m   x   m  16    x g  x  Với g  x   x   m   x   m  16  ● Trường hợp : g  0   m  4 Với m   y '  8x7 Suy x  điểm cực tiểu hàm số Với m  4  y '  x  x3   Suy x  không điểm cực trị hàm số ● Trường hợp 2: g  0   m  4 Để hàm số đạt cực tiểu x  qua giá trị x  dấu y ' phải chuyển từ âm sang dương g  0   4  m  Kết hợp hai trường hợp ta 4  m  Do m    m 3; 2; 1;0;1;2;3;4 Câu 9: Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn (Mã 104, Năm 2018) Có giá trị nguyên tham số y  x8   m  3 x   m   x  đạt cực tiểu x  ? A B C m để hàm số D Vô số Page 62 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn C Ta có y  x8   m  3 x5   m   x   y  x   m  3 x   m   x3   y   x x   m   x  m    x    g  x   8x   m  3 x   m  9  Xét hàm số g  x   x   m  3 x   m   có g  x   32x  5 m  3 Ta thấy g   x   có nghiệm nên g  x  có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g  x  có nghiệm x   m  m  3 Với m  x  nghiệm bội g  x  Khi x  nghiệm bội y  y  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy m  thỏa ycbt x   Với m  3 g  x   8x  30x    15 x  4 Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  không điểm cực tiểu hàm số Vậy m  3 không thỏa ycbt +) TH2: g  0   m  3 Để hàm số đạt cực tiểu x0  g  0   m    3  m  Do m nên m2; 1;0;1;2 Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên Câu 10: m thỏa ycbt (Mã 102, Năm 2019) Cho hàm số f  x , bảng biến thiên hàm số f '  x  sau: x ∞ +∞ 1 +∞ +∞ f'(x) Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Page 63 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn D Xét hàm số y  f  x  x   Ta có y '   x   f '  x  x  Dựa vào bảng biến thiên hàm f ' x ta  x  1  x  1    x  1 x  x  a   y '    x  x  b   x  1    x2  2x  c  x  1    x  2x  d  x  1  a  1  b 1  c 1  d 1   , a  1  b   c   d  3  4 a   b    a    b   c   d Do nên  c   d   Khi phương trình 1 vơ nghiệm Các phương trình  2 ,  3 ,  4 phương trình có nghiệm phân biệt khác nhau, khác 1 Suy phương trình y '  có nghiệm đơn Vậy hàm số y  f  x  x  có điểm cực trị Câu 11: (Mã 103, Năm 2019) Cho hàm số f  x , bảng biến thiên hàm số f  x sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x  x  A B C D Lời giải Chọn C Page 64 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Xét phương trình: h  x    f  x   x  (**) Ta có: h  0  f  0   x  nghiệm (**) Mặt khác: h    x h    f  x   x  Nên (**) có nghiệm x1    f       x    x ; : h  x1    x0 ; Vì h  x  có điểm cực trị, nên (**) có khơng q 2nghiệm Vậy h  x   f  x   x  có hai nghiệm phân biệt (2) Từ (1) (2) ta được: hàm số g  x   f  x   x có điểm cực trị Câu 75: Cho hàm số y  f ( x ) đồng biến  4; có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f (2 x  2) A C B D Lời giải Chọn D   ' g  x   f (2 x  2)  g '  x    x   f ' (2 x  2)  x  f ' (2 x  2)  ' g ' x   x ' f (2 x  2) x x ' f (2 x  2)   f ' (2 x  2)   x   x x  x  Dựa vào đồ thị ta có f ' ( x)    x   x  2  2  f ' (2 x  2)    2 2  x  x x 2  x x 23  x 2 x  x 20 1  x  1  x  2 2  5  x   2  3  x  3 Ta có bảng xét dấu g '  x Page 115 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Suy hàm số y  f (2 x  2) có điểm cực trị Câu 76: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có bảng xét dấu f  x sau Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A C B D Lời giải Chọn A     Ta có g  x   f x  x  f x  x Số điểm cực trị hàm số f  x  hai lần số điểm cực trị dương hàm số f  x cộng thêm 1   x  x   Xét hàm số h  x   f  x  x   h  x    x  1 f   x  x     x  x  1       x  x  x   Bảng xét dấu hàm số h  x   f  x  x     Hàm số h  x   f  x  x  có điểm cực trị dương, hàm số g  x   f x  x  f x  x  có điểm cực trị Câu 77: Cho đồ thị y  f  x  hình vẽ đây: Page 116 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  f  x  2018   m có 5điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A B C D Lời giải Chọn C   f   x  2018   f  x  2018   m    Đặt g  x   f  x  2018   m  g   x   f  x  2018   m  f   x  2018  1  Phương trình g  x     m2 f  x  2018    2  Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 1 ln có nghiệm phân biệt Vậy để đồ thị hàm số y  g  x  có điểm cực trị phương trình   phải có nghiệm đơn  m2   2 phân biệt   m   *   m  3; 4  m        Vậy tổng phần tử   DẠNG TÌM M ĐỂ HÀM SỐ f u  x THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 78: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hàm đạo hàm f   x  hình vẽ f  b   Số giá trị nguyên m   5;5 để hàm số g  x   f  x   f  x   m có điểm cực trị Page 117 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A C B 10 D Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có bảng biến thiên f  x  : Xét hàm số h  x   f  x   f  x   m          h ' x   2f ' x   f x   2   h ' x    2f ' x   f x   2     f ' x   x  a; x  b    f  x   2 x  c c a   h ' x  2f ' x f x  f ' x Pt có nghiệm phân biệt có điểm cực trị Xét h  x           f x  f x  m Để g x  h x có điểm cực trị PT   có nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phân biệt Xét hàm số t  x   f  x   f  x  Ta có Bảng biến thiên t  x  : Page 118 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ YCBT  t  x   m có hai nghiệm đơn nghiệm bội lẻ pb     m  t a   m  t a  5        4  m     4  m     5  m  5; m   5  m     5  m   m     m   5;  4;  3;  2;  1; 0;1; 2; Cách 2: Ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  : Xét hàm số h  x   f  x   f  x   m         '  h x   2f x   f x   2   ' '  h x    2f x  f x   2    '  f x   x  a; x  b    f  x   2 x  c c a   h ' x  2f ' x f x  f ' x ' Page 119 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ     Từ YCBT g x  h x  f x  4f x  m có điểm cực trị khi:    m  f a  f (a)  5  h a        4  m    m   5  m  m  ; m   5;5   m  ; m   5;5       m  5; 4; 3; 2; 1; 0;1;2;   Câu 79: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số thực m để hàm số g  x   f  x  2020   m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Gọi a , b, c  a  b  c  ba điểm cực trị hàm số y  f  x Khi đó: f  a   6; f  b  2; f  c  Xét hàm h  x   f  x  2020 với x Khi đó: h  x   f   x  2020  x  2020   f   x  2020  x  a  2020 h  x     x  b  2020  x  c  2020 Page 120 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên hàm h  x  Hàm số g  x   f  x  2020   m có điểm cực trị Phương trình f  x  2020  m2  có nghiệm không thuộc a  2020; b  2020; c  2020 m   m2      m  2     m    2  m2     m  Vậy có giá trị nguyên m m  m  2 hàm số g  x   f  x  2020   m có điểm cực trị Câu 80: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x    x    x   m  3 x  6m  18 Có tất giá trị nguyên m để hàm số f  x  có điểm cực trị? B B D C Lời giải Chọn C  x2  x    x  2  x     Ta có f   x      x  4  x       x   m  3 x  6m  18  *  x   m  3 x  6m  18  Để hàm số f  x có điểm cực trị  Phương trình *  vơ nghiệm, có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  Trường hợp Phương *  trình vô nghiệm    m  24 m  36  24 m  72  m  36   3  m   m 2 ; 1 ; ; ; 2 m  m  3 Trường hợp Phương trình *  có nghiệm kép    4m  36    Trường hợp Phương trình *  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Trong x1  4 Page 121 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ m  3 m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    4m  36    S  x1  x2  4  x2  2m  P  x1.x2  4.x2  6m  18 Theo định lí Viète ta có   x2  2m     2m    m   m  2  x2   m  Vậy m3 ;  ; 1 ; ; ; ; ; 5 thỏa mãn yêu cầu đề Câu 81: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số h  x   f  x   f  x   2m có điểm cực trị A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn B Số cực trị hàm số h  x   f  x   f  x   2m số cực trị hàm số y  x  f  x  f  x  2m cộng với số giao điểm (khác điểm cực trị) đồ thị hàm số y  x  f  x  f  x  2m y  Xét hàm số g  x   f  x   f  x   2m g  x   f  x  f   x   f   x   f   x   f  x   1   f   x   x  g  x      x   f   x   x        BBT Page 122 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hàm số h  x  có điểm cực trị  2m   m  Đáp án B gần kết Câu 82: Cho hàm số f  x có đạo hàm f   x   x  x  a 13 x  15  Tập hợp giá trị  5x   có điểm cực trị  x 4  5   15   5   15   5 A  ;  \ 0;  B   ;  \ 0;  C   ;  \ 0  4   13   4   13   4 a để hàm số y  f   5  15    4  13  D   ;  \  Lời giải 5x  x   x   x   x   y  f    a   13  15        x 4  x 4  x 4  x 4  x   3   ax  x  4a   15 x  65 x  60  =   2  x2    x2  4  x2  4  x    20  x 25 x   x  2  x  y   x    x    ax  x  4a  ( x  nghiệm kép) (1) đặt g  x   ax  5x  4a Ycbt thỏa mãn phương trình y  có nghiệm bội lẻ phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác  2; 0;1; (Nếu g  0  y  có nghiệm bội lẻ)  a  a     52  4a.4a   5  a     a  4    g  2  4    a   a    Điều kiện:  g  2      15 a  a   g  0  13    g  3  15 a    13  4 g      3 Page 123 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 83: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  x  với x  Có giá trị nguyên dương tham số A 15 m để hàm số f  x  x  m  có điểm cực trị? C 16 B 17 D 18 Lời giải Đặt g  x   f  x  x  m  f   x    x  1 x  x   g   x    x    x  x  m  1 x  x  m  x  x  m   x   x  x  m   1  g  x     x  8x  m   2   x  x  m    3  Các phương trình 1 ,   ,   khơng có nghiệm chung đơi  x  x  m  1  với x  Suy g  x  có điểm cực trị 2   có hai nghiệm phân biệt khác 16  m  m  16 16  m   m  18    m  16   16  32  m  m  16   16  32  m   m  18 m nguyên dương m  16 nên có 15 giá trị m cần tìm Câu 84: Cho hàm số y  f ( x ) xác định  hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình bên Biết f '( x)  với x ; 3,4   9;  Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g ( x )  f ( x )  mx  có hai điểm cực trị A B C D Lời giải Chọn B g '( x )  f '( x )  m Số điểm cực trị hàm số g ( x ) số nghiệm đơn (bội lẻ) phương trình f '( x )  m 0  m  Dựa đồ thị ta có điều kiện  10  m  13 Vậy có giá trị nguyên dương m thỏa mãn Page 124 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 85: Cho hàm số y  f ( x ) Hàm số y  f ( x ) có đồ thị hình vẽ y x Tìm m để hàm số y  f ( x  m) có điểm cực trị A m  3;   B m  0;3 D m  ;0 C m  0;3 Lời giải Chọn C Do hàm số y  f ( x2  m) hàm chẵn nên hàm số có cực trị hàm số có điểm cực trị dương y  f ( x  m )  y   xf   x  m  x   x  x  m   y      x2  m    f  x  m     x  m  x    x  m  x2   m   x   m Đồ thị hàm số y  f   x  tiếp xúc trục hồnh điểm có hồnh độ x  nên nghiệm pt x   m (nếu có) khơng làm f   x  m  đổi dấu x qua, điểm cực x   2 trị hàm số y  f ( x  m) điểm nghiệm hệ  x   m  x2   m  m    m  3  m   Hệ có nghiệm dương    Câu 86: Cho hàm số f   x    x   x  x  với x   Có giá trị nguyên dương m để hàm số y  f  x  10 x  m   có điểm cực trị? A 18 B 16 C 17 D 15 Lời giải Chọn B Page 125 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x   Ta có f   x     x  , x  nghiệm kép nên qua giá trị x  f  x  x  khơng bị đổi dấu Đặt g  x   f  x  10 x  m   g '  x   f   u   x 10 với u  x  10 x  m   x  10  x    2  x  10 x  m      x  10 x  m      Nên g   x     2  x  10 x  m   1  x  10 x  m      x  10 x  m    x  10 x  m     Hàm số y  f  x  10 x  m   có điểm cực trị g  x đổi dấu lần Hay phương trình 1 phương trình   phải có hai nghiệm phân biệt khác 1'   '   2 , (Với h  x   x 10 x  m  p  x   x 10x  m  )  h     p  5   17  m  19  m     m  17 17  m  19  m  Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn   Câu 87: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x    x  1 x   m  1 x  m  , x   Có giá trị nguyên m để hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C  x  , số điểm cực trị đồ thị hàm số g  x   f  x  số điểm cực trị dương đồ thị hàm số y  f  x  cộng thêm Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số g  x   f Để hàm số g  x   f  x  có điểm cực trị đồ thị hàm số x 1   Ta có f   x     x  2  x   m  1 x  m   y  f  x  có cực trị dương  * Có x  nghiệm bội 2, x  nghiệm đơn 2 Vậy x   m 1 x  m 1  có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x  , có nghiệm x  Page 126 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Trường hợp 1: Có nghiệm x  x   m 1 x  m 1   m 1   m  1 x  Với m  , có x   m  1 x  m    x  x     TM  x  2 Với m  1 , có x   m  1 x  m 1   x   x  (Loại) 2 Trường hợp 2: x   m 1 x  m 1  có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương x  , có nghiệm âm m   1;1  m2 1  Điều kiện tương đương   1   m 1  m 1  m   Vì m    m  m thỏa mãn y  f  x , y  g x có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ thị Vậy có hai giá trị nguyên Câu 88: Cho hai hàm đa thức hàm số y  f  x có điểm cực trị A , đồ thị hàm số y  g x có điểm cực trị B A B  Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng  5;5 để hàm số y  f  x   g  x   m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Page 127 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặt h x  f  x  g  x , ta có: h x  f  x  g x ; h  x   x  x0 ; h x   x  x1 x  x2 ( x1  x0  x2 ); h  x0   f  x0   g  x0    Bảng biến thiên hàm số y  h x là: Suy bảng biến thiên hàm số y  k  x   f  x   g  x  là: Do đó, hàm số y  k  x  m có ba điểm cực trị Vì số điểm cực trị hàm số y  k  x   m tổng số điểm cực trị hàm số y  k  x  m số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình k  x   m  , mà hàm số y  k  x  m có ba điểm cực trị nên hàm số y  f  x   g  x   m có năm điểm cực trị phương trình k  x   m  có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  k  x , phương trình k  x   m  có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) m   m   Vì m , m   4 m 5;5 nên m4; 3; 2 Câu 89: Cho hàm số y  f  x   x3   2m  1 x    m  x  Tập hợp tất giá trị tham số Page 128 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ a a  m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị  ; c  , (với a, b, c số nguyên, phân b b  số tối giản) Giá trị biểu thức M  a  b  c A M  40 B M  11 C M  31 D M  45 Lời giải Chọn D Hàm số y  f  x   x   2m 1 x    m x  có đạo hàm y  f  x  3x2  2 2m 1 x    m - Để hàm số y  f  x  có điểm cực trị hàm số y  f  x có hai điểm cực trị x1 , x2 dương Tương đương với phương trình f  x  có nghiệm dương phân biệt    2m 12  3  m  m  1 m  4m2  m      2m 1    1  S  0  m2  m   m    2  m  m  2m P   0    a   Suy b   M  a  b  c  45 c  Page 129