Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
1,84 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I DỰA VÀO TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐƯA VỀ BÀI TOÁN ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUN Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 3x 17 y 159 Lời giải: Giả sử tồn số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: Dễ thấy 3x 3;1593 17 y 3 y 3 y 3k k Z thay vào ta tìm x 53 17 k x 53 17k kZ Suy nghiệm phương trình là: y 3k Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy x y 2 Lời giải: x 3 Biến đổi phương trình thành: x y 1 y 2 x 1 y 1 3 x 1 Từ dễ tìm nghiệm là: x; y 4; , 2; ; 0; ; 2;0 Ví dụ Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện: x y xy 26 0 Lời giải: Đặt z y , phương trình cho trở thành: x 2 2 z z x 26 0 x z xz 6 từ suy x z U Giải trường hợp ta thu cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện là: x; y 1; 1 , 3;3 , 10;3 , 1; Ví dụ Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện: x x 1 x x y Lời giải: 2 Ta viết lại phương trình thành: x x x x y Đặt z x x phương trình có dạng: z z y z 28z 4 y z y 49 z y z y 49 Nhận xét: y nghiệm –y nghiệm nên ta cần xét y 0 (*) Khi ta thấy: z y 2 z y nên suy z y 1;7;49 tương ứng với giá trị z y ta có giá trị z y z y 49;7;1 Giải trường hợp ý nhận xét (*) ta suy phương trình có nghiệm là: 0;0 , 1;0 , 1;12 , 1; 12 , 9;12 , 9; 12 , 8;0 , 7;0 , 4;12 , 4; 12 Ví dụ Tìm tất cặp số ngun (x; y) thỏa mãn đẳng thức x y 1 xy x y 5 x y (Đề tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội, 2014) Lời giải: Phương trình tương đương với x y 1 xy x y 2 x y 1 x y 1 xy x y 3 x y ước x y 1 x y 0 + Giải (vô nghiệm) xy x y 3 xy 5 x y + Giải xy x y x y 3 + Giải xy x y 1 x y xy 1 x y 2 xy 1 x y + Giải xy x y x y x 1 y 1 x y (vô nghiệm) xy 5 Vậy x; y 1; 1 , 1;1 Ví dụ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x xy y x y 0 (Đề tuyển sinh Chuyên Toán – Tin Amsterdam 2018) Hướng dẫn: 2 Ta viết lại phương trình thành: x x y 1 y y 0 2 16 y y y 1 y 1 x 2.2 x. y y 0 y 1 y2 y 1 Hay x 2 x y 1 y 1 x y x y 1 Ta có trường hợp xảy x y 1 TH 1: x y 2 x y TH 2: 2 x y 2 2 x y 1 2 x y 2 x y 2 x y 1 y loại x y 1 thỏa mãn x 1 y x y x y TH 3: loại x y 1 2 x y 0 x x y 2 TH 4: x y x y 2 x y y x loại Tóm lại: Phương trình có nghiệm ngun x; y 1;1 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 91 Lời giải: 2 Ta viết lại phương trình thành: x y x xy y 91 13.7 Vì 13,7 1 x xy y suy khả xảy là: x y 7 x y 13 2 x xy y 13 x xy y 7 Giải trường hợp ta tìm cặp nghiệm hệ là: x; y 6;5 , 5; , 4; 3 ; 3; II BIỂU THỊ MỘT ẨN THEO ẨN CỊN LẠI RỒI DÙNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy x y 2 Lời giải: Ta viết lại phương trình thành: x y2 1 y1 y Để x số nguyên chia hết cho y y 3; y 1 từ ta tìm cặp nghiệm tương ứng là: x; y 4;2 , 2;4 ; 0; ; 2;0 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy 2 y x Lời giải: Ta viết lại phương trình: x x y x , để ý x khơng phải nghiệm phương trình x x3 x nên suy y y x2 x, y Z x U Từ x 2 x x 2 x x2 ta tìm hay y x x nghiệm phương , để x2 trình là: x; y 11;149 7;39 5;43 3;29 1; 1 1;1 Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x y xy (*) Lời giải: Sử dụng đẳng thức: a b3 a b 3ab a b ta có (*) tương đương với x y 3xy x y xy Đặt x y a, xy b với a, b Z phương trình trở thành: a 3ab b a b 3a 1 a 83a 3 Suy 27 a 3a 27 a 2153a Do 27 a 3a 1 9a 6a 3a , suy điều kiện cần là: 2153a , ý rằng: 215 43.5 Từ ta tìm a 2, b 0 suy cặp nghiệm phương trình là: x; y 0; , 2;0 Chú ý: Với phương trình đưa ẩn x y , xy x y, xy ta dùng phép đặt ẩn phụ để chuyển thành tốn chia hết Ví dụ Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x xy z Lời giải: Từ giả thiết ta suy x 2xy hay y x xy Ta có phân tích sau: y x x xy x y suy x y xy hay x y k xy với k N * Nếu k 2 x y k xy 2 xy x y xy x 1 y 1 0 Điều vô lý x, y 1 Vậy k 1 x y xy x y 2 Từ tìm x; y 3;4 , 4;3 Ví dụ Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: x y xy 26 0 Lời giải: Đặt z y , phương trình cho trở thành: x 2 2 z z x 26 0 x z xz 6 từ suy x z U Giải trường hợp ta thu cặp số x, y thỏa mãn điều kiện là: x; y 1; 1 , 3;3 , 10;3 , 1; III PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ KẾT HỢP TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG Để giải tốt toán theo dạng xét số dư ta cần lưu ý đến tính chất: + am bm c cm a md + a, b d b nd m, n 1 2 2 2 2 2 + a, b 1 thì: a ab b , a b , a a ab b , b b, a a ab b , a b 1, + Số phương không tận 2, 3, 7, + Số phương chia hết cho số ngun tố p chia hết cho p + Số phương chia cho có số dư + Số phương chia cho có số dư + Số phương chia cho có số dư 1, Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x y y Lời giải: Ta viết lại phương trình thành: x y y 1 Ta thấy vế trái chia cho dư nên y y 1 chia cho dư Từ suy y 3k y 3k thay vào ta tìm x k k 1 Vậy nghiệm phương trình là: x k k 1 k Z y 3k Ví dụ 3 2 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y 95 x y (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội, năm 2016) Lời giải: Đặt d x, y , d 1 suy x ad , y bd với a, b 1 Từ phương trình ta có: d a b a ab b 95 a b Vì a, b 1 nên a ab b , a b ab, a b 1 suy a ab b U 95 Nếu a b ab5 a b ab 5 2a b 3b 5 Một số phương chia cho dư 0, 1, Suy a, b5 điều trái với giả thiết a, b 1 Vậy a ab b 19 , a b b 2, a 3 cặp số thỏa mãn: từ tính cặp nghiệm phương trình là: x; y 195;130 Ví dụ Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn điều kiện: x 2 y 11y x y Lời giải: Ta viết lại giả thiết thành: x 2 y 2 y4 x2 y2 y2 x2 y2 y x2 y 2 2 2 Hay x y x y 0 x y 1 x 1 x 1 2 y Suy x 1 x 1 2 hay x x chia hết cho Mặt khác ta có: x x 1 22 nên 2 số x 1, x chia hết cho Do x 1 x 1 4 y 2 , mà y số nguyên tố nên y 2 y 2 Thay vào ta tìm x 3 Ví dụ 3 2 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y 13 x y Lời giải: Đặt x, y d 1 suy x ad , y bd với a b, a, b 1 thay vào phương trình ta có: a 3d b3d 13 a d b d d a b a ab b 13 a b2 13 a b a ab b 2 2 2 Ta lại có: a b , a ab b a b , ab 1 2 a b d1 2 Thật giả sử a b , ab d1 giả sử ad1 bd1 abd1 Mà a, b 1 d1 1 Như ta có: a b khơng chia hết cho a ab b Suy 13a ab b2 a ab b 13 a 3, b 1 x 15, y 5 Ví dụ Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn phương trình: 16 x y 14 y 49 x y2 Lời giải: Đặt x a, y b ta viết lại phương trình thành: 16a b 14b 49 a b 7 16 17 16 17 Hay 16a b 14b 49 a b 7 16 2 16 a b 17.16a 17 b hay 17 2 256a 32a b b 0 16a b 0 16a b 0 hay 16 x y 7 x y 1 Tức x y x y 7 x, y số tự nhiên nên ta suy x y 7 x 1 y 3 Ví dụ Phương trình Pitago: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y z (*) Lời giải: 2 x y z Đặt x, y, z d phương trình trở thành: x12 y12 z12 d d d Suy ta cần giải phương trình (*) trường hợp x, y , z 1 2 Trong số x, y, z có số chẵn Nếu z chẵn x, y lẻ, x y 2 mod z 4 nên trường hợp xảy Suy x y số chẵn Ta giả sử x lẻ, y chẵn Ta có: x z y z y z y z y, z y z , z y 1 suy z y, z y số z y a z y b phương lẻ Suy tồn số nguyên dương lẻ a, b cho x ab a b, a, b 1 x ab a b2 y a b2 z a b2 a b2 Vậy nghiệm phương trình (*) là: x; y; z abc; c; c với a, b số nguyên dương lẻ, a b c số nguyên dương Ta viết nghiệm tổng quát (*) theo cách: x; y; z x; y; z 2abc; a b c; a b c Dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y Lời giải: 2 Ta viết lại phương trình thành: x x y 1 y y 0 Coi phương trình bậc x điều kiện để phương trình có nghiệm là: y y 0 y 0 y 1 thay vào ta tìm cặp nghiệm phương trình là: y 1 x; y 0;0 , 0;1 , 1;0 Ví dụ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 4 y x y y 13 Lời giải: Đặt x 2 y d với d Z thay vào phương trình ta có: 2y d 4 y y d 1 y 13 8dy 5d y d 13 0 (*) + Nếu d 0 ta tìm được: y 13, x 26 + Nếu d 0 ta coi (*) phương trình bậc y Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 5d 32d d 13 0 7d 10d 416d 0 Nếu d 7d 10d 416d (không thỏa mãn) Nếu d 4 7d 10d 416d 7.64d 10d 416d (không thỏa mãn) Xét d 0;1;2;3 thử trực tiếp ta có d 1 thỏa mãn Khi x 3; y 1 Vậy phương trình có nghiệm: x; y 3;1 , 26; 13 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 2 x 1 (Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc, 2018) Lời giải: 2 Ta có x y x y 2 x 1 x y 1 x y 0 (1) Để phương trình (1) có nghiệm ngun x theo y phải số phương Ta có y y y y y 4 y 1 4 phương nên 0;1;4 + Nếu 4 y 1 0 y 1 , thay vào phương trình (1), ta có: x 0 x x 0 x x 0 x 4 + Nếu 1 y 1 3 y Z y 3 + Nếu 0 y 1 4 y + Với y 3 , thay vào phương trình (1) ta có: x x 16 0 x 0 x 4 + Với y , thay vào phương trình (1) ta có x 0 x 0 Vậy phương trình có nghiệm ngun: x; y 0;1 , 4;1 , 4;3 , 0; 1 IV PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ Tìm số ngun dương cho tổng chúng tích chúng Lời giải: Cách 1: Gọi số cần tìm là: x, y, z theo giả thiết ta có: x y z xyz với x, y, z Z x 3 Giả sử số cần tìm thỏa mãn: x y z xyz x y z 3z xy 3 y 1 x 1 x 2 x 1 Hoặc y 3 y 1 y 2 Từ tìm số ngun dương thỏa mãn là: x; y; z 1;2;3 hốn vị Cách 2: Gọi số cần tìm là: x, y, z theo giả thiết ta có: x y z xyz với x, y, z Z Chia cho xyz ta có: 1 1 Giả sử x y z suy xy yz zx 1 1 1 1 x 3 x 1 từ ta thu kết xy yz zx x x x Ví dụ Tìm số ngun dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng Lời giải: Cách 1: Gọi số cần tìm là: x, y, z theo giả thiết ta có: x y z xyz với x, y, z Z xy 1 xy 2 xy 3 Giả sử x y z xyz 2 x y z 2.3z 6 z xy 6 xy 4 xy 5 xy 6 Từ ta tìm cặp nghiệm x; y z Cách 2: Gọi số cần tìm là: x, y, z theo giả thiết ta có: x y z xyz với x, y, z Z Suy 1 1 xy yz zx Giả sử x y z suy Ví dụ 1 1 1 x 6 xy yz zx x x x x 1 x 2 Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x xy y x y (Đề tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội, 2015) Lời giải: Dễ thấy với x 0 y 0 không thỏa mãn Xét x , y 1 vai trò nhau, giả sử x y 2 2 Khi ta có x xy y 3x y 8 y 1; 2 2 2 2 Suy x y x xy y 8 x y 8 y 1; 2 + Nếu y 1 x x x x 6 + Nếu y x x x x + Nếu y 2 x x 4 x x loại + Nếu y x x 4 x x loại Đáp số: x; y 6;1 , 6; 1 , 1;6 , 1; V DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG, HOẶC TẠO RA BÌNH PHƯƠNG ĐÚNG, HOẶC TẠO THÀNH CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG LIÊN TIẾP Số phương bình phương số tự nhiên; + Số phương khơng tận 2, 3, 7, 8; + Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p ; + Số phương chia cho có số dư 1; + Số phương chia cho có số dư 1; + Số phương chia cho có số dư 1, Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: x x 19 y Lời giải: Ta viết lại phương trình thành: x 1 21 y Cách Từ phương trình ta suy y 7 y 0; y 1; y 2 thay vào để tìm x Cách Từ phương trình ta suy 21 3y chia hết cho suy 3y tận số lẻ Suy y tận số lẻ Suy y 1 Từ đó, thay vào để tìm x Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x x y y 24 Lời giải: