PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2021-2022 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (Đề có 03 trang) Họ tên : Số báo danh : ……………… I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) p x 2 x 3x p Giá trị B C x 2x x Câu Rút gọn phân thức x x x ta Câu Đa thức A x2 1 x A x2 x B C D D 3a 2b 3b a 2a b C D Q Câu Khi a 2b 5 giá trị biểu thức A B 2 Câu Biểu thức A x x đạt giá trị lớn 1 A B C D 2 x 10 y M 2 x y Câu Cho x y thỏa mãn x 3 y xy giá trị A B C.16 D x x x Câu Số nghiệm phương trình A B C D Câu Bất phương trình x x có tập nghiệm S x | x 4 S x | x 2 S x | x 4 S x | x 2 A B C D m x 2 x m 1 Câu Phương trình có nghiệm m m A B C m 1 D m o Câu Tứ giác ABCD có tia phân giác góc C D cắt I CID 100 Tia phân giác góc A B cắt E số đo AEB o D 80 Câu 10 Cho hình bình hành ABCD có đường cao AE AF Biết AC 25 cm, A 100 o o B 60 o C 90 EF 24 cm Gọi H trực tâm tam giác AEF độ dài đoạn AH A cm B cm C cm D 12 cm Câu 11 Tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12 cm có diện tích 2 2 A 60 cm B 75 cm C 90 cm D 120 cm Câu 12 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB đáy lớn CD Hai đường chéo AC BD cắt G Biết diện tích tam giác AGD 18 cm2 diện tích tam giác CGD 24 cm2 diện tích hình thang ABCD B 70,5 cm 2 C 72 cm D 73,5 cm Câu 13 Tỉ số đồng dạng hai tam giác Tính chu vi p p hai tam giác biết p p 18 C p 3, p 21 D p 20, p 38 A p 10, p 28 B p 12, p 30 Câu 14 Cho tam giác ABC có B 2C , AB 8 cm, BC 10 cm Độ dài AC A 12 cm C 11 cm D 10 cm B 12,5 cm Câu 15 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua A cắt đoạn thẳng DB, DC theo thứ DG DE tự E G Nếu DB tỉ số DC 1 3 A B C D Câu 16 Một sen mọc cách mặt hồ 30 cm Cơn gió làm đổ nghiêng xuống mặt nước cách vị trí ban đầu 60 cm Độ sâu hồ nước chỗ sen mọc lên A 30 cm B 40 cm C 45 cm D 50 cm A 68 cm II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a2 b c b2 c2 a2 x , y 2bc b c a2 Tính M x y xy 2 b) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x x 19 y Câu (3,5 điểm) Giải phương trình sau: x x a) a) Cho b) x x 12 x 0 9x2 x 40 x 3 c) Câu (4,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD; K điểm nằm C D Gọi P, Q theo thứ tự điểm đối xứng K qua M N a) Chứng minh bốn điểm A, B, P, Q thuộc đường thẳng b) Gọi G giao điểm giao điểm PN QM Chứng minh GK qua điểm cố định K thay đổi đoạn CD x2 y2 x y x , y y x y x Câu (1,5 điểm) Cho số thực Chứng minh -Hết Thí sinh sử dụng máy tính Cán coi thi khơng giải thích thêm PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TAM NƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm thi đề thức có 03 trang) A Một số ý chấm - Hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược cách; chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơgic - Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm B Đáp án biểu điểm I Trắc nghiệm(Mỗi câu 0,5 điểm) Câ 10 11 12 13 14 15 16 u Đ/A D C B B C B A C D A B D B A A C II Tự luận Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu (3,0 điểm) a) Cho b2 c a x ; 2bc y a2 b c b c 2 a2 mẫu khác Tính M x y xy 2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x 19 y Ta có: 1a (1,5đ) 2 4bc b c a y +1 a b c b2 c2 a 2 2 x 1 1 b c a b c a2 2bc 2bc ; 0,5 Mà : M x y xy M xy x y x 1 y 1 M x 1 y 1 b c a2 2bc 4bc b c a2 0,5 2 0,25 Vậy M 1 1b (1,5đ) Ta có : 0,25 2 x x 19 y x x 21 y x 1 3 y 2 2 Vì x 1 0 y 0 y 0 y 7 Mặt khác: y 2 y lẻ 2 0,5 0,25 0,25 2 Do đó: y 1 x 1 3 1 x 1 9 x 2 x 0,25 Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y 2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1 0,25 Câu (3,5 điểm)Giải phương trình sau: a) x x 1 x2 b) x a) x x 12 x 0 c) x2 x 3 40 x 1 (1) ĐKXĐ: x 0,25 x ( x 1) x x 1 x 1 PT( 1) x x 4 x 2a (1,25đ) 0,25 x x 0 0,25 ( x x) (3 x 3) 0 ( x 1)( x 3) 0 0,25 x 1 (TM ) x (TM ) 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S 3;1 b) Ta có: x x 12 x 0 x x3 x x 3x 3x x 0 0,25 x 1 x x 3x 0 x 1 x 3x x x 3x 0 2b (1,25đ) x 1 x 3 x x 3 0 x 1 x 0,25 0,25 Giải thích x x x 1 với x Vậy phương trình có tập nghiệm S 3;1 2c (1,0đ) x c) x2 x 3 0,25 40 (2) 0,25 ĐKXĐ: x 3x 3x 6x2 x x 40 x 3 x 3 x 3 Pt (2) 2 3x x2 40 x x 3 x 3 x2 x2 x2 40 0 a 6a 40 0 a x 3 x 3 x 3 với a 10a 4a 40 0 a 10 a 0 a 10 a 4 0,25 0,25 x2 a 4 4 x x 12 0 x x 3 TH1: x 6 (t/m) x2 a 10 10 x 10 x 30 0 x 0 x 3 TH2: Pt vô 0,25 nghiệm 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S 2;6 Câu (4,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD Giọ K điểm nằm C D Gọi P, Q theo thứ tự điểm đối xứng K qua M N a) Chứng minh bốn điểm A, B, P, Q thuộc đường thẳng b) Gọi G giao điểm QM Chứng minh rẳng: GK qua điểm cố định K thay đổi đoạn CD A Q H B G N D 3a (2,0đ) I K M C NK ND 1 AQ DK AQ DC (1) NQ NA Ta có: Tương tự: 0,5 ( Ta Lét đảo) MK MC 1 BP KC BP DC (2) MP MB 0,5 ( Ta Lét đảo) ABCD lµ hbh AB DC (3) 0,5 Mặt khác: Tứ giác 3b (2,0đ) Từ (1); (2) (3) suy : Bốn điểm A, B, P, Q thẳng hàng 0,5 Gọi giao điểm GK với AB MN H I 0,25 Xét KPQ tâm có hai trung tuyến PN QM cắt G G trọng KPQ Do KH trung tuyến KPQ HP = HQ 0,25 KPQ MN PQ Mặt khác : MN đường trung bình 0,25 0,25 MN NK (4) PQ KQ (Ta Lét) Lại có: NI QH NI NK (5) QH KQ 0,25 (Ta Lét) NI MN MN = MN 2.NI QH PQ QH Từ (4) (5) suy : I trung điểm 0,5 đoạn thẳng MN Vậy GK quađiểm I cố định K thay đổi đoạn CD Câu (1,5 điểm) Cho x, y 0; x, y R Chứng minh rằng: 0,25 x2 y x y y2 x2 y x (1,5đ) x y x2 y2 x y x y 2 y x Ta có: y x y x y x 0,25 x y a y x a a 0 a 2a a 0 a a với 0,25 a 2a a 0 a a 1 0 0,25 x y y x x y x xy y x y 1 0 0 2 y x x y Thật vậy: x xy y x y x y x2 y2 x y Vậy y x y x dấu “=” xảy x y với x, y 0; x, y R 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: Trên giải sơ lược Học sinh có nhiều cách giải khác nhau, giám khảo cho điểm tương ứng phần