Dung lượng toàn cục và dung lượng tương đối trong cn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ LẬP DUNG LƯỢNG TOÀN CỤC VÀ DUNG LƯỢNG TƯƠNG ĐỐI TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ THỊ LẬP DUNG LƯỢNG TOÀN CỤC VÀ DUNG LƯỢNG TƯƠNG ĐỐI TRONG Cn Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm đa điều hoà 1.1.1 Hàm điều hòa 1.1.2 Hàm đa điều hòa 1.2 Toán tử Monge-Ampère phức 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí so sánh hệ Toán tử MongeAmpère phức 1.3 Dung lượng toàn cục TK 1.4 Dung lượng tương đối C(K, D) 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Tính chất dung lượng tương đối 3 11 16 16 18 22 23 23 23 So sánh dung lượng toàn cục dung lượng tương đối Cn 26 2.1 Định lí so sánh dung lượng 26 2.2 Chứng minh định lí so sánh dung lượng 27 Áp dụng tập đa cực 34 3.1 Sự tương đương tập đa cực địa phương đa cực toàn cục 34 Kết luận 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Mở đầu Dung lượng khái niệm quan trọng giải tích phức nhiều biến lý thuyết đa vị Khái niệm dùng để đo tập hợp mà lý thuyết độ đo cổ điển không nhận biết Trong trường hợp chiều, lý thuyết đa vị cổ điển cho ta định nghĩa tương đương dung lượng thông qua độ đo cân bằng, hàm Robin, số Tchebycheff, Tuy nhiên, n ≥ 2, mối liên hệ đại lượng khơng rõ ràng Do ta có số định nghĩa khác dung lượng trường hợp nhiều chiều Nội dung luận văn trình bày số kết Alexander - Taylor so sánh dung lượng tương đối định nghĩa Bedford Taylor với dung lượng toàn cục Alexander Nội dung định lý 2.1.1 cho đánh giá phía phía T(K) theo C(K, B) dung lượng tương đối K theo B Một hệ quan trọng định lý 2.1.1 định lý Josefson tính tương đương tập đa cực địa phương đa cực tồn cục trình bày chương cuối Nội dung chủ yếu Luận văn dựa vào tài liệu [1] Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trước hết mục 1.1 trình bày khái quát hàm đa điều hòa Trong mục giới thiệu tốn tử Monge - Ampère phức, dung lượng tồn cục T(K) dung lượng tương đối C(K, D) Chương So sánh dung lượng toàn cục dung lượng tương đối n C việc chứng minh định lý so sánh dung lượng Chương Áp dụng tập đa cực Mục đích chương đưa chứng minh ngắn gọn định lý Josefson tính tương đương tập đa cực địa phương toàn cục Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình bảo Giáo sư Nguyễn Quang Diệu, Đại học sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 thành đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K18B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Ngơ Thị Lập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hoà Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v : X → (−∞, +∞] gọi nửa liên tục X −v nửa liên tục trên X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X → [−∞, +∞) Ta nói hàm u nửa liên tục x ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε, u(x0 ) 6= −∞ u(x) < − , u(x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0 ∈ X Mặt khác ta cho định nghĩa sau: Giả sử E ⊂ X u : E → [−∞, +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa lim sup u(x) = inf{sup {u(y) : y ∈ V }} x→x0 x∈E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u : X → [−∞, +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) ≤ u(x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn % > cho với ≤ r < % ta có u(ω) ≤ 2π Z2π u(ω + reit )dt (1.1) Chú ý: Với định nghĩa hàm đồng −∞ Ω xem hàm điều hịa Ω Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH(Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa Bổ đề 1.1.3 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hòa Ω Chứng minh Trường hợp f ≡ Ω kết rõ ràng Giả sử f 6≡ Ω, Khi rõ ràng log |f | hàm nửa liên tục trên Ω Giả sử ω ∈ Ω Nếu f (ω) 6= chọn % > cho f 6= B(ω, %) = {z ∈ Ω : |z − ω| < %} Khi log |f | hàm điều hịa B(ω, %) = {z ∈ Ω : |z − ω| < %} nên (1.1) thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (ω) = Khi log |f (ω)| = −∞ (1.1) ln Bổ đề 1.1.4 Giả sử u, v hàm điều hịa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u, v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω) α, β > αu + βv thuộc SH(Ω) Định lý 1.1.5 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại tồn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim sup u(z) ≤ ς ∈ ∂Ω u ≤ Ω z→ς Chứng minh (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M điểm z0 ∈ Ω Đặt A = {z ∈ Ω : u(z) < M } ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên B = {z ∈ Ω : u(z) = M } http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Khi A tập mở u hàm nửa liên tục Từ bất đẳng thức trung bình ta thấy B tập mở Ta có Ω = A ∪ B, A ∩ B = ∅ Do A = Ω B = Ω Nhưng theo giả thiết B 6= ∅ nên B = Ω (i) chứng minh (ii) Mở rộng u lên Ω nhờ đặt u(ς) = lim sup u(z), (ς ∈ ∂Ω) Do Ω z→ς tập compact nên u đạt cực đại ω ∈ Ω Nếu ω ∈ ∂Ω giả thiết u(ω) ≤ Do u ≤ Ω Trường hợp ω ∈ Ω theo (i) u số Ω Do số Ω u ≤ Ω Sau tiêu chuẩn nhận biết hàm nửa liên tục hàm điều hòa Định lý 1.1.6 Giả sử Ω tập mở C u hàm nửa liên tục Ω Khi phát biểu sau tương đương: (i) u hàm điều hòa Ω (ii) Với ω ∈ Ω, tồn % > cho ∆(ω, % > 0) ⊂ Ω với ≤ r < %, ≤ t < 2π ta có: u(ω + reit ) ≤ 2π Z2π %2 − r u(ω + %eiθ )dθ 2 % − 2%rcos(θ − t) + r Ở ∆(ω, % > 0) = {z ∈ Ω : |z − ω| ≤ %} đĩa đóng tâm ω bán kính % (iii) Với miền D compact tương đối Ω h hàm điều hòa D, liên tục D thỏa mãn: lim sup(u − h)(z) ≤ z→ς (ς ∈ ∂D) ta có u ≤ h D Hệ 1.1.7 Nếu u hàm điều hòa tập mở Ω ∆(ω, %) ⊂ Ω u(ω) ≤ 2π Z2π u(ω + %eiθ )dθ Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C2 (Ω), Khi u hàm điều hịa Ω 2 ∆u ≥ Ω, ∆u = ∂∂xu2 + ∂∂yu2 Laplace u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 Chứng minh Giả sử ∆u ≥ Ω Lấy D miền compact tương đối Ω h hàm điều hòa D, liên tục D cho lim sup(u − h)(z) ≤ z→ς (ς ∈ ∂D) Với ε > 0, xác định ( vε (z) = u(z) − h(z) + ε|z|2 ε|z|2 z ∈ D z ∈ ∂D Khi đó, vε nửa liên tục D nên đạt cực đại D Tuy nhiên ∆vε = ∆u + 4 > D nên vε đạt cực đại ∂D Do u − h ≤ sup∂D ε|z|2 D Cho ε → ta u ≤ h D u điều hịa D Ngược lại, giả sử u hàm điều hòa Ω Giả thiết u ∈ Ω ta có ∆u(ω) < Do có % > cho ∆u ≤ ∆(ω, %) Do u hàm điều hòa ∆(ω, %) Vậy ∆u(ω) = gặp mâu thuẫn Do ∆u ≥ định lí chứng minh Định lý 1.1.9 Giả sử u hàm điều hòa tập mở Ω1 hàm điều hòa tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả thiết lim sup v(z) ≤ u(ς), với z→ς e xác định Ω1 : ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 Khi hàm u ( max(u, v) Ω2 e= u u Ω1 \ Ω2 điều hòa Ω1 Chứng minh Từ điều kiện lim sup v(z) ≤ u(ς), ς ∈ Ω1 ∩∂Ω2 z→ς e nửa liên tục trên Ω1 Dễ thấy u e thỏa mãn bất đẳng thức suy hàm u e ≥ u Ω1 nên u e thỏa mãn trung bình ω ∈ Ω2 Do u bất đẳng thức trung bình ω ∈ Ω1 \ Ω2 Định lí chứng minh Định lý 1.1.10 Giả sử {u} dãy giảm hàm điều hòa tập mở Ω C u = lim un Khi u điều hịa Ω n→∞ Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên Ω Với α ∈ R, tập ∞ [ {z ∈ Ω : u(z) < α} = {z ∈ Ω : u(z) < α} n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên Ω Do un thỏa mãn bất đẳng thức trung bình nên dùng định lí hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω Do u điều hịa Ω Định lý 1.1.11 Giả sử u hàm điều hòa miền Ω với u 6≡ −∞ Ω Khi u khả tích địa phương Ω, nghĩa với K b Ω ta có Z |u|dV < +∞ (1.2) K Chứng minh Do định lí Heine-Borel cần chứng minh với ω ∈ Ω tồn % > cho Z |u|dV < ∞ ∆(ω,%) Đặt A = {ω ∈ Ω} ω có tính chất (1.2) B = Ω \ A Ta chứng minh A, B tập mở Ω u = −∞ B Do B = ∅ định lí chứng minh e ∈ ∆(ω, %), Giả sử ω ∈ A Chọn % > cho (1.2) Với u e − ω| Khi ∆(ω e , %e) ⊂ ∆(ω, %) Do đặt %e = % − |ω Z |u|dV < ∞ e ,%e) ∆(ω Vậy ∆(ω, %) ⊂ A A tập mở Giả sử ω1 ∈ B Chọn % > cho ∆(ω1 , 2%) ⊂ Ω Do ω1 ∈ B nên Z |u|dV = ∞ ∆(ω1 ,%) Với ω ∈ ∆(ω1 , %), đặt %0 = % + |ω − ω1 | Khi ∆(ω1 , %) ⊂ ∆(ω , %0 ) u bị chặn trên ∆(ω , %0 ) nên Z |u|dV = −∞ ∆(ω ,%0 ) Ta có bất đẳng thức: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 26 Chương So sánh dung lượng toàn cục dung lượng tương đối Cn Cho Ω miền trơn, bị chặn, giả hội tụ Cn K tập Compact Ω, dung lượng tương đối K Ω điều kiện chấp nhận toán tử phức Monge-Ampère định nghĩa: Z
cap(K, Ω) := sup (ddc u)n : < u < 1, u ∈ P (Ω) K mà P (Ω) lớp tất hàm đa điều hịa Ω Tốn tử   ∂ u c n n n (dd u) = (2i∂∂u) = n!det βn , ∂zj ∂zk βn tập khối dung lượng thông thường Cn tính chất hàm dung lượng cap(K, Ω) Khi hiểu tập mở Ω viết đơn giản cap(K) thay cho cap(K, Ω) gọi dung lượng tương đối K Kết luận văn định lí phát biểu 2.1 Định lí so sánh dung lượng Định lý 2.1.1 Giả sử K tập Compact hình cầu đơn vị B Cn Khi    n1  cn T (K) exp − , (2.1) cap(K, B) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn29 27 Cn số cho (2.14) Với r < 1, có số A = A(r) cho với tập hợp compact K ⊂ {|z| < r}   −A (2.2) T (K) = exp cap(K, B) Nhận xét 2.1.2 Cả hai hàm tập hợp cap(K, Ω) T (K) gọi ”dung lượng suy rộng” Vì thế, đánh giá định lí ảnh hưởng cho tất tập hợp dung lượng tương đối, đặc biệt tất tập hợp Borel Nhận xét 2.1.3 Các bất đẳng thức chặt, chẳng hạn cho K = {z : |z| ε} T (K) = ε  n −1 cap(K, D) = Cn logε Vì vậy, đẳng thức (2.1) giữ nguyên Mặt khác, K đa đĩa nhỏ K = {(z1 , , zn ) : |z1 | δ; |zj | 21 , j = 2, n } δ < 21 T (K) δ ,  −1 cap(K, D) = const log δ  Để có bất đẳng thức cuối ta đặt u(z) = n log + |zk | X 1/2 k=2 log + |zδ1 | + −n log2 log 1δ Chú ý u < B u < −1 K Khi đó:  Z const cap(K, D) = (ddc u)n = log 1δ B Vì số mũ (2.2) không 2.2 Chứng minh định lí so sánh dung lượng Cho dung lượng tương đối, hàm cực trị là: UK∗ = UK∗ (z, Ω) = lim sup UK (ζ), ζ→z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30 28 quy nửa liên tục UK (z) = sup{v(z) : v ∈ P (Ω), v −1 K, v < Ω} Tính chất quan trọng Uk∗ là: UK∗ ∈ P (Ω), −1 UK∗ 0, lim UK∗ (z) = z→∂Ω (ddc UK∗ )n Ω \ K (2.3) UK∗ = −1 K, trừ tập hợp dung lượng tương đối không Z Z c ∗ n cap(K, Ω) = (dd U ) = (ddc UK∗ )n (2.4) Ω K Thực tế chứng minh cho Mệnh đề 5.3 [3] Các hàm cực trị khác giới thiệu Siciak [12] u∗K (z) = lim sup uK (ζ), ζ→z đó: uK (z) = sup{v(z) : v ∈ P (Cn )+ , v(z) với z ∈ K, v(z) log|z| + O(1), |z| → ∞ u∗K ≡ +∞ u∗K có tính chất khác u∗K ∈ P (Ω), u∗K (z) = log|z| + O(1, |z| → ∞) (2.5) u∗K (z) = với z ∈ K trừ tập hợp dung lượng tương đối không (2.6) c ∗ n (dd UK ) độ đo dương K (2.7) Chứng minh (2.5) tìm [11] Trong (2.6) (2.7) suy trực tiếp từ Mệnh đề 9.3 Hệ 9.4 [4] Tính chất khác u∗K Z Z (ddc UK∗ )n = Cn = (ddc log + |z|)n (2.8) Cn Cn Số lượng độ đo (ddc UK∗ )n không phụ thuộc vào K Thực tế chứng minh Bổ đề [4] (Định lý 4.1) n ∞ Bổ đề 2.2.1 Giả sử Ω
tập mở C u, v ∈ P (Ω) ∩ L (Ω) với lim inf u(z) − v(z) = z→∂Ω Z Z c n (dd v) (ddc u)n {u