Đề thi và đáp án

Sở GD & ĐT Sơn La Trường THPT Chuyên ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN MƠN THI: TOÁN Câu Nợi dung Đề: Giải phương trình sau tập số thực: Điểm Đáp án: Điều kiện: Phương trình trương đương: 4đ Xét phương trình (*) có: VT(*) < và VP(*) đó phương trình (*) vông nghiệm Vậy phương trình có nhất một nghiệm x=1 Đề: Cho đa thức P(x)= x2+px+q với p,q nguyên Chứng minh rằng tồn tại k nguyên cho P(k)= P(2010)P(2011) Đáp án: Ta có: P(P(x)+x) = (P(x)+x)2+p(P(x)+x)+q = (x2+px+q +x)2+p(x2+px+q +x)+q = (x2+px+q)2+2x(x2+px+q )+x2 + p(x2+px+q )+px+q =(x2+px+q)[ (x2+px+q)+2x+p+1] =(x2+px+q)[(x+1)2+p(x+1)+q] = P(x)P(x+1) Đặt k= P(2010)+2010 Vì p,q nguyên và P(x) là đa thức với hệ số nguyên Suy k nguyên Suy P(k)= P(2010)P(2011) 4đ Đề: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nợi tiếp đường trịn bán kính R, đường trung tuyến xuất phát từ A,B, C kéo dài cắt đường tròn tại D, E, F Chứng minh rằng: 4đ Đáp án: Gọi trung tuyến tam giác ABC là AM, BN, CP Đặt AB = c, AC = b, BC= a, AM = ma Xét phương tích điểm M đới với đường tròn ta có: MD MA = MB MC hay (1) 1) GD = GM + MD = (2) Áp dụng bất đẳng thức Chaucy đối với tổng ta có : GD = GM + MD = Hay = Xét tương tự với đoạn thẳng GE, GF ta có : 2) Từ và từ (2) ta có: Áp dụng cơng thức tính trung tuyến tam giác : Ta được: Xét tương tự với tỉ số Xét ta có: và tương tự với + ; ta có: = 3+ Vì dây AD,BE, CF đều không lớn 2R nên thay vào (4) ta : 6= + Từ đó suy ra: Đề: Chứng minh rằng tồn tại một bội 2011 có dạng 20122012…2012 Đáp án: Xét 2012 số a1=2012, a2=20122012, , a2012= Theo nguyên lý đirichlê, tồn tại số có cùng số dư chia cho 2011 Gọi số đó là am,an với Ta có am-an= 2012…2012000…0000= thì am-an 4đ Do 104n, 2011 nguyên tố cùng nên Đề: Trong mợt đề thi OLYMBPIA tốn Hùng Vương có ba dạng: Một dạng về số học, một dạng về đại số, một dạng về hình học Trong 70 thí sinh dự thi có 45 thí sinh làm dạng sớ học, 60 thí sinh làm dạng đại sớ, 35 thí sinh làm dạng hình học Ngoài sớ thí sinh làm cả hai dạng sớ học và đại sớ là 40, sớ thí sinh làm cả hai dạng đại số và hình học là 25, sớ thí sinh làm cả hai dạng số học và hình học là 15 Biết rằng không có thí sinh khơng làm dạng nào Hỏi có thi sinh làm cả ba dạng? Đáp án: Gọi A, B, C tương ứng là tập hợp thí sinh làm dạng sớ học, đại số, hình học Theo giả thiết ta có: |A|=45, |B|=60, |C|=35=> |A∩B |= 40, |C∩B| = 25, |A∩C| =15 Vì không có thi sinh không làm bài nên: |AU BUC|=70 Áp dụng nguyên lý thêm bớt: |AU BUC|= |A|+ |B|+|C-|A∩B |-|C∩B|-|A∩C|+|A∩B∩ C|  70= 45+60+35- 40 – 25 – 15 +|A∩B∩ C| Hay |A∩B∩ C|=10 Vậy co 10 thí sinh làm cả ba dạng 4đ

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	458,5 KB