D02 gtln, gtnn hàm nhiều biến muc do 4

Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG Toán 12 - Quảng Ngãi 1819) Cho số thực không âm a, b, c thỏa c  a, c  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức   2a  c   2b  c   a  1  64 P  a  b       2     b  c   a  c  ab  bc  ca a  a  b   Lời giải 1 1 1 1    4 2 2 2  a  c   a  c   b  c   b  c  ab  bc  ca  a  c   b  c  a  a 2 ; 2 ;    +)Ta có 2    c c  4 b    4 a    64 2 2       a   P  a  b    4 c  c  a     c c  a  b  a   b 2 2 2  2     +) Suy ra: c c a   x, b   y ,  x  0, y   2 +) Đặt Ta có x2 y 64  2 P  x  y   4  4    16 y x xy   Hay x y P 4    y x    x y   x y           16   16     y x   y x x y t   , t 2 f  t  4  t    t  3t  16  y x Đặt Xét hàm số , f  t  4  4t  6t  6t  10  f  t  0  t  Ta có: , Lập bảng biến thiên, suy f  t   63  a 1  P   b 2 P  c 0  Suy Vậy Pmin   a 1   b   c 0 2 Câu 1.[DS12.C1.3.E02.d] Cho số thực x, y thỏa mãn:  x  y  1  xy Gọi M giá P 7  x  y   x y trị lớn m giá trị nhỏ biểu thức Tính M  m Lời giải P 7  x  y   x y 7   x  y   x y   x y   2 2   xy  2 2 7  x  y   10 x y 7    10 x y   x y  xy  1  10 x y   33 2 7 P  x y  xy  4 t  xy Đặt , ta có 1  xy 2  x  y  4 xy  xy   t  3 1 2   x  y   xy  1  xy   x  y  1  xy 0  xy   t    5  1 33 7 t ;  P  t  t  3 4 với 70 7 20 t xy  x2  y  33 xảy 33 hay 33 Khi 33  34   11   x  33   34    11  y  33    34    33 11  x      xy  33  34    11  x  y  20   y  33 33   Ta có  18 1 m t  xy  x2  y  25 xảy hay Khi M   x       y        x  xy       x2  y2  y  5   Ta có  2344 M m  825 Vậy Câu P [DS12.C1.3.E02.d]  a  ab  abc Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c Lời giải Vì a , b số dương nên: a  4b 2 a.4b  a  4b 4 ab  ab  a  4b  1 Đẳng thức xảy a 4b Vì a , b , c số dương nên: a  4b  16c 3 a.4b.16c  a  4b  16c 12 abc  abc  a  4b  16c 12  2 Đẳng thức xảy a 4b 16c Từ  1   suy ra: a  ab  abc a  a  4b a  4b  16c   a  ab  abc   a  b  c  12 3  a  ab  abc  a  b  c  P  4 a  b  c a b c Do đó:  Đặt: t  a  b  c  t  0 6 12t   (t  0)  f '(t )    t t t t 2t Xét: f '(t ) 0  t  f (t )  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có:     Đẳng thức xảy khi: Pf  a  b  c  f ( )  12, a, b, c    a   21 a 4b 16c    b 84 a b c    c  336  Vậy P  12 Câu [DS12.C1.3.E02.d] Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab ³ 1và c(a + b + c) ³ P = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b + 2c a + 2c + + 6ln(a + b + 2c) 1+ a 1+ b Lời giải Ta có: P +2= a + b + 2c + a + b + 2c + + + 6ln(a + b + 2c) 1+ a 1+ b = (a + b + 2c + 1)( 1 + ) + 6ln(a + b + 2c) 1+ a 1+ b Ta chứng minh BĐT sau 1 + ³ (a,b > 0;ab ³ 1) + a + b + ab Thật 1 + ³ Û ( a1 + a + b + ab b )2( ab - 1) ³ (luôn ab ³ 1) Lại có ab + 1 4 16 + ³ ³ ³ = ³ + a + b + ab + ab c + ab + bc + ca (a + c)(b + c) (a + b + 2c)2 ab £ Þ P +2³ 16(a + b + 2c + 1) + 6ln(a + b + 2c) (a + b + 2c)2 Đặt t = a + b + 2c > 0ta có P +2³ 16(t + 1) + 6lnt t2 Xét hàm số f (t ) = 16(t + 1) 6t - 16t - 32 + 6ln t Þ f '( t ) = Þ f '(t ) = Û t = t2 t3 f (4) = + 6ln4 Þ P ³ + 6ln4 Þ MinP = + 6ln4 a = b = c = 1Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG 12 a  b  c 6  ab  bc  ca  LONG AN 2017-2018) Cho số thực a, b, c khác thỏa  Chứng minh 6 P a  b  c  66 Lời giải Từ giả thiết suy a  b  c 0 Suy a 2b  b 2c  c a  ab  bc  ca   2abc  a  b  c  9 Khi P a  b6  c  a  b  c   a  b  c  a 2b  b 2c  c a    abc  2  a  b  c    a  b  c    a 2b  b 2c  c a     abc  6 62  3.9   abc     54   abc    x  a   x  b   x  c  0 Ta có a , b , c ba nghiệm thực phân biệt phương trình  x3  3x abc  1 Xét hàm số f  x   x  3x , ta có f  x  3x  0  x 1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy phương trình   abc     abc    1 có ba nghiệm phân biệt a , b , c Vậy P 54   abc   54  3.4 66 Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG 12 tỉnh Thanh Hóa năm 1314) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P 8a  3b   ab  bc  abc 1  a  b  c  Lời giải Ta có: P 8a  3b   ab  bc  abc 1  a  b  c   a  4b b  4c a  4b  16c  8a  3b      28 4 12     a b c  1  a  b  c 1  a  b  c Đặt a  b  c t , ta có t  Xét hàm số f ' t   Ta có 1 t2 1 t2  t f (t )   t với t  ; f '  t  0  t 1 ; lim f (t ) 0; lim f (t ) 0 t   t Bảng biến thiên 14 16 a  ;b  ;c  21 21 21 Từ bảng biến thiên ta suy GTLN P Câu x   x  y  0 y 6 [DS12.C1.3.E02.d] Cho số thực x, y thỏa mãn Tìm giá trị lớn 3x  y Lời giải Đặt P 3 x  y Ta có: + + x   x  y  0  y  y 6    x 3 Các đường  x  3x  C : y  x  3x ,  : y 3 x  P   3;3 hình vẽ Ta thấy 16 16 16 P  P   x 2 3 16 3x  y Tóm lại, giá trị lớn Câu f  x  2019 x  2019 x Các số thực a, b thỏa mãn a  b  4a  3b  P f  a  b  ab    f   9a  9b  0 a  b  10 a, b Tìm giá trị lớn biểu thức thay đổi Lời giải x x f '  x  2019 ln  2019   2019 ln  2019   x   f  x Ta có , Suy đồng biến  x x f   x  2019  2019  f  x  f  x Lại có Suy hàm số lẻ [DS12.C1.3.E02.d] Cho hàm số f  a  b  ab    f   9a  9b  0  f  a  b  ab    f   9a  9b   f  9a  9b   a  b  ab  9a  9b  a  b  ab   9a  9b 0  4a  4b  4ab   36a  36b 0  (2a  b)  18(2a  b)  3(b  3)  19 0  (2a  b)  18(2a  b)  19  3(b 3) 0 …………………………………  (2a  b)  18(2a  b)  19 0   2a  b 19  2a  b 19  2a  b  19 0 2a  b 19 a 8 2a  b  19   P 2 0  P 2 b 3 a  b  10 Mặt khác Dấu xảy a  0 Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG12-Vĩnh Phúc năm học 17-18) Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn  a b3   a b  T      9    a  b   ab  a  b   ab   a  b a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có a , b   a  b   ab  a  b   ab     a  b2   ab a 2b  ab   a  b  a b  1       a  b      b a  a b Theo BĐT Côsi ta có 1   2  a b  a  b    1 b a    2      a b a b   a  b   a b b a  a b     2      a  b   0 a b  b a (do b a Suy  b a  )  a b   a b  a b T 4               18  b a   b a   b a  Biến đổi : t f  t  4t  9t  12t  18 Xét hàm số với  t   f  t  0    t 2 Ta có bảng biến thiên t +∞ f'(t) + +∞ f(t) - 23 23 5 MinT  f     a; b     1;  ,  2;1   2 Vậy Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG Toán 12 - Thanh Hóa năm 1718) Cho x, y, z số thực dương thỏa xyz  x  z  y mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 2 4z 3z P    x 1 y 1 z   z  1 z  Lời giải xz  x  z  y   xz   y   xz Ta có xyz  x  z  y     2    2   2    x 1 y 1 x 1  x  z   xz            x 1 x2 1 z 1   xz            z  2x  x2 z  2  2 z   x2 1 y 1 x  1  z  1       z  z   x   x  x  1  z  1 P   2z  z 1  2z z 1 t Đặt 2  z z 1 Xét hàm số 4z z 1 2  1 x    2x  x 1  z 1 z 1  2z z 1 3z z  1 z  3z z  2z  1 z   t  0  f  t  t  3t 1 1   z    P t  3t 2 t z 1 t khoảng  0;  1 max f  t   f    0;     3 Lập bảng biến thiên ta   z  z     z 1  xz   x  y   xz    1 x y  2 z    max P  2x  đạt  Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Cho hai số dương x , y thỏa mãn điều kiện x 1 , y 1  x  y  4 xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  1  P x3  y     y  x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si , ta có: xy 3  x  y  6 xy  xy  Do điều kiện x 1 , y 1 nên  x  1  y  1 0   xy   xy xy   x  y  xy 3 1 1   P  x  y      x  y    x  y   xy         y  x  x y  xy Ta có  16 16  16 64 3  xy  x y  xy     x y  4x2 y2    xy  xy 27 3 9  t   ;3  P  64 t  4t   16 4  27 t Đặt t  xy với 64 16 t   ;3 f  t   t  4t   4    27 t , Xét hàm số 9  64 8t  8t    54 t  f  t   t  8t     ;3   t t Ta có: , 9   ;3  f t  hàm số tăng  9 113 94  f    f  t   f  3  f t   4 hay 12   xy   x y 3 x  y 4 xy 113     x y  Vậy: Giá trị nhỏ P 12 Khi    x 1   xy 3  y 3     x 3  x  1  y  1 0 94   x  y  xy     y 1 Giá trị lớn P Khi  Câu [DS12.C1.3.E02.d] (HSG12 Đồng Tháp 2016-2017) Cho x , y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2 27     x2  y  z  3 x yy y zz z xx Lời giải 1 1 y         2 2 x y xy x y xy x y 2x Ta có: x  y 2 xy  x2 y 1     2 x yy y x y y 2x y2 1 z2 1     3 y z  z z y x 2z Tương tự: ; z xx 2 x y z 1 1 1        3 y zz z xx 2 x y z  Suy ra: x y  y  1  27 P        x2  y  z  2 x y z  x , y , z  Do nên 1    x2  y2  z   x  y  z  x y z xyz ;   1  27 9 P        x2  y  z       x  y  z 2 x y z  2 x yz   t  0 Đặt t  x  y  z , 9 P  f  t   t2 2t 9 f  t    t 2t 9 27 f  t  0  t 1  f  t   f  1    Cho 27  x  y z  Câu [DS12.C1.3.E02.d] (SỞ GD-ĐT HẢI Giá trị nhỏ P t 1 PHÒNG) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y; x  z; x  yz  xz  xy Tìm P 3 giá trị nhỏ biểu thức y  x y  x y  z 2z  x    y xy yz xz Lời giải +/ Ta chứng minh: 1   Với a, b dương ab 1  a  b  ab (*) Thật vậy:   a b   ab  0 (luôn đúng) Đẳng thức xảy a b ab 1 x  yz  xz  xy   x  z   x  y  0  x  y 0 x  z  x  z 0 +/ Ta có: x t   t   1;9 y Đặt (*) P 3  t  t 2 y z t 2 1 1 1 3  t  2  z x t 1 yz xz t 1 1 1 y z Khi Áp dụng bất đẳng thức chứng minh, ta có: t 2 t 2 P 3  t  2 3  t  2 t 1 t 1 z x 1 t 1 yz t 2 2 , t   1;9 t 1 1 t có 1    0, t   1;9  2  t  1 t 1 t f (t )   t  Xét hàm số 1 f '(t)    t  18 P  f (t) f(9)  từ suy  x  y 9   x z    z y   x z   1  z y  x 9 y  x 9 y     z 3 y  xy  z Dấu xảy  x 9 y 18  P  z 3 y Câu [DS12.C1.3.E02.d] Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ Vậy 10 P  16 xy  10 yz  10 xz 45  x  y  z biểu thức Lời giải Ta có 16 xy  10 yz  10 xz 16 xy  (2 y)(5 z )  (2 x)(5 z ) 8 x  y  y  z  x  z 10( x  y  z ) Vậy ta có 10 10 P    f t 10  x  y  z  45  x  y  z 10t t  45 , với t  x  y  z  10 10 f  (t )   f t   10t (45  t ) ; 10t t  45 với t>0 Ta có Xét  t 5 0   t t 5  t   45  f (t ) 0   t  45 100t  11 Ta có bảng biến thiên Suy P  f  t  9 t  50 9 Do giá trị nhỏ P 50 đạt  x y  z    x  y  z 5 25   x  y 12   z 5 