Câu [HH11.C1.1.E02.c] Chứng minh tứ diện tích độ dài cạnh đối độ dài cạnh tam giác Lời giải Trên tia AB, AC , AD lấy điểm B ', C ', D ' cho AB ' AC AD; AC ' AB AD; AD ' AB AC AB ' AC BC AC ABC AC ' B ' AC ' AB B ' C ' AB ' ~ AB '.BC AC AD.BC AD.BC AC AC B ' C ' AB.CD Tương tự ta chưng minh C ' D ' AB.CD; B ' D ' AC.BD BC ' Câu Vậy tích độ dài cặp cạnh đối diện độ dài ba cạnh tam giác B’C’D’ [HH11.C1.1.E02.c] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc ABC O lên mặt phẳng P điểm tam giác ABC Chứng minh PA2 PB PC PH OA2 OB OC OH Lời giải +) Ta có OP xOA yOB zOC +) Do điểm P nằm tam giác ABC nên x y z 1 OP OA2 PA2 OP OA2 PA2 x OA OP OA x 2OA2 +) Từ , ta có Suy ra: 2 OP PA x 1 2 OA OA2 OP PB OP PC y 1 z 1 OB OB OC OC +) Tương tự, , x y z +) Mà ta có nên suy OP PA2 OP PB OP PC 1 1 1 1 OA2 OA2 OB OB OC OC OP OP OP PA2 PB PC 3 2 OA2 OB OC OA2 OB OC 1 PA2 PB PC OP 2 2 2 OA OB OC OA OB OC 1 1 2 OH OP OH PH Do đó: +) Mặt khác, OA OB OC PA2 PB PC OP OH HP PH 1 1 2 OA2 OB OC OH OH OH PA2 PB PC PH 2 OH (đpcm).Câu [HH11.C1.1.E02.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hoàn Kiếm Vậy, OA OB OC Hai Bà Trưng năm 1617) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N , P , Q SM SN SQ điểm nằm đoạn SA , SB , SC , SD cho SA , SB , SD , SP SC Chứng minh M , N , P , Q đồng phẳng Lời giải S P Q N M A D O B C MNP cắt SA SC SB SD SD 4 SQ SD Q Suy SM SP SN SQ Cách 1: Giả sử mặt phẳng SD 5 SQ SQ SQ hay SD SD Q Q Vậy M , N , P , Q đồng phẳng 1 SQ SD SO SB SA SC SB 3SM SP SN 5 5 Cách 2: Ta có 6 3 SM SP SN 1 5 Vì 5 nên M , N , P , Q đồng phẳng Câu [HH11.C1.1.E02.c] (HSG Lớp 11 THPT Đặng Thúc Hứa 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD mặt phẳng qua AM song có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động SC , song với BD chứa đường thẳng cố định a) Chứng minh mặt phẳng SB SD SC b) Tìm giao điểm H , K mặt phẳng với SB , SD Chứng minh rằng: SH SK SM có giá trị khơng đổi Lời giải S M H J I K B C O Δ D A a) Ta có mặt phẳng phẳng qua A , song song với BD ABCD BD nên mặt phẳng cắt mắt ABCD theo giao tuyến qua Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng b) Trong mặt phẳng A song song với BD cố định (đi qua A song song với BD ) ABCD gọi O giao điểm AC BD Trong mặt phẳng SAC , gọi A , song song với BD nên cắt mặt phẳng SBD theo giao tuyến qua I song song với BD cắt SB , SD H , K I SO AM Vì qua SB SD SO SB SD SO 2 SH SK SI Ta có SH SK SI Trong mặt phẳng SAC SO SJ kẻ OJ // AM với J SA Ta có SI SM SB SD SC 2SJ SC SM MJ SC CJ SC SM Ta có: SH SK SM SM SM Ta có OJ //AM mà O trung điểm AC nên J trung điểm MC Suy MJ JC SB SD SC SM MJ SC CJ SC 1 SM Do đó: SH SK SM SB SD SC Vậy SH SK SM có giá trị không đổi Câu [HH11.C1.1.E02.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD P chứa AM song song với BD hình bình hành, M điểm di động cạnh SC Mặt phẳng P cắt SB , SD N , E Chứng minh SB.SM SN SM SC.SN Lời giải S M E I K N D C O A B Gọi O tâm hình bình hành ABCD , I trung điểm MC Câu SB SO SI SN SK SM , K NE SO , NE // BD , OI // AM SB SC SI SC SI SI IC SI MI 2 1 SN SM SM SM SM SM SB SC 1 SB.SM SC.SN SM SN SN SM [HH11.C1.1.E02.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Cho tứ diện ABCD , M điểm thuộc miền tam giác BCD Qua M kẻ đường thẳng song song AB , AC AD cắt mặt ACD , ABD ABC điểm H, I AB AC AD 27 MH MI MK Lời giải A H B D M N C MH dt MCD AB dt BCD MH MI MK 1 Chứng minh: AB AC AD MH MI MK MH MI MK 3 AB AC AD Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: AB AC AD AB AC AD 27 MH MI MK K Chứng minh Câu [HH11.C1.1.E02.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA , N trung điểm SD G trọng tâm tam giác SBC Tìm giao điểm MNG Gọi P, Q giao điểm mặt phẳng đường thẳng AC mặt phẳng MNG với SC , SB Chứng minh: MQ NP cắt nhau, AQ DP cắt Gọi I giao điểm MQ NP ; J giao điểm AQ DP Chứng minh I , J , S thẳng hàng Lời giải E O Ta có: MN // PQ (vì song song với AD, BC) MNPQ hình thang MN AD, PQ BC MN PQ NP, MQ cắt Ta có: AD // PQ (vì song song với BC) ADPQ hình thang 2 PQ BC AD AD PQ AQ, DP cắt 3 Ta có: S điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (1) I MQ I SAB I NP I SCD ; I điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (2) J AQ J SAB ; J DP J SCD J điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCD) (3) Từ (1), (2), (3) I, J, S thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Hay I, J, S thẳng hàng (ĐPCM)