CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Page 130 C H Ư Ơ N G I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VD – VDC – 02 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TÌM CỰC TRỊ CỦA[.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - VD – VDC – 02 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP f u x HOẶC f u x g x KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f x HOẶC f x KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Đạo hàm hàm số hợp: g x f u x g x u x f u x u x g x f u x Lập bảng biến thiên hàm số y f x biết đồ thị hàm số y f x B1 Xác định giao điểm đồ thị hàm số y f x với trục hoành B2: Xét dấu hàm số y f x , ta làm sau - Phần đồ thị f x nằm bên trục hồnh khoảng a; b f x , x a; b - Phần đồ thị f x nằm bên trục hồnh khoảng a; b f x , x a; b Lập bảng biến thiên hàm số g x f x u x biết đồ thị hàm số y f x B1: Đạo hàm g x f x u x Cho g x f x u x B2 Xác định giao điểm đồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số y u x B3: Xét dấu hàm số y g x , ta làm sau - Phần đồ thị f x nằm bên đồ thị u x khoảng a; b g x , x a; b Page 130 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - Phần đồ thị f x nằm bên đồ thị u x khoảng a; b g x , x a; b Câu 90: Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị hình sau: Hàm số g x f x 1 x x 2022 có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn B Ta có: g x f x 1 x g x f x 1 x Đặt t x Khi phương trình trở thành f t t Ta vẽ đồ thị hai hàm số y f t y t hệ trục tọa độ Page 131 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t 1 x 1 x t x 1 x Dựa vào đồ thị ta thấy f t t t x 1 x t x x Bảng xét dấu Vậy hàm số y g x có cực trị Câu 91: Cho hàm số y f x có đồ thị f ( x) hình vẽ sau: Hỏi hàm số h x f x3 x 2022 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A h x f x x 2022 h x x f x Ta có h x f x3 , x 0 x2 1 Đặt t x3 x t Từ 1 ta có: f t Xét m t t2 2 , m t 3 t5 t Ta vẽ đồ thị hai hàm số y f t y m t t2 hệ trục tọa độ Lúc ta có hình vẽ đồ thị sau Page 132 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Suy pt có nghiệm t t0 pt 1 có nghiệm x t0 x0 Bảng xét dấu Vậy hàm số h x có cực trị Câu 92: Cho f x liên tục hàm số f x có đồ thị hình vẽ Hàm số h x f x x x x x x 2022 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B h x x 1 f x x x 1 x x x 1 2 x h x 2 f x x x x * Đặt t x x Khi phương trình trở thành f t t f t t Ta vẽ đồ thị hai hàm số y f t y t hệ trục tọa độ Page 133 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x 2 x2 x t x Dựa vào đồ thị ta thấy f t t t x x x 1 t 2 x x 2 x Bảng xét dấu Vậy hàm số h x có cực trị Câu 93: Cho hàm số bậc ba y f x có bảng biến thiên sau: Hàm số h x f x f x 2022 có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn A Ta có: h x f x f x f x f x f x f x x a; x b h x f x f x f x 2 x c c a Suy phương trình h x có nghiệm Page 134 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy hàm số y h x có cực trị Câu 94: Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị hình sau: 7 Hàm số g x f cos x cos x 2022 có điểm cực trị khoảng ; 6 A B C D 10 ? Lời giải Chọn B Ta có: g ( x) sin x f cos x sin x sin x f cos x 1 Page 135 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ sin x cos x cos x a a b -1 sin x g ( x) f cos x cos x b b -1 cos x c c 1 cos x d d c 1 pt v« nghiƯm pt v« nghiƯm pt v« nghiƯm pt v« nghiƯm 7 Suy phương trình g x có nghiệm khoảng ; x 0, x , x 6 Bảng xét dấu Vậy hàm số y g x có cực trị Câu 95: Cho hàm số y f x đa thức bậc có đồ thị f x hình vẽ Hàm số g x f x x x có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A Ta có : g x x f x x x g x f x2 2x x , x 1 nghiệm phương trình x 1 Xét hàm số : y f x x y x f x x Page 136 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x 1 x 1 x x 4 x Khi đó, y x x 2 x 3 x x Bảng biến thiên : Xét hàm số: y y x 1 x x 1 0, x 1 Bảng biến thiên : Số nghiệm phương trình: f x x số y f x x y x số giao điểm hai đồ thị hàm x 1 x x 1 Từ đồ thị suy phương trình g x có nghiệm đơn, nên hàm số g x có điểm cực trị Câu 96: Cho f x hàm số đa thức bậc bốn hàm số y f x có đồ thị hình đây: Page 137 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hỏi hàm số g x f sin x 1 A B cos x có điểm cực trị thuộc khoảng 0; 2 ? C D Lời giải Chọn D Ta có g x cos x f sin x 1 sin x cos x f sin x 1 sin x cos x Khi đó, g x f sin x 1 sin x * x Trên khoảng 0; 2 cos x x 3 Đặt t sin x phương trình * trở thành f t t Vẽ đồ thị y f t đường thẳng y t hệ trục tọa độ Oty hình vẽ sau t 1 Từ đồ thị ta có f t t t t a, a 1 Với t sin x sin x Phương trình vơ nghiệm Với t a sin x a sin x a Phương trình vơ nghiệm a Page 138 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Với t 1 sin x 1 sin x x Như phương trình g x có nghiệm đơn thuộc khoảng 0; 2 Vậy hàm số g x có điểm cực trị thuộc khoảng 0; 2 Câu 97: Cho y f x hàm bậc ba có f 3 Hàm số y f x có bảng xét dấu sau: Hàm số y g x f x3 x m giá trị lớn P A 10 x6 x x3 x x có cực trị biết m 2 sin x cos x B C D Lời giải Chọn D x 1 Từ bảng biến thiên f x f x k x 1 x 1 x Mà f 3 k f x x 1 x 1 x Theo P sin x sin x P cos x P cos x Điều kiện P có nghiệm P P 1 P Nên m Khi y g x f x3 x 1 x6 3x x3 x 3x 2 Ta có: g x x 3 f x3 x 1 x5 12 x3 x x g x x 3 f x3 x 1 x3 x 1 x 1 g x 3 f x x 1 x x 1 x 1, 76137 x 0, 0602 37 t x 1, 7011 Đặt x3 x t suy 1 f t t 3t t x 1, 21796 37 t x 0, 76486 x 1,9828 Do g x có nghiệm đơn Vậy hàm số y g x có cực trị Câu 98: Cho hàm số y f x có đạo hàm Hàm số y f x đồ thị hình vẽ bên dưới: Page 139 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn C Nhận xét: Số giao điểm C : y f x với Ox số giao điểm C : y f x 1 với Ox Vì m nên C : y f x 1 m có cách tịnh tiến C : y f x 1 lên m đơn vị TH1: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị khơng thỏa mãn u cầu toán TH2: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu toán TH3: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu toán TH4: m Đồ thị hàm số có điểm cực trị khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy m Do m * nên m {3; 4;5} Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Câu 116: Cho hàm số f x x3 bx cx d thỏa mãn 4b 2c d 16 9b 3c d 54 Hàm số y f x có tất điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Ta có f x x3 bx cx d f x liên tục Page 160 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ lim f x lim x3 bx cx d x x f 3 54 9b 3c d Ta có: f 4b 2c d 16 lim f x lim x3 bx cx d x x Ta có lim f x f 3 , f 3 f , lim f x f nên theo tính chất hàm liên tục x x phương trình f x ba nghiệm f x hàm bậc ba nên phương trình f x có ba nghiệm Do hàm số f x có hai điểm cực trị Hàm số f x có điểm cực trị Câu 117: Biết Cho hàm số y = f ( x) liên tục Đồ thị hàm số f ¢ ( x ) cho hình Hàm số g ( x) = f ( x) - x - x có tối đa điểm cực đại A C B D Lời giải Chọn A Xét hàm số h ( x) = f ( x) - x - x liên tục Khi h¢ ( x) = f ¢ ( x) - x - , nên h¢ ( x) = Û f ¢ ( x) = x + 2 Đặt x t t x , xét h ' x f t 12 t 1 Vẽ đồ thị hàm số y t hệ tọa độ với đồ thị hàm số f ' t ta hình Page 161 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t 2 x Do h ' x t x x t Ta có bảng biến thiên hàm số h x sau Vậy hàm số g x h x có tối đa điểm cực đại Câu 118: Cho hàm số f x ax bx cx d , a, b, c, d thỏa mãn a 0, d 2022 , a b c d 2022 Tìm số điểm cực trị hàm số y f x 2022 A B C D Lời giải Chọn D - Xét hàm số g x f x 2022 ax bx cx d 2022 g d 2022 Ta có: g 1 a b c d 2022 g Theo giả thiết, ta g 1 lim g x x - Lại do: a nên 1: g : g lim g x x Page 162 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ g g Do đó: g g 1 g x có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; g 1 g Hay hàm số y g x có đồ thị dạng y f(x)=(1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) x -2 O -1 Khi đồ thị hàm số y g x có dạng f(x)=abs((1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2)) y x -2 -1 O Vậy hàm số y f x 2022 có điểm cực trị Câu 119: Cho hàm số f x ax bx3 cx dx e a liên tục thỏa mãn điều kiện: a bc d g x f x e Hỏi g g x 16a 8b 4c 2d có tối đa điểm cực trị biết lim g x lim g x ? x 0 x 0 A 11 B C 14 Lời giải D 17 Chọn A Ta có: g x f x e ax bx3 cx dx Lại có: g 0 mà lim g x lim g x x nghiệm kép phương trình x 0 x 0 g x g x đạt cực trị x Mặt khác: lim g x x g 1 g x đạt cực trị x g 2 Page 163 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ lim g x x Nên ta phác họa bảng biến thiên đồ thị y g x sau: Ta bảng biến thiên y g x : Ta bảng biến thiên y g x : y g x có cực trị Mặt khác: g g x g x g g x g x 0 0 g g x Gọi điểm cực trị g x a;0; b 1 a 0;0 b 2 g x g x a g x 0 g x b Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên dưới: Page 164 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y -1 O x Số điểm cực trị hàm số g x f x3 A B C D Lời giải Chọn A Đặt h x f x3 1 g x h x f x3 x x 3 x h x x f x3 1 x x 1 x x Bảng biến thiên: Suy hàm số y h x có điểm cực trị dương Vậy số điểm cực trị hàm số g x h x Câu 120: Cho hàm số f x 1 x x2 5x 6 Hỏi có giá trị tham số m để hàm số g x f x x x m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số g x f x x x m f x x m đối xứng qua đường thẳng x 1 Xét hàm số y f x x m , x Page 165 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x x x 4x m l x x m 2 y x f x x m x x m x x m x2 4x m x x m x x m Hàm số g x f x x x m có điểm cực trị đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x x 1, y x x , y x x điểm phân biệt có hồnh độ lớn khác Ta có đồ thị m 2 m 7 Từ đồ thị, ta được: m 0; ;1; ; 2; 2 2 4 m 3 3 m m n Câu 121: Cho hàm số f x x mx nx với m, n tham số thực thỏa mãn 7 2(2m n) Tìm số cực trị hàm y f x A B C D 11 Lời giải Chọn D Ta có f x x mx nx hàm đa thức nên liên tục , mặt khác f 1 m n f 1 f suy f x có nghiệm thuộc f 2(2m n) khoảng 1; Page 166 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có lim f x ; lim f x ta có bảng biến thiên hàm y f x x x Hàm số y f x có cực trị dương nên hàm số y f x có cực trị Mặt khác, đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox điểm Suy hàm số y f x có 11 cực trị Câu 122: Cho hàm đa thức y f x Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ sau: Có giá trị m để m 0; 6 , 2m để hàm số g x f x x x m có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A Đặt g x h x f x x m Do đồ thị hàm số y h x có tịnh tiến đồ thị hàm số y h x sang phải đơn vị nên số cực trị hàm số y h x số cực trị hàm y h x Như vậy, để hàm số g x có cực trị hàm số y h x f x x m có cực trị có hồnh độ dương Lại có: y x f x x m 1 x y f x x m 1 * Page 167 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x x m 1 x2 2x m 1 * x x m x x m x2 2x m 1 x x m 3 Xét hàm số t x x x t x x Để hàm số cho có cực trị phương trình 1 , , 3 phải có nghiệm dương phân biệt khác Khi đó, ta có: 1 m 1 m 2m 2 m 1 3 m 6 2m Do 2m 2m 0;1; 2;3; 4;7 Vậy có giá trị m thỏa yêu cầu tốn Câu 123: Có số ngun m để hàm số f ( x ) = A x m có điểm cực trị? x + x +1 C B D Lời giải Chọn A Xét hàm số g ( x) = Ta có g ¢ ( x) = Û x m - x + x +1 1- x ( x + x +1) = Û x = ±1 Bảng biến thiên Hàm số g ( x) có hai điểm cực trị x = -1, x = với m Ỵ nên hàm số f ( x) = g ( x) có điểm cực trị phương trình g ( x) = có nghiệm bội lẻ Page 168 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HM S ộổ m ửổ m ờỗỗ-1- ữữỗỗ - ữữ < ộ-3 < m < ờỗố ữứốỗ 3 ữứ ờ ị m ẻ {-2; -1, 0} êë m = ê m ê- = êë Câu 124: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f cực trị A 1652 B 1653 f x f x m C 1654 có 17 điểm D 1651 Lời giải Chọn A Ta có: g x f x f x 4 f x f x m f x f x m f f x f x m f x 1 f x f x 2 f x f x m f x f x m 3 f x f x m 1 vo ly f x f x m f x f x m 4 f x f x m f x f x m 5 f x f x m 2 Dễ thấy 1 có nghiệm đơn có nghiệm đơn Vậy tổng số nghiệm đơn phương trình 3 ; ; 12 thỏa mãn x 1; 2 Đặt u u x f x f x u f x f x u x a; b; c Các nghiệm thứ tự từ nhỏ đến lớn sau: a 1 b c Bảng biến thiên hàm số u f x f x Page 169 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x a ∞ u' + b 0 + c 0 +∞ + +∞ +∞ 60 u -3 -4 -4 -4 Vậy số giao điểm đường thẳng y m 2; y m; y m với đồ thị u x 12 điểm phân biệt 3 m 60 1 m 58 m 1;0;1; ;57 S 1652 3 m 60 Câu 125: Cho hàm số y f ( x ) xác định có f (3) 8, f (4) , f (2) Biết hàm số 2 y f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y f ( x ) x 1 có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Đặt g ( x) f ( x) x 1 Ta xác định số điểm cực trị hàm số y g ( x ) Ta có g '( x ) f '( x ) 2( x 1) Xét đường thẳng (d ) : y x Đồ thị hàm số y f ( x) đường thẳng ( d ) có điểm chung có hồnh độ 1;1;2;3 điểm 1; 2;3 cực trị hàm số g ( x ) f ( x ) x 1 x qua điểm g '( x) không đổi dấu Bảng biến thiên hàm số g Page 170 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ giả thiết ta thấy g (2) 0; g (4) 0, g ( 3) nên phương trình g ( x) có nghiệm Từ suy đồ thị hàm số y g ( x ) có điểm cực trị Câu 126: Cho hàm đa thức y f x , biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên: Biết f Hỏi hàm số g x f x x3 có điểm cực đại? A B C Lời giải D Chon D x2 h x f x x h x x f x x x x f x x f x 6 2 Đặt u x x3 f x u x x f x 12 x8 f x 0, x lim u x x suy phương trình u x x f x có nghiệm u x xlim Giả sử u x x3 f x x3 f x có nghiệm x0 x03 x0 Ta có bảng biến thiên sau: Page 171 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g x h x có điểm cực đại Câu 127: Cho hàm số y f x ax bx cx d thỏa mãn a 0, d 2021, a b c d 2021 Số điểm cực trị hàm số y f x 2021 A B C D Lời giải Chọn C Đặt g x f x 2021 ax bx cx d 2021 Số cực trị hàm số y g x số cực trị hàm số y g x cộng số nghiệm đơn phương trình g x Ta có g 0 d 2021 0, g 1 a b c d 2021 Giả sử hàm số y g x khơng có cực trị, kết hợp với a ta có g x đồng biến Suy ra, g 0 g 1 Do đó, hàm số y g x có hai cực trị x1, x2 ( x1 x2 ) Từ ta lập bảng biến thiên hàm số y g x Chỉ xảy trường hợp Trường hợp 1: x1 x2 g 0 g 1 Trường hợp 2: x1 x2 g 0 g 1 g x1 g g x có nghiệm đơn Do đó, hàm số Trường hợp 3: x1 x2 g x2 g 1 y g x có điểm cực trị g x1 g g x có nghiệm đơn Do đó, hàm số Trường hợp 4: x1 x2 g x2 g 1 y g x có điểm cực trị g x1 g g x có nghiệm đơn Do đó, hàm số Trường hợp 5: x1 x2 g x2 g 1 y g x có điểm cực trị Vậy hàm số y f x 2021 có điểm cực trị Câu 128: Cho f x hàm bậc bốn thỏa mãn f Hàm số f x đồ thị hình vẽ Page 172 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y O 2 x Hàm số g x f ( x x) x x3 x x có điểm cực trị: A B C Lời giải D Chọn C Đặt h x f ( x x) x x3 x x h( x) (2 x 1) f ( x x) x3 x x (2 x 1) f ( x x) ( x x 1) x h( x) (2 x 1) f ( x x) ( x x 1) 2 f ( x x) ( x x 1) Đặt t x x Ta f ( t ) t 1 Vẽ đồ thị hàm số y f t y t hệ 2 trục tọa độ ta y O x Dựa vào đồ thị suy ra: x t x x t x x x x 1 x2 x t x Bảng biến thiên: Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số g x h( x) có cực trị Page 173 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Page 174